Mathematics
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这是关于数学的睡前历史故事，由西蒙·马托克斯讲述，亚历山德拉·特尼撰写。你一生中至少尝试过一次数羊来入睡吧。三只。然后在某个时刻，希望你睡着了。数数是我们孩提时代学习的第一件事之一。这是那个棘手科目——数学中最基本的元素。

今晚，我们将探索数学的起源，并发现它如何在几个世纪中发展起来。除此之外，我们还将了解一位印度数学家的工作如何帮助解开宇宙的秘密。所以，放松身心，让你的思绪随着我们探索数学的睡前历史而飘荡。

当你想到数学的起源时，你可能会想到古代手稿上的数字，也许是纸莎草纸。但事实上，我们拥有的最早的证据可能是一根骨头，一种被称为伊尚戈骨的工具。这根哺乳动物骨头大约10厘米长。它是在刚果民主共和国的一个湖附近发现的。

据信它至少有20,000年的历史。骨头上刻有168条线，这些线似乎按特定的组和图案排列。关于这些雕刻以及它们的具体含义，存在不同的理论。一些人认为这根骨头可能被用作日历。另一些人认为这些线条是计数标记，

但根据一些专家的说法，这根骨头可以被认为是世界上第一个数学工具。20,000多年前使用它的人可能对质数有一些了解。也许骨头上的雕刻被用来进行简单的计算。这是一个诱人的想法。

数学起源于非洲的那些年。想象一下：人们坐在火堆旁，研究曾经属于狒狒的一根骨头上复杂的雕刻。然而，虽然伊尚戈骨是一个有趣的文物，但它有点含糊不清，无法说服一些专家。

因此，当我们追溯数学的起源时，我们必须转向世界的另一部分，美索不达米亚，或今天的伊拉克，寻找更有力的证据。美索不达米亚的一部分被称为巴比伦。大约公元前2世纪居住在这里的人们提出了巴比伦数学，这是世界上最早被认可的数学体系。

通常情况下，早期是值得商榷的。一些来自美索不达米亚的早期记账工具可以追溯到公元前5世纪左右。但一些最清晰的数学思想例子是大约公元前2000年的泥板。尽管年代久远，但这些泥板保存得非常好。我们有数百块。

巴比伦数学知识的详细记录。巴比伦人使用楔形文字书写，在泥土仍然湿润的时候在上面雕刻。然后，泥板在烤箱中烘烤或放在阳光下晾晒。泥板坚硬耐用，经受住了时间的考验。从这些证据中，我们知道巴比伦数学是复杂的，

这些泥板揭示的不仅仅是简单的计算或会计记录，还有更高级知识的证据。巴比伦人使用了类似代数的二次程序，并且对几何学有很好的理解。他们在毕达哥拉斯之前就知道了毕达哥拉斯定理，他们甚至将他们的数学知识应用于天空。在伦敦的大英博物馆，

有一块楔形文字泥板，对于外行人来说，看起来有点像用石头做的面包。它上面覆盖着分层的三角形雕刻。如果你能够阅读这些雕刻，你可以了解以下内容：如何通过绘制梯形来估计曲线下的面积。现在，这个梯形是一个存在于抽象数学空间中的概念，

它可以用来进行天文计算。令人惊奇的是，这块巴比伦泥板允许使用者研究木星的运动。他们可以计算出这颗行星在一段时间内移动了多远。目前还不清楚这块泥板的确切年代或作者是谁，

但它是在巴比伦神马杜克的神庙附近发现的，马杜克是与木星相关的巴比伦神。所以我们可以想象，泥板的作者很可能与神庙有关。他们是一位数学家、天文学家，也许也是一位祭司。当我们探索数学史时，我们会看到这是一个共同的主题。

它与许多其他知识领域重叠。数学家通常也是天文学家、物理学家和哲学家。他们认识到我们的宇宙是多么相互关联，以及一个发现如何照亮其他知识领域。到目前为止，我们已经看到巴比伦人是多么复杂的数学家。

他们确实领先于他们的时代。他们使用的一些概念直到14世纪才出现在欧洲。在巴比伦人之后，下一个取得重大突破的文明之一是古希腊人。但首先，让我们简要地看一下稍早一点的文明，即古埃及人。他们也在许多不同的领域拥有先进的知识。

而且，由于纸莎草纸记录，我们有一些证据。从公元前3000年到公元前300年，古埃及人将数学用于一系列实际的日常生活中。数学对于简单的会计和贸易是必要的。人们需要能够使用分数并进行乘法和除法运算。

另一方面，几何学可以帮助建筑工程，例如建造金字塔。古埃及数学最著名的例子是一篇大约公元前1550年的文本，被称为莱因德纸草书。用圣书体写成，

这份纸莎草纸包含一系列涉及除法、乘法、分数和几何的问题。这些问题通常用土地、啤酒或面包来表示。例如，需要将100个面包分给10个人。七个人得到一份，

另外三个人，一个船夫、一个工头和一个看门人，每人得到两份。任务是将这些份额表示为分数。莱因德纸草书的作者是一位名叫阿莫斯（Amos）的抄写员。他和其他的抄写员可能写过许多类似的文本，早期的数学教科书旨在帮助和教育他们的读者。

但不幸的是，纸莎草纸不像巴比伦人使用的泥板那样坚固。我们只留下了一些幸存的文本。从我们所了解的情况来看，古埃及人似乎更感兴趣的是数学的实际应用，而不是探索抽象概念。下一个巨大的飞跃来自另一个文明：古希腊人。

古希腊通常被认为是数学的真正诞生地。“数学”这个英文单词源于希腊语名称，而希腊语名称又源于一个更普遍意义上的“学习”一词。在古希腊，某些形式的学习特别受重视，例如几何和算术。数学史上一些最著名的名字都是希腊人，

欧几里得、毕达哥拉斯和阿基米德，仅举几例。但是，这些数学家及其发现有什么特别之处呢？好吧，在希腊人之前，人们用归纳推理来解决数学问题。他们观察模式以建立规则或得出结论。另一方面，希腊人使用演绎推理。

他们从前提出发，运用逻辑和已知事实得出结论。这是一个简单的演绎推理例子。所有以0或5结尾的数字都可以被5整除。数字35以5结尾。因此，这个数字必须可以被5整除。

希腊人也使用数学严谨性来证明这些结论。在数学严谨性中，有一种严格而彻底的方法，没有空间模糊不清。通过这种新方法，希腊人将数学转变为一种逻辑的、系统的学科。例如，当我们将古希腊数学与古埃及数学进行比较时，我们可以清楚地看到差异。

埃及人将数学视为一种可以用于商业和日常问题解决的实用工具。但在古希腊，数学学科被提升到更抽象的东西。数学家正在寻求根本真理。古希腊的另一个有趣的发展是个体数学家的名声。

总的来说，其他古代文明的数学家仍然是匿名的，但我们都听说过古希腊的大人物，例如阿基米德。这有几个原因。首先，数学，就像其他智力追求一样，在古希腊社会中非常受重视。

重要的作品被记录在纸莎草纸卷轴和手稿上，并保存在亚历山大图书馆等地方。数学知识被后来的学者传承、复制和翻译，确保了它的生存。此外，古希腊文化更强调个人的成就。他们的名字和故事也很重要，

某些轶事激发了人们的想象力。这就是我们了解希腊数学巨人的方式。所以让我们看几个例子。萨摩斯的毕达哥拉斯也许最出名的是毕达哥拉斯定理。这可以用来找出直角三角形边的长度。

虽然该定理为早期文明所知，例如巴比伦人，但毕达哥拉斯似乎是第一个正式证明它的人。他也是一位哲学家，他的教义包括灵魂的不朽。随着时间的推移，他成为一个几乎传奇式的人物。他与一系列有趣的信仰和理论有关，这些信仰和理论与天文学有关，

命理学和音乐理论。对于毕达哥拉斯来说，很难将事实与神话区分开来，或者确定哪些教义是他的，哪些属于他的弟子。尽管如此，他仍然载入了数学史。另一位重要人物是亚历山大的欧几里得。他通常被称为几何之父。

而他的数学论文，被称为《几何原本》，成为一本极具影响力的教科书。欧几里得塑造了几百年来的几何理解。然后，当然还有叙拉古的阿基米德，他是一位杰出的数学家，也是一位发明家、物理学家、工程师和天文学家。

他被描述为一个伟大的文明。阿基米德的数学成就包括对无穷小的开创性使用。他真正领先于他的时代，他的工作是积分学的先驱。阿基米德还提出了π值的估计以及计算面积和体积的方法。

然后是那个著名的故事，关于阿基米德从浴缸里跳出来大喊“尤里卡！”的故事。那是古希腊语的“我找到了”。无论这个故事是否真实，阿基米德都被认为发现了浮力定律，好像成为有史以来最杰出的数学家之一还不够。

到目前为止，我们提到的所有数学家都是男性。但当然，也有女性数学家，例如亚历山大的希帕蒂娅。虽然希帕蒂娅不是第一位女性数学家，但她是最著名的女性数学家之一。她被人们铭记为早期女权主义偶像，并且由于她悲惨的死亡，成为知识的殉道者。

希帕蒂娅似乎并没有提出她自己的理论。然而，她是一位有影响力的教师和学者，撰写了关于重要数学文本的评论，例如阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》。通过她的工作，希帕蒂娅使数学更容易理解。

她和其他的学者帮助确保了古希腊知识的生存，为现代数学奠定了基础。在我们历史旅程的其余部分，我们将主要关注欧洲。然而，不用说，其他文化的数学家也做出了重要的贡献。例如，印度拥有丰富的数学传统。

早在7世纪，也就是在他们的欧洲同行之前很久，印度数学家就在计算中使用零，不仅仅是作为占位符，而是一个独立的数字。婆罗摩笈多是将这一创新归功于他的数学家，他还对代数、算术、几何和三角学进行了关键性的研究。

而且是印度人首先发明了我们今天使用的数字系统。稍后，我们将了解这个系统是如何来到欧洲的。几个世纪以来，印度的数学知识传播到阿拉伯世界。古希腊文本也开始流传。事实上，我们应该感谢伊斯兰学者保存了古希腊的数学著作。

特别是巴格达，是一个文化中心，学者们在那里创作了希腊文本的翻译和评论。这有助于确保古希腊数学知识的生存，然后是传播。伊斯兰学者也对该领域做出了他们自己重要的贡献。例如，波斯博学家花拉子米写了一篇关于代数的极其重要的论文。

他是第一个将其作为一门独立学科的人。另一位波斯博学家，纳西尔丁·图西，对不同的知识领域做出了无数贡献，从三角学到行星运动。在西方，这些有影响力的人物经常被忽视。但值得考虑的是，在数学中，就像在所有知识领域一样，

人们不是独自工作的。他们受到老师的影响，受到他们阅读的所有书籍的影响，以及影响这些书籍的所有著作的影响。因此，当我们谈到17世纪的莱布尼茨等欧洲数学天才时，已经有很长的学术历史在他们之前。这也适用于古希腊人。

希腊数学家很可能受到他们不太遥远的邻居巴比伦人和埃及人的影响。无论如何，知识传播然后发展。在中世纪，数学在印度、伊朗和叙利亚等国家蓬勃发展。但在欧洲，情况略有不同。

总的来说，中世纪欧洲的教育是有限的。修道院是学习中心，但重点往往是宗教而不是科学和数学。在数学方面，学生主要学习算术，它具有实际功能。基本的计算对于贸易和商业是必要的，但仅此而已。

从6世纪开始，欧洲的数学知识是基于博伊修斯和其他拉丁作家的作品。人们仍在学习数学，但并没有真正取得任何重大进展。直到12世纪，情况才开始慢慢发生变化。欧洲学者开始通过他们在西班牙和西西里的旅行与伊斯兰世界接触。

他们第一次接触到欧几里得《几何原本》的全文以及其他著作。一位英国僧侣根据阿拉伯语翻译，将欧几里得的文本翻译成拉丁语，从而使其更容易理解。其他翻译很快跟进，欧洲人对数学越来越感兴趣。

大约在同一时期，生活着一位名叫莱昂纳多·斐波那契的意大利数学家。是的，就是那个以斐波那契数命名的人。年轻时，斐波那契前往阿尔及利亚。在那里，他遇到了印度-阿拉伯数字。这些就是我们今天仍在使用的数字：1、2、3等等。

斐波那契写了一本关于这个数字系统的书，将其介绍给欧洲。在此之前，欧洲仍在使用罗马数字和算盘等计算工具。但印度-阿拉伯数字系统有很多优点，尤其是在计算和记录方面。欧洲人完全转向这个新系统还需要几个世纪

但变化即将到来。在15世纪和16世纪的文艺复兴时期，人们对各种知识都产生了兴趣，从科学到艺术。数学也很重要，但也许程度略低。重大数学进步的下一阶段仍在到来。

尽管如此，欧洲人看到了扎实的数学基础的价值，从算术到代数。这些知识对贸易和商业非常有帮助。作为企业主，如果你了解复利，你就可以赚更多的钱。文艺复兴时期另一个有趣的新发展是数学与艺术之间的联系。

在欧洲，画家们尤其感兴趣。他们意识到，更深入地了解几何学可以帮助他们创作更逼真的艺术作品。皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡是一位意大利画家和数学家，他巧妙地运用了他对几何图形的知识。他最著名的画作之一是《基督的洗礼》，

现在挂在伦敦国家美术馆。这是一个在无数艺术作品中都被描绘过的主题，但皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡的杰作有一些特别之处。即使乍一看，它也唤起了一种平静和秩序的感觉。基督站在中间，双手合十，正被站在右边的施洗约翰施洗。

气氛宁静，构图感觉非常平衡。部分原因是这幅画也是一项几何研究。布局似乎基于精心布置的形状：一个正方形、一个半圆和一个等边三角形，它们创造了一种和谐的感觉。

几何和透视研究的影响可以在许多文艺复兴时期的艺术作品中看到。看看达芬奇、拉斐尔和米开朗基罗的绘画中精致的现实主义。这些艺术家认识到了数学的巨大潜力。它可以是实用的，可以是抽象的，也可以是美丽的。

16世纪和17世纪是欧洲科学革命的时代。伽利略和艾萨克·牛顿等科学家改变了我们对宇宙的理解。大约在这个时候，也发生了一场数学复兴，在许多不同领域取得了重要的进展。这并非巧合。毕竟数学和物理学是相辅相成的。

这两个学科紧密相连。艾萨克·牛顿的科学成就，例如他的运动定律和万有引力定律，是建立在对数学的高级理解之上的。此外，通过扩展其前辈的工作，牛顿为微积分奠定了基础，微积分是关于变化率的数学研究。

微积分后来被证明在许多不同领域都至关重要，从工程学到计算机科学。它被称为“数学有史以来最有效的科学研究工具”。但牛顿不应该获得微积分的所有功劳。大约在同一时间，德国博学家戈特弗里德·莱布尼茨也在努力工作。

与牛顿独立地，莱布尼茨也发展了构成微分和积分微积分基础的思想。虽然某些数学家确实很杰出，但这并不是全部情况。每一位数学家，无论多么聪明，都建立在其他人的工作之上。

在某些情况下，就像牛顿和莱布尼茨一样，他们根据各自的研究得出相似的结论。那么，谁应该得到赞扬呢？在微积分的情况下，我们甚至可以指出另一位不太著名的艾萨克，艾萨克·巴罗。巴罗是一位剑桥教授，他的作品也帮助为微积分奠定了基础。

他对他的一个学生影响很大，那就是艾萨克·牛顿。事实上，巴罗认识到牛顿的潜力，辞去了他的教授职位，让牛顿接替了他的位置。历史记住了牛顿，这位拥有非凡职业的博学家，而巴罗却被遗忘了。

一旦你开始寻找，数学史充满了这样的数字：也许不太有名，也许不太有才华的学者，但他们仍然发挥了作用。尽管如此，一些数学家确实脱颖而出。例如，莱昂哈德·欧拉。在18世纪，欧拉是欧洲领先的数学家之一。

他非常多产，创作了866部不同的作品和超过30,000页的材料。欧拉擅长什么？他不擅长什么？代数、几何、微积分、数论、图论和许多不同的物理学领域，以及音乐理论。

但如果我们必须只指出欧拉的一项数学成就，也许是这个：他成功地将数学应用于现实世界的问题。例如，以欧拉-伯努利梁理论为例，这是一个计算梁在施加载荷时如何弯曲的模型。了解梁在压力下的行为对于结构工程至关重要。

为了建造一个大型结构，例如埃菲尔铁塔或摩天轮，梁理论非常有用。欧拉的影响和遗产还有无数其他例子，太多了，无法一一列举。但在我们继续之前，让我们考虑另一个有趣的主题：数学美。欧拉提出了一个被称为欧拉恒等式的方程。

它是这样的：e的iπ次方加1等于零。对于普通人来说，这听起来可能并不特别，但对于数学家来说，这是一个非常美丽的方程。欧拉恒等式因其优雅的简洁性而被描述为精致的，并被比作莎士比亚十四行诗。

该方程还以令人惊讶和令人满意的方式统一了不同领域的数学。数学美的问题在于，如果没有对该主题的一些理解，就很难欣赏它。对我们大多数人来说，它不如其他形式的美容易理解。例如，一幅画。

但对于那些理解它的人来说，数学提供了各种各样的回报，更高层次的知识和理解。随着它的发展，它也变得真正令人敬畏。当我们离开欧拉进入19世纪时，事情开始变得更加复杂，数学和历史都是如此。

到这个时候，有如此多的重要数学家在如此广泛的领域工作，以至于很难知道该选择谁或什么。此外，一些数学分支变得越来越抽象。当然，它仍然与科学和实际应用有关。

但越来越多的数学和科学领域被认为是分开的。这给了数学家探索真正抽象领域的自由，例如抽象代数和群论的开端。一些学者有兴趣突破数学的界限，探索可能的极限。

某些发现的影响超出了数学，让人们质疑现实的本质。例如，19世纪见证了非欧几里得几何的探索。你可能还记得前面提到的欧几里得，这位古希腊数学家被认为是几何之父。

欧几里得几何学对于理解平面空间很有用，但非欧几里得几何学描述的是弯曲空间——例如地球——这是球面几何的一个例子。非欧几里得几何——更具体地说，黎曼几何——为爱因斯坦的广义相对论铺平了道路。

它为时空提供了一个数学框架，引导我们对宇宙有更深入的理解。在欧洲各地的大学和新成立的数学学会中，数学家取得了快速进展。从历史上看，数学主要是一种智力追求，而不是可靠的收入来源。

但到了20世纪，它已经成为了一条职业道路。随着越来越多的数学家进行更多的研究、合作和专业化，难怪进展会加快。有些发现是如此的概念化和具有挑战性，以至于非数学家几乎不可能理解。但对于参与研究的人来说，这些都是激动人心的时刻。

在整个20世纪，数学家采取了一种雄心勃勃的方法，解决了该领域一些最棘手的问题。他们有很多事情要做。在1900年，德国数学家大卫·希尔伯特发表了一份包含23个数学问题的清单。这些问题被称为希尔伯特问题。

例如，第16个问题是关于代数曲线和曲面的拓扑结构，这是一个如此棘手的问题，以至于即使在今天，这个问题仍然没有解决。希尔伯特的清单成为20世纪的一种研究议程。这些以及数学中的其他问题鼓励创新，学者们继续突破界限。

德国裔法国数学家亚历山大·格罗滕迪克就是这样一位先驱。作为一位古怪的天才，他彻底改变了一个被称为代数几何的数学分支。格罗滕迪克的工作为这个抽象的、极其复杂的主题创造了一个新的基础，并继续影响着今天的数学家。

20世纪数学家的工作也产生了重大的现实世界影响，并非所有都是积极的。匈牙利数学家约翰·冯·诺依曼在二战期间参与了曼哈顿计划。他的专业知识帮助提高了原子弹的效率。冯·诺依曼拥有任何数学家中最非凡、最复杂的遗产之一。

除此之外，他还开创了博弈论，并帮助为人工智能奠定了基础。他是一位有远见卓识的人，早在20世纪40年代就理解了计算机的巨大潜力。我们还可以探索数学的许多其他领域，以及历史上世界各地天才的看似无限的发现。数量太多了，无法计算，

更不用说详细探讨了。但在我们结束之前，让我们花一点时间来考虑最后一个人，一个被认为不仅是20世纪最伟大的数学家之一，而且是有史以来最伟大的数学家之一的人。他的名字是斯里尼瓦萨·拉马努金。他于1887年出生于印度，于1920年去世，年仅32岁。

但在短暂的一生中，他取得了如此多的成就。直到今天，数学家们仍在努力应对他的作品的影响。拉马努金来自一个贫困的家庭，一生都饱受疾病的折磨。作为一名数学家，他几乎完全是自学的。在马德拉斯担任职员期间，

拉马努金决定联系剑桥大学的一位重要数学家戈弗雷·H·哈代。当哈代收到拉马努金的数学定理时，他感到震惊。拉马努金显然是一位天才。他似乎独自重新推导了一个世纪的欧洲数学。

拉马努金被邀请到剑桥，在那里他与哈代合作了三年。在他短暂的职业生涯中，拉马努金编纂了多达4000个定理，其中许多是完全原创的，包括关于高度复合数和划分函数的工作。根据拉马努金的说法，他的一些数学见解来自他的梦境，并受到神圣的启发。

他曾经说过：“对我来说，一个方程如果没有表达上帝的思想，就没有意义。”对于现代数学家来说，拉马努金的发现是鼓舞人心的，是数学奇迹的源泉。对于物理学家来说，拉马努金甚至可能有助于揭开宇宙的奥秘。

举一个例子，他对模形式的研究为弦理论提供了数学基础。弦理论是理论物理学中的一个框架。它说宇宙中的一切都是由微小的振动弦组成的。如果它是正确的，一些专家认为它可能会打开各种令人兴奋的可能性。

包括高维空间、平行宇宙，甚至可能是时间旅行。当然，目前这些都只是理论。但令人着迷的是，拉马努金的工作可能是解开这些谜团的关键。数学的故事是天才们探索我们极限的故事。

人类思维和已知宇宙的极限。我们不知道未来会发生什么，但有一点是肯定的：通过他们令人惊叹的智慧和无限的雄心，数学家们将帮助我们到达那里。