Deep Dive
Shownotes Transcript
Karim Ani将一生奉献给数学。他在学校学习数学，获得了数学教育学位，甚至创办了Citizen Math，以全新的方式教孩子们数学。但是，这段时间，他几乎一生中都有一个问题在困扰着他。 这个问题以数学中的一个规则的形式出现，绝不要除以零。但是，为什么不呢？ 康奈尔大学的数学家、节目朋友Steve Strogatz插入了历史背景，引用了之前一些挑衅者试图打破数学规则的例子。他给Karim提出了一个警告： “在数学中，我们有创造的自由，我们可以做任何我们想做的事情，只要它是合乎逻辑的。”随着Karim的思考练习变成了一场存在主义的探索，带着我们一起深入Zeroworld。 剧集制作人员：报道 - Lulu Miller，制作 - Matthew Kielty，协助 - Ekedi Fausther-Keeys，Alyssa Jeong Perry，原创音乐和音效设计 - Matthew Kielty，混音帮助 - Arianne Wack，事实核查 - Diane Kelly，编辑 - Pat Walters 我们的新闻通讯每周三发布。它包括短文、推荐和其他与节目互动的方式的详细信息。注册吧！ Radiolab得到了像您这样的听众的支持。通过今天成为The Lab的会员来支持Radiolab。 在Instagram、Twitter和Facebook上关注我们的节目@radiolab，并通过电子邮件[email protected]与我们分享您的想法。 Radiolab的科学节目领导支持来自Gordon和Betty Moore基金会、Science Sandbox（西蒙斯基金会倡议）和John Templeton基金会。Radiolab的基础支持来自Alfred P. Sloan基金会。 </context> <raw_text>0 WNYC Studios得到了Zuckerman Spader的支持。经过近五十年的高风险法律事务处理，Zuckerman Spader被全国公认为一家顶尖的诉讼和调查公司。他们的律师常常代表个人、组织和律师事务所处理商业争议、政府和内部调查以及审判。当你选择的律师最重要时。
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等一下，你在听吗？好的。好的。你在听Radiolab。Radiolab。来自WNYC。WNYC。
你好。我得找到你的窗口。嗨。你累了吗？不。没事，我很好。你呢？哦，好的。我很好。我对这个随机的小事情感到兴奋。嘿，我是Latif Nasser。我是Lulu Miller。这是Radiolab。好的，好吧，一个神秘嘉宾将很快出现。嗯哼。
哦，我们看到了你。嘿。我能听到你们俩。完美。成功了。嗨。好吧，Kareem Latif。嗨。很高兴见到你。我的荣幸。你在哪里？我在亚历山大，华盛顿特区外面。好的，所以我想最好的介绍方式是Kareem在这里，因为他打破了宇宙中最禁忌的规则之一。
你是一个食人族吗？我即将学到这个吗？我没有，我没有打破任何东西，这是一个问题，你还没有。不是的，这就是问题，打破它的后果是什么？你能打破它吗？我应该尝试吗？哇，你似乎站在悬崖边缘，兄弟。好的，那么这个规则是什么？规则是什么？在数学中。
在大多数情况下，你可以做任何事情。你可以乘法，你可以除法。但是正如你可能还记得的，在数学中，有一件事是你不允许做的。你记得吗？就是除以零？除以零。我们有整个数学结构，这个结构非常有用。它非常强大。但是这一切都依赖于我们同意不通过这扇门。
这扇门上有一个标志，上面写着，除以零，不要打开这扇门，因为在这扇门的另一边是各种疯狂的事情。一个无限循环。要在一粒沙子中看到一个世界。所有的一切都是一样的。不要除以零。当你把二变成一，当你让内在像外在一样时，你将进入王国。
这就像你挂在不工作的电梯上的标志，你知道吗？就像，故障。请不要通过这里。好吧，事情是这样的。并不是说电梯坏了，而是电梯通往一个在我们这个维度中如此麻烦的维度，只要你同意不进入那种电梯井虫洞，我们就没问题。你可以拥有你的飞机。你可以拥有你的电脑。
所以今天我们有一个关于Kareem Ani写的论文的故事，几乎20年前关于除以零的。我大约10年前偶然发现了它，它真的让我感到很有趣。多年来，我会想起它。我想知道这个想要除以零的人后来怎么样了。我想知道这对数学是否有后果。我想知道这对现实、对我的现实、对他的现实是否有真正的后果。我不知道。
但我想，随着我们自己在日历年中转动，穿过零重新开始，我想现在可能是一个不错的时机给他打电话，试图理解。所以我的朋友们，把你的计算器留在门口，因为我们将尝试进入一种新的数学。
我们开始吧。好吧，我想数学家会说的是……你是数学家吗？是的，抱歉。我们应该说你是谁，顺便问一下。你是谁？你做什么？你做什么？所以……
我是Citizen Math的创始人。我们所做的是为中学和高中课堂编写关于实际问题的课程。因此，学生们使用数学讨论，联邦政府是否应该提高最低工资？或者为什么航空公司超售航班？利用数学作为讨论和分析我们周围世界的工具。太棒了。但回到这个除以零的想法。是的。好的。那么……
也许我们先从为什么不能除以零开始？为什么这是一个如此严格的规则？好的，一个原因是因为它违反了一个数学原则，即每个操作都需要是可逆的。你所做的任何事情，都需要能够撤销。好的。假设你从10开始。
然后你除以5。所以现在你得到2。现在你需要能够回到10。因此，你可以从2乘以5回到10。10除以5得到2。2乘以5回到10。但是如果你现在尝试用零。好的，10除以零是某个数字。
那么，要倒退，现在那个数字乘以零，怎么能让你回到10呢？所以它违反了……因为零乘以任何东西都是零。它有点被吸回到零的黑洞中。对。所以这就是，它违反了这个习俗，可以说，或法律。因为没有任何东西可以乘以零得到数字10。完全正确。一旦你这样做……对。对。
所以数学家们创造了这个规则，这种封闭的门，基本上说不要尝试除以零，因为答案是未定义的。没有答案。你不能这样做。然而，有人曾经……
走过那扇门。嗨。嗨，Steve。Lulu，我想我们从未一起做过这个。我知道，这太疯狂了。我从未真正见过你。这真好。哦，太好了。是的，嗨。好的，这是Steve。Steve Strogatz，我是康奈尔大学的数学家和数学教授。Steve，
而Steve没有走过除以零的门，但他说这些规则，这些障碍，在数学中，打破它们一直是重要的。完全正确。实际上，这些是数学中最富有成果的部分。
当你尝试做一些看似不可能的事情时，它往往会导致整个新宇宙的创造。例如，Steve说，好吧，让我们考虑平方根。所以如果你取一个数字，比如数字3。好的，所以3乘以3，那就是，行话中，3的平方。3乘以3，3的平方是9。那么，反向操作是9的平方根是3。但是现在，假设你想取负9的平方根。你知道，你的第一反应可能是负3也许是负9的平方根，但这行不通。如果你做负3乘以负3……
你得到的是正9，而不是负9。因为在数学中，我们不打算深入探讨原因，如果你乘以两个负数，你会得到一个，砰，正数。所以你不能这样做。你不能取负9的平方根。没有任何数字可以工作。因此，很久以前，数学家们说，好吧，有一个规则，不允许负数的平方根。但是在大约1500年代末，一群新的叛逆数学家说，嗯，如果我们打破那个规则呢？
为了使数学有效，我们就发明了一个全新的数字宇宙。那是如此奇怪，以至于数学家们称这些为虚数。那些在技术上不是负数也不是正数的数字。有时被称为虚构数字。但它们使数学以一种方式运作，使你可以开始做负数的平方根。因为你只是希望它如此。只是发明一些新数字？是的。
这是发明。完全正确。这是艺术意义上的发明。你可以发明一些之前不存在的东西。但是有没有人说，不，我们有一个规则。你不能取负数的平方根。是的，绝对是。就像人类所做的其他任何事情一样。他们总是反应过度。总会有人说，你在搅浑水。你在用你的丑陋想法搞砸数学的纯净和美丽的世界，因为这些想法在智力上有很大的利益，总是会有抵抗。
但这就是突破发生的地方。你拿走早期几代人说不可能的东西，然后你说，假如呢？然后你尝试它，找出一种方法来做到这一点。这就是进步发生的地方。但是，像虚数给我们带来了什么？这给我们带来了现代世界。像具体的东西。我会告诉你。好的。我的意思是，虚数。
好的，所以如果我们快进到20世纪，这并不是虚数被发明的原因。它们早在那之前就被发明了。但是在20世纪，当原子理论开始被研究时，我们学会了如何描述氢原子和氦原子以及光的工作原理。换句话说，我们发明了——我们，1920年代的科学家集体发明了量子力学。
所以，这是我们最准确的物理理论。它今天给我们一切。它让我们能够通过互联网交谈。它给我们带来了激光。它给我们带来了晶体管、芯片，现代世界的一切。
在量子理论和它所促成的电子革命中都有基础。量子理论的数学建立在虚数之上。你不能在没有对虚数的理解的情况下进行量子力学。而且这很疯狂，因为几百年前被认为是虚构的东西，实际上变成了现实的数学。
对Steve来说，这就是数学的美和艺术性。我是说，在数学中，我们有创造的自由。我们可以做任何我们想做的事情，只要它是合乎逻辑的。数学在许多方面是人类对现实和逻辑理解的编年史。某种程度上是
就像，它始于早期人类提出的我们称之为自然数的概念，一、二、三，等等。然后美索不达米亚的苏美尔人和玛雅人各自独立提出了零的概念，这一概念在全球传播。然后几千年后，公元三世纪的中国，负数出现了，它们也在全球传播，数学变得越来越复杂，我们
因此我们开始制定规则，然后我们尝试打破这些规则。在这种破裂的余波中，我们常常发明新的数字，比如虚数、有理数、实数或复数。我们通过推动规则、推动数学的边界，发明了所有这些不同的工具，这些工具帮助我们更好地理解我们周围的世界。但在这里，除以零是不同的。
根本不同，因为它超越了像它会导致这些结果，这将破坏所有的数学，它会打破我们所知道的数学，而这对我来说实际上变得相当存在主义。当我们回来时，我们正在穿过那扇门。
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Lulu。Latif。Radiolab。我们回来了，Kareem和……除以零。好的，朋友们。现在是打破规则的时候了。我们将除以零。我们将拿起计算器，看看接下来会发生什么。
当我们这样做时。如果除以零，它会着火吗？因为实际上YouTube上有很多视频。尝试除以零是很棒且危险的。我们很甜。我们将展示机器除以零。书呆子们。我们将观看这个计算器尝试除以零。我们将使用这些旧的机械计算器。我将输入一个……输入一些数字。被除数为一、二、三。除以零，我们按下等于号。所以我们开始吧。
发生的事情是这些计算器上的数字不断滚动，滚动，滚动。发生的事情是它进入了一个无限循环。并且它永远不会停止。我想它会加热，所以最终会着火。就像驱动那个计算器的机制被卡住了。在一个无限循环中，循环，循环，循环。
而在这里，对于Kareem来说，这实际上变得相当存在主义。
因为，他解释说，要理解驱动那个循环的是什么，你必须考虑正在进行的数学。他说，你知道，举个例子，数字10。如果你取10并除以10，你得到1。10除以5是2。10除以0.5是20。底部的数字，也就是你除的数字越小，结果就越大。因此根据这个推理……如果你除以零，最小的虚无数字我们可以想象……
那么你的答案将是无穷大。为什么不是无穷大？无穷大听起来是个好答案。因为在数学中，无穷大实际上不是一个数字。它是一个方向。它是我们可以朝着移动的方向，但它不是我们可以到达的目的地。原因是因为
如果你允许无穷大，那么你会得到非常奇怪的结果。例如，无穷大加零是……无穷大。无穷大加一是……无穷大。无穷大加二是无穷大。无穷大加三是无穷大。那会暗示零等于一，等于二，等于三，等于四。啊！
这将打破我们所知道的数学。再次，Steve Strogatz。因为然后，正如你的朋友所说，所有数字都会变成同一个数字。对于数学来说……整个庞大相互关联的网络……将是一个问题。流体动力学、微积分……几何学、物理学，所有这些东西都依赖于数字是个体、离散的东西。但是……
如果你允许除以零，那一切都消失了。你会陷入所有这些奇怪的后果中，比如一等于零，等于二，等于无穷大，等于四。因此，为了保护数学和我们用它做的所有事情，比如制造计算机和飞机，以及……和所有现代技术。数学家们说，当你尝试除以零时，答案……是未定义的。未定义的。
它是未定义的。没有合理的定义。这就是他们设立那扇封闭的门的原因。因为门后面的东西，似乎是不可能的。似乎很难让我们理解。因为实际上我们所说的是，一切都是一件事。
现在，Karim说……当我十年前或多久之前开始思考这个问题时，这是一件有趣的事情。它是写研究生论文的有趣事情。但他说，最近，他有一种越来越强烈的感觉……这并不完整。这里还有其他东西。现在，也许……
这是你在生活中的某个时刻感受到的东西。也许你现在甚至感受到它，日常的东西并不是全部，还有其他东西在外面。
对于Karim来说，他说，听着。我不是宗教信徒。他几乎把自己的一生都奉献给了数学。数学在某种程度上代表了一种思考世界的方式，也是一种思考现实的方式。因此，对Karim来说，这让他感到困惑。看到数学本身说，当你实际上执行除以零的操作时。你最终会进入一个完全不同的世界。
在这个世界里，一等于二等于三等于无穷大。所有这些数字都是一回事，一切实际上都是一件事。一切都等于其他一切。而这个分裂的世界，我不是指政治分裂，但也包括这个，二元性、差异、事物彼此分离的世界，这一切都消失了。
而Karim无法不注意到，这正是你从耶稣所说的那种东西。像耶稣这样的人。当你把二变成一。还有佛陀。或者追随道教的人。或者经历过强烈冥想或强烈迷幻药的人。通常这些人回来后，他们所说的就是，我感觉我与一切融为一体。
所以你在这些宗教文本中看到，字面上看到整数系统的崩溃。我看到数学是一种思考现实和思考自然本质的方式。对Karim来说，因为数学本身引导我们到这个未定义的地方，在那里数字的运作方式截然不同。所有这些数字都是一回事。对他来说？这暗示着还有其他事情在发生。
我并不是说那是上帝或其他什么。这只是这里还有其他东西。而我无法定义，在这扇门的这一边，我无法清晰地表达那种现实会是什么样子。
但是……我已经中年了。现在Kareem进入他的40多岁……我没有孩子，没有配偶。他发现自己无法停止思考那种其他东西可能是什么样子。我看着我的生活，想，嗯，经过44年，你仍然对这个不满意。这一定是一个信号，要么你注定要不满，要么……
这是一个信号，表明你不会在这里找到它。你需要穿过那扇门，因为老实说，你的替代方案是什么？但是你实际上怎么做呢？就像，你怎么，我不明白你怎么实际除以零并穿过那扇门？我不知道。无论那意味着什么。我不知道实际除以零意味着什么。
但他说他确实知道，这必须从一些相当重大的变化开始。比如，他肯定需要辞掉工作。他需要离开他在华盛顿特区郊区的房子。听着，我是阿拉伯人。我对沙漠有一种奇怪的吸引力。就像，我可能会去找露营装备，去找一个沙漠，坐在沙漠里。然后……
好吧，他并不完全确定。他所知道的就是他需要与他几十年来一直在使用的数学部分连接，思考数字作为这些离散和不同的东西，然后尝试关闭它。这是我需要放下的东西。然后也许如果他仔细倾听，他可以开始听到一些东西。
或者感受到所有这些背后的其他东西。现在，好的，那么我对此的个人反应是什么？顺便说一下，有一个叫Steve Strogatz的人。是的，当然。我们和他谈过你。我们在你背后谈论了你，是的。我们告诉他你在思考的事情。
试图接触一个数字之间没有差异的世界？我会说你可以做到。如果你想这样做，你可以做到。你可以在你的脑海中创造一个所有数字都是同一个数字的宇宙。让我描述那个宇宙。是的。有一个宇宙，我将称之为零世界。欢迎来到零世界。好的。实际上，那里只有一个数字。零。
这是数学零世界的属性。零加零。等于零。无论你加多少次零，这都是真的。你在这个世界中无法得到任何新数字，因为没有额外的数字。只有零。零加零加零加零。眼睛所能看到的尽头。是的。就这样。
那就是你的宇宙。它是零的宇宙。所有数字都是一样的，因为它们都是零。
你现在快乐吗？他继续说。他说，对我来说。这就像是一个如此自我中心、可怜的小宇宙。那是终极的自我凝视，对任何人都没有帮助。但它是自洽的。如果你想假装只有零，你可以生活在那个宇宙中。哦，明白了。让我对此做出回应。是的。因为这是一个美丽的。Steven Strogatz是个非常聪明的人。
但问题是，那个最初的问题，您现在快乐吗？我会说，好的，Stephen，如果你生活在一个每个数字彼此不同的世界里，就像如果你在那个世界里快乐，那很好。我不快乐，因为我脑海中有这个问题。这个问题是……
那扇门的另一边到底是什么？对我来说，它是零世界，我觉得它令人窒息。它是一个非常贫乏的小自我封闭的逻辑地方。令人窒息但在数学上是合理的吗？我认为是的。它是可以辩护的。你可以拥有它。没有什么错。它只是尽可能简单的东西。它没有任何超越自身的潜力，但它只是一个很好的小自我中心者看着自己的肚脐。
但在你肚脐里面是每个人和一切。就像，我不知道。我只是想为他辩护，因为他不在这里。我不知道我是否想去那里。你可以尝试。我不买账。不，但这就像分裂。他一直在说，像分裂消失。政治分裂。精神分裂。二元性消失。让我试着为它辩护。
对，辩护的理由，我想，这是一个高尚的冲动，看到统一，这也是一个富有成效的冲动，科学上寻找统一理论。
历史上一直是物理学取得重大进展的方式。因此，认识到电和磁实际上是同一枚硬币的两面，我们现在称之为电磁学，这是19世纪中叶的伟大发明，给我们带来了现代的无线技术。
和电报和电话。然后爱因斯坦统一了时空、物质和能量。这是一种趋势。在过去的150年里，我们一直在物理学中进行这种统一计划，并且非常成功，它揭示了表面上不同事物之间的深层共同点。因此，意识到看似不同的事物实际上在深层是相同的，这个想法是有很大洞察力的。
这是一个好举动。从历史上看，这在很多时候都是一个非常好的举动。但还有一种举动是，除了统一的冲动外，你还必须有多样化的冲动。你必须意识到并非所有事物都是相同的，世界上有丰富的多样性，无论是人还是生物物种，或者
或现象。科学家有两种类型，或者说不止两种，但有统一者和多样化者，两者都是必要的。我想我想为这个快乐的中间立场辩护，如果你只关注多样性，你就看不到模式。如果你只关注统一，你就看不到丰富。我认为这两者都是对世界的片面看法。我不相信任何极端。
与史蒂夫和卡里姆交谈时，我认为我们真正讨论的问题是，你对世界的体验是否感到充实和完整，甚至真实？我认为对史蒂夫来说，接受数学的本来面目并享受它如何描述现实，带来了深刻的快乐和喜悦，以及一种真正的切实利益。
而对于卡里姆呢？每天我坐在电脑前。没有。正在重新编写我们的课程以使其更紧凑。我昨天正在处理的一个是关于音乐会门票和所有相关费用的。
我们的二级票务经纪人是阻碍还是实际上是在纠正某种市场失灵？这听起来很有趣。哦，是的。我们的所有课程都很有趣。我是说，我认为。但这都是基于数学的。听起来你每天都在盯着这些你认为限制你的东西。
这些数字，你不仅仅是在盯着它们。你甚至比大多数人更亲密地与它们打交道，因为你试图将它们适应宇宙并向孩子们解释。你在玩这些工具，听起来它们让你感到失败，或者也许不是失败，但它们并不是全部。我有点觉得我在无谓地打转。我觉得我准备好迎接某种东西。我觉得我准备好迎接下一个事情。但，
但对我来说疯狂的是，要做到这一点，由于你所做的事情的性质和你的热情，你必须背弃数学。听起来就是这样。我是说，我认为，我们的生活是分阶段的，我不会把它放下然后踩上去。对吧。这就像是温和地放下。并不是把它扔在地上，但我觉得我已经，
把那橙子里的所有汁液都榨干了。好吧，最后一个问题。当你思考这个世界，当你从数学上思考零世界时，哪里一个等于二等于零等于无穷大。一切都被吸入零的黑洞。是的。这个地方听起来你渴望去体验和理解和感受，对吧？我的意思是，那是，好的。什么？什么？
思考它并在理论上花时间在那里，是否改变了你对数字或数学的理解？它是否扩展了你对数学的理解？我更尊重数学，因为它写下了这个符号。写下这个符号？是的。那是什么意思？数学在说，有一些东西我们可以计算。
我钦佩这一点。为什么？为什么？因为每个人，我是基督徒。这是真理。除了这个没有真理。我是穆斯林。这是真理。除了这个没有真理。数学是一个非常强大的工具。对于这个机构或具象化的数学来说，能够说，我是一个异常强大的工具。如果你掌握我，如果你使用我，你将能够做很多事情。但
我并不完整。有一些东西我无法计算。我认为这种谦逊，我真的，我认为这是令人羡慕的。当我第一次写关于除以零的论文时，我想，我真的要给数学一个教训。而现在更像是，作为这个强大工具的一个美好礼物，我们用它做了很多事情，但如果你想走得更远，你现在需要放下我。
这一集是由马修·基尔提制作的，得到了阿卡提·福斯特-基斯和阿莉莎·简-佩里的帮助。混音帮助来自阿里安娜·瓦克。事实核查由黛安·凯利进行。编辑是帕特·沃尔特斯。顺便说一下，史蒂夫·斯特罗戈茨也主持一个关于数学的播客，他在其中与各种有趣的嘉宾讨论各种问题。它叫《为什么的乐趣》。W-H-Y，《为什么的乐趣》。而卡里姆写了一本书，专门讲述如何让孩子们谈论数学与现实世界难题的互动。它叫《亲爱的公民数学》。你可以查看citizenmath.com，看看他和他的团队多年来为中学和高中课堂设计的各种有趣课程。
今天就到这里。这一年就到这里。非常感谢你收听Radiolab。希望你们在假期中能得到一点零世界的体验，就像什么都没有发生。只是低压力，低思考。休息。敢我们说休息？欢迎回到零世界。那里没有手机。是的，你珍贵的小手机不见了。
哦不，哦不，哦不。要去哪里吗？我不这么认为。没有汽车，没有飞机，摩托车，自行车。都没有。没有钱，哦，多么好的自由，没有钱。你甚至不能在这里数数。这里没有任何东西，除了零。尽所能看到的都是零。你现在开心吗？嗨，我是海泽尔，来自银泉。
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我们的事实核查员是黛安·凯利，艾米莉·克里格，和纳塔莉·米德尔顿。谢谢。
嗨，我是来自印度的拉姆。Radio Labs科学节目领导支持由戈登和贝蒂·摩尔基金会、科学沙盒、西蒙斯基金会倡议和约翰·坦普尔顿基金会提供。Radio Lab的基础支持由阿尔弗雷德·P·斯隆基金会提供。
我是艾拉·弗拉托，《科学星期五》的主持人。30多年来，《科学星期五》团队一直在报道高质量的科学和技术新闻，通过覆盖从外太空的边缘到快速变化的人工智能世界，再到我们身体中最微小的微生物，使科学对好奇的人们变得有趣。
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