Our Mathematical Universe with Grant Sanderson (3Blue1Brown)
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数学是发现的还是发明的？尼尔·德格拉斯·泰森和查克·奈斯探讨信息论，用质数与外星人交谈，曼德勃罗特集，以及为什么数学通常被称为“宇宙的语言”，与格兰特·桑德森交谈，他是YouTube频道3Blue1Brown背后的数学教育家。注意：StarTalk+赞助人可以在这里收听完整剧集，无广告：https://startalkmedia.com/show/our-mathematical-universe-with-grant-sanderson-3blue1brown/感谢我们的赞助人萨蒂什博士、苏珊·克莱纳、哈里森·菲利普斯、马克·A、雷贝卡·福克斯、亚伦·西阿尔拉、乔·雷纳、戴维德·格雷奇、菲达·武奥里、保罗·A·汉森、伊姆兰·尤苏夫扎伊、查理·维克托、鲍勃·考尔斯、瑞安·柳姆、蒙蒙、塞缪尔·巴内特、约翰·德斯马托和玛丽·安妮·桑福德本周对我们的支持。 在Apple Podcasts上订阅SiriusXM Podcasts+，即可收听无广告的新剧集，并提前一周收听。</context> <raw_text>0 本期节目由Progressive赞助播出，在Progressive，切换保险的司机平均节省近750美元。此外，汽车客户平均可以获得七项折扣。现在就访问Progressive.com获取报价，看看您是否可以节省开支。

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查克，我们终于请到了一位数学家作为StarTalk的嘉宾。而且是我真正喜欢的一位。有时候很难喜欢数学家，因为你知道，他们懂数学。在StarTalk即将到来的节目中，我们将邀请一位真正的数学教育家来告诉我们，当我们思考数学时，我们不应该想什么。

欢迎来到StarTalk，您在宇宙中的位置，科学和流行文化在这里碰撞。StarTalk现在开始。这是StarTalk。

尼尔·德格拉斯·泰森，你是一位个人天体物理学家。查克，很高兴见到你。查克，你好吗，伙计？哦，伙计，我感觉很棒，尼尔。职业喜剧演员和我的联合主持人。没错。按这个顺序。有时候。有时候按这个顺序。所以，查克，我认为这，我们将

部分内容将是宇宙探秘。是的。但我们有很多内容要涵盖。所以它不会是一个完整的宇宙探秘。它将是，让我们尽可能地融入其中，因为主题是数学。什么？宇宙的语言？学习数学，孩子。这是宇宙的语言。你想和宇宙对话吗？学习数学。学习数学。

而且在这个主题上，有一位最有趣的专家。他的名字叫格兰特·桑德森。格兰特，欢迎来到StarTalk。很高兴来到这里。谢谢你的邀请。是的，你在大学学习数学，然后你出来为……工作……

或者可汗学院。哦，我的天哪，如果你从未见过……哦，可汗学院。我知道。如果你从未登录过可汗学院，你可以去那里学习关于任何事情的一切。他们关心你的学习方式。他们不会只是给你一本教科书。这是一种完全不同的体验。我甚至会称之为快乐的，学习几乎所有科目。

如果你学不会，你可以抬头握紧拳头说：“来吧！”这是一个真正的机会。对于那些不够极客而无法理解的人来说，这里有一个星际迷航的典故。对。所以格兰特，你有多个数学平台。你有一个播客、博客、YouTube。

你有精彩的帖子，有数百万的浏览量，而且这不是你在做的琐碎的数学。这是真的。当我说是真的时，我的意思是，这是那种数学

大多数人都会走过并说：“我不需要知道这个。我不想知道。这与我无关。”然而，你却以某种方式扭转了局面。在我问你第一个问题之前，查克想问你第一个问题。是的。这是我的第一个问题，格兰特。它听起来可能有点轻率，但事实并非如此。我很认真。

数学到底是什么？好的。数学是什么？因为，你知道。数学到底是什么？数学到底是什么？好的。这就是我问的原因，这样你就能得到更多背景信息。好的。首先，我们一开始就说，嘿，这是宇宙的语言。你经常听到这句话。但是。

当我想到它时，我想，好吧，我们有这些符号，我们给这些符号赋予了值，然后这些值有一些围绕着这些值和符号的概念。如果我来自另一个星系，我

我不会知道你的该死的数学。那么它怎么会是宇宙的普遍语言呢？好吧，好的。所以它让我想起了一点，这个问题以另一种形式出现在我面前。我最近参加了一个婚礼，在那里我刚认识的一个知道我做在线数学的人非常认真地说，例如，“为什么几何是数学？”这与你问的问题不同，但它有点像孩子一样，我们所说的数学到底是什么意思？而且，嗯，

我最初的回答是说，这是我们可以非常精确地知道的东西。数学中最古老的文本之一是欧几里得的《几何原本》，他所做的事情之一就是从提出一些公理开始，说：“假设这些事情是真的。假设直线是一回事。假设点是一回事。假设如果你有一个不在直线上的点，那么有可能画一条与之平行的直线。”诸如此类的事情。仅仅用这五个假设，

然后严格地证明那些必须为真且毫无疑问的事情。所以在其他领域，总有一些疑问。在其他领域，你的脑海里总会有这么一点东西，会问到实验误差，会问你，也许我没有观察到应该存在的东西。真正将数学与其他事物区分开来的东西是，假设你同意公理，那么其他一切，就没有疑问了。这是一个真正严格的证明。

所以我们可以说，外星人可能会使用不同的符号，但最终我们认为数学存在于那里，等待任何具有逻辑思维能力的人去掌握。

但这提出了一个问题，例如，公理是什么？你从哪里开始？我的意思是，你可以有各种各样的数学。就像一旦你成为一名大学数学专业学生，你就会学习所有这些课程，例如群论或拓扑学等等。它们总是从说“这里有一些定义”开始。我说，“这是一个带有某些附加内容的集合”。它看起来像胡言乱语。然后你继续前进并证明一些东西。但我认为学生们总是可以提出一个非常合理的问题，例如，

为什么这是我们开始使用的对象？我们可以构造各种其他对象并继续前进。因此，它与它如何与世界相关以及你正在发展的数学是否有用之间存在着相互作用。因为我认为，如果你采取纯粹的逻辑立场，你可以发展出一大堆无用的数学。事实上，你可以问，现在正在发展的一些数学，也许永远不会有用。但是

历史有这样一种奇怪的轨迹，即看似无用的东西会重新出现并变得有用。但这是一个真正深刻的问题。为什么？有些数学家做数学只是因为他们非常确定它永远不会有用。好吧，

好吧，我的意思是，有一位相当著名的数学家哈代，这大约是在二战时期。他写了一本书，叫做《数学家的悲叹》。对不起，《数学家的道歉》。哈代是拉马努金的老师之一，如果我没记错的话。他是，是的。是他回复了拉马努金的信并把他带进来的。伟大的数学家。他由谁扮演的？我认为是杰里米·艾恩斯。杰里米·艾恩斯。事实上，那些……

喜欢我们档案的人可以挖掘出我们对杰里米·艾恩斯的采访，我们谈论了他扮演数学家哈代的那部电影，以及他……

呃，对……的反思，以及整个故事对他意味着什么。对不起。我最喜欢的演员之一加上我最喜欢的人物之一。所以这就像，“哦，这对我来说真是命运。”我不敢相信我还没听过这个。但我的意思是，哈代写了一些，他有点陶醉于某些类型的数学永远不会被使用的事实。他强调的是，你知道，素数理论和相对论永远不会被用作战争工具。嗯，

这具有讽刺意味，因为素数与密码学有很大关系。相对论与GPS以及所有相关的东西都有关系。你是个白痴。

但他对它的陶醉有点奇怪，对吧？这是一种你只能从学者那里期待到的东西，也许吧。但就像，即使他们试图不让它有用，对吧？即使其中一个试图不让它有用，它似乎也会回来。所以对于你的问题，Chokhan，你知道，什么是数学？

如果我们只是说它是我们可以确定知道的东西，那感觉并不令人满意，因为这在某种程度上并没有与这个奇怪的事实联系起来，即它也描述了世界。我想补充一点，在电影《接触》中，不是在书中，而是在电影中，外星人首先用描绘素数的脉冲与我们交流。是的。

对。有很多特殊的序列。这可能是最简单的特殊序列之一。所以这是素数的另一种用途。如果我们对素数一无所知——

所以我认为你会遇到一个外星物种。他们来到地球。嗯，你说，“你知道素数吗？”他们不知道这种语言。他们会说，“你这是什么意思？”素数？你开始敲击，像两次敲击，三次敲击，五次敲击。你这样做。外星物种做了任何思考。他们会说，“啊，

我明白了。我明白了。我明白了。”这是一个如此自然的序列。就像一旦你有了计数数字，然后你开始问一些好奇的问题，任何智慧生物都会偶然发现素数是一回事。只是为了明确起见，所有这些都假设他们用十进制计数。不，不是的。根本不是。是的，是的。不，不。

不，不，不，如果你只是敲击两次就不是这样。那么你怎么写下这个数字呢？是的。这就是你所谓的。写下这个数字。你明白了。所以我们会写1，3，也许他们有不同的十进制，但如果你只是做13次敲击，然后你做17次敲击，对吧。你继续做所有素数，就像任何，你知道，任何人工智能，任何外星人，他们都会一致认为这一个很重要。他们正在敲击出格里芬序列。没错。没错。是的。

查克，知道你的素数，以备不时之需。以防万一我遇到外星人。对。所以我不想问你这个问题，只是因为我不喜欢这个问题，但我为什么不问你呢？我过一会儿会告诉你我不喜欢它的原因，但是数学是发明出来的还是发现出来的？

好吧，没关系。原谅我问了这个问题。不，不，这是一个非常常见的问题。让我们举个例子，而不是空谈哲学。好的。学生们在学校里学习的第一个实质性定理之一是勾股定理。所以，无论我们是否已经忘记了，我们中的许多人都会遇到这种情况，如果你有一个直角三角形，你将两条较短的边标记为A和B，然后将较长的边标记为C，无论你有什么直角三角形，A平方加B平方等于C平方。

这是一个很酷的事实。它并不明显应该为真。它很有用。它可以让你进行各种测量。这是你遇到的第一个定理，它不仅仅是从定义中推导出来的。它很有趣，而且就是这样。现在，如果你问，比如，这是……

事实是发明出来的还是发现出来的，一开始感觉像是，好吧，它肯定是发现出来的。你走到世界上，你会看到直角三角形，你可以测量它们。它在那里等着你去发现它。它在那里等着你去发现它。但是当你进一步学习数学时，你就会开始问一些问题，例如，什么是空间？什么是三维空间、二维空间等等？

然后，在数学上定义二维空间的一种方法是，与其说，哦，这是一个预先存在的东西，我们可以在这个上面放置一个坐标系。很多数学都是从坐标本身开始的，说它是所有实数对。所以与其说，哦，存在这样一个平面，然后你放一些像轴一样的东西，你说，这是你的X坐标，这是你的Y坐标，到达空间上的一个点。你说，与其说所有关于什么是平面等等的棘手的哲学问题，我们只是说一个平面是所有实数对。

就是这样。然后你可以继续进行数学运算。你可以进行证明等等。但是当你问，两点之间的距离是多少？你必须为空间分配他们所谓的度量，一种表示距离的方法。

你通过写作使勾股定理成立。你定义了一个使其成立的度量，并且你可以对它使用其他度量。然后它开始变得有点棘手，等等，它还能被发现吗？或者如果这就是我们进行所有数学运算的方式，我们说，你知道，一个平面只是数字对，

从数学上来说就是这样。然后你就不再有那种感觉，哦，它在那里等着被发现。等等，格兰特，你所描述的与知道存在各种空间，勾股定理适用于我们所学到的空间有何不同？

但是如果你弯曲空间，那么三角形就会不同，对吧？三角形的角度之和大于180度，而传统三角形，特别是直角三角形，其角度之和恰好等于180度。所以这将是空间的不同度量，对吧？

是的。我的意思是，你可以对空间使用不同的度量，这是一种数学家的超能力，对吧？你没有受到约束。非欧几里得几何是在它被用于物理学之前被发现的，但是如果你在球体上做事情，那就没问题了。但在所有真正使它栩栩如生的相对论内容出现之前。当然。对，对。

但是这种来回往复，你可以在某一时刻感觉它被发现了，就像一个令人敬畏的真理，而在另一时刻感觉它只是被烘焙到定义中。这是一种非常冗长的回答你提出的简单问题的方式，数学是发明出来的还是发现出来的，对于我喜欢思考的方式。它两者都是。更具体地说，我认为你出去根据你的世界或你现有的数学来发现东西。你使用这些发现来告知下一步的定义。在

然后你在下一步中做出更多发现。然后你使用这些发现来进一步告知定义。所以基本上你是在说，数学的发现方式就像哥伦布发现美洲一样。就是这样。如果我们将其定义为西印度群岛呢？通过这种方式，我们这样定义它。

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即使我不完全同意，我也非常尊重它。你和许多教育工作者在这一点上有所不同，你并不一定优先考虑。我没有把话放在你嘴里。所以如果我误解了这一点，请纠正我。你知道，你并不优先考虑。你应该学习数学，因为它与你的生活有关。

对。这是一种典型的数学老师会采取的方式。担心如果他们教的数学与人们的生活无关，人们就会忽略它，感到厌倦，然后睡着。所以我有两个问题要问你。首先，我们可能都同意，数学比任何其他科目都更让人们说这是他们最难的科目。那么，如果不是通过让它与人们的生活相关，你该如何解决这个问题呢？

首先，我认为每当讨论教育时，我们都应该排除解释与教育不同的想法。制作YouTube视频或制作解释视频的想法与在课堂上担任教育者、从学生那里引出一些东西的任务大相径庭。然后你玩的是不同的游戏，我认为这与这里的答案有关。

因为如果相关性摆在桌面上，那么在一小时内就能解释为什么这部分数学实际上触及到某人的生活。太棒了。继续努力。如果有人能看到它对他们有什么用，这是最鼓舞人心的事情。我有各种各样的朋友讨厌数学，但我曾在湾区住过一段时间，那里有很多程序员，他们通过编程爱上了数学。因为他们对计算机科学感兴趣，他们看到，嘿，为了完成这个图形项目，我想我确实需要理解矩阵。

你也学习过计算机科学。是的。所以，是的，我的很多社交圈都在这些领域。所以这是一个我多次看到的故事，这里有一点，有用性是让某人最终喜欢它的原因。

这很好。但我认为很多时候，对于给定的数学来说，效用在不久的将来根本就不在桌面上。你想教一个高中生关于二次公式，他们会说，我什么时候会用到这个诚实的答案？

- 从来不会？- 十有八九，永远不会，永远不会。就像你可能会—— - 不，不，不，不仅仅是永远不会，永远永远不会。- 好的，我曾经犯过一个错误。我曾经在皮克斯做了一个演讲，我用这个作为例子，比如二次公式，你永远不会用到它。所以我们必须用其他方式来激励。

然后之后，所有这些图形程序员都来了。他们说，我们每天都在用它。他们说，它被用来制作电影《寻梦环游记》大约一万亿次。我说，好吧，好吧，好吧。就像，是的，它可以。是的。小心你对皮克斯员工说的话。皮克斯有一些在数学和科学方面有素养的人。是的。但是是的，对于大多数人来说，永远不会，他们永远不会用到它。然后你说，为什么学习它？你可以说它根本不值得学习，对吧？你知道，花时间学习其他东西。

但是，在数学环境中，严格思维的脑力锻炼是如此纯粹，以至于它确实会锻炼一些在其他地方有用的肌肉。数学家，继续。好的，是的，这是自私的。但我认为更好的类比是，如果你想告诉学生为什么他们应该学习这个，就像，

如果你去一个足球运动员那里，他们在健身房里做深蹲，你说，你永远不会在球场上扛着400磅的重量，你像这样举重。就像，不，不，不，这是在锻炼肌肉。所以我认为我们在学校做的很多数学，它的动机是一样的。你说，不，不，不，你不会像在球场上那样使用这个特定的事情，你不会做字面意义上的深蹲，但是做深蹲所锻炼的肌肉确实会让你以后变得更强大。

这也说明数学可以，而且我认为通常应该作为一种艺术来教授，仅仅因为它可用。而且如果你能让某人接受它的美丽，这和效用一样鼓舞人心，甚至更鼓舞人心。而且通常做得对。鉴于例如20分钟的在线解释的限制，它比效用更在桌面上。只是为了明确起见，我见过一些难看的数学。

把它说出来。我也见过一些难看的画作，对吧？但这并不意味着我们不能。所以告诉我，你会把信息论算作数学吗？百分之百。是什么让它如此？

好吧，部分原因是我所说的。这是我们可以非常精确地描述的东西。哦，正如我们开始这次谈话时所说的，精确计算是你在这里重视的东西。所以你使用信息论，据我所知，帮助人们在口头上。这怎么可能，这怎么可能？好吧，首先，对于那些不知道的人，我不是说是我，但是

什么是信息论？对于其他所有人，查克。是的，我的意思是，你知道，对于所有现在正在收听的人来说，比如，你是什么意思信息论？呃，

所以我会通过谈论尼尔提到的这个项目来回答你的问题，查克，在我想是2022年的时候，当Wordle在英语互联网上变得非常流行时，这是我作为编程项目而被吸引进去的一次，说，你会如何编写一个玩Wordle的机器人？因为它显然是机器人可以玩的东西，但这只是一个有趣的编程练习。

当我这样做的时候，我认为它实际上是一个非常好的激励性例子，可以向公众解释信息论。因为这里有一个很多人喜欢的游戏。我最初想到的如何去做的方法涉及到信息论中的这些想法。我认为，哦，这可以帮助激励。所以为了回答你的问题，查克，通常如果你处于玩Wordle的情况，假设你想知道，作为第一个词玩更好吗

所以这个游戏的性质是，你会得到一些字母。如果这些字母是你在尝试获得的真实单词的一部分，即你试图获得的秘密单词，如果它们在那里但位置错误，它们会显示为黄色，如果它们在那里并且位置正确，它们会显示为绿色。所以这是一个使用你之前的猜测来获得更多关于真实单词可能是什么的信息的游戏。并且有那个词信息。所以你可以使用的最糟糕的起始示例是单词kayak，K-A-Y-A-K。

从某种非常精确的意义上说，这是最糟糕的起始猜测。-是的，我现在已经看到了。你刚才描述的那些规则，这是一个糟糕透顶的词。-因为这就像，单词中出现Y的几率是多少？可能性不大。单词中出现K的几率是多少？可能性不大。你没有击中那么多元音。所以你会觉得你并没有从单词中学到太多东西。-顺便说一句，Scrabble字母的估值与此非常吻合。

是的。对。因为稀有的字母价值更高。说得通。好的。好的，继续。我认为我们以一种非常启发式的意义来使用这个词“信息”，它的意思是，我从做某事中学到了很多东西，而我没有学到很多东西。

但真正使它严谨的是一位非常聪明的人，名叫克劳德·香农，他在贝尔实验室工作。这大约是在20世纪30年代和40年代。你知道，你有很多游戏试图通过电话线发送信息，比如你正在和某人交谈。但有时会有噪音。所以你可能会问，哦，我们应该增强信号吗？我们应该增加更多线路吗？就像，你怎么能更系统地思考你能沟通得有多好？

所以他写了这篇论文，这篇论文是现在被称为信息论的开创性论文。他是这篇论文中第一次使用“比特”这个词的人。所以这是比特作为概念第一次出现。那里的基本思想是这样的，如果你假设有一些事情可能有两种方式，你抛硬币，可能是正面也可能是反面。一旦你看到结果，你就了解了一些关于宇宙采取了哪条路径的信息。

如果只有两种可能性，你知道，他说，你在这里学到的信息单位是一个比特，但假设有100种可能性，你学习了其中一种特定的可能性。不知何故，感觉你获得了更多信息。他想出了一个量化这个的公式。然后他使用这个公式及其相关公式来描述你可以在具有特定噪声量的东西上传送多少信号。它使得存在一个，

存在一个理论极限，你可以说，这就是我们可以尝试传递的信息量。然后巧妙的编码方案可以尝试达到这个极限。现在，在Wordle的背景下，这意味着你可以根据香农熵（这是一个花哨的说法）来计算起始猜测有多好。但基本上，平均而言，你期望从中获得多少信息？Kayak在这个语境下具有可怕的香农熵。像slate这样的词实际上非常好。

它有E，它有A，L和T是很常见的字母。S，即使它不会出现在结尾，仍然是一个非常常见的字母。所以我基本上制作了这个视频，它介绍了如何使用信息论类型的概念，并试图激发这些概念，以此作为编写一个机器人来玩Wordle这个小爱好游戏的一种方式。这里有一个你不太常听到的

但它非常重要。那就是中心极限定理。所以中心极限定理之所以如此重要，是因为它被过度使用以及被认为比实际更有用，而不是因为它本身的效用。但是世界上有很多事情似乎是按照某种正态曲线分布的。这就是我的意思。他们似乎不是。他们是正确的。你是什么意思？好吧，实际上，

实际上，不，这是一个很好的讨论素材。让我们以身高为例，人类的身高，因为我认为这有点争议。所以如果你去测量很多人的身高，测量我的身高，你的身高，以及其他一千人，一百万人，然后你创建一个图表，你知道，你可能按英寸来分组。所以所有身高在5英尺9英寸到5英尺10英寸之间的人都在一个组里。所有身高在5英尺10英寸到5英尺11英寸之间的人都在另一个组里。你对同一群体的人这样做，比如说。所以我们将男性和女性分开，同一个国家。

你会注意到有一种形状在中间凸起，两侧逐渐变细。你对各种其他统计数据也这样做。你会看到同样的形状，似乎在中间凸起，两侧变细。而且

而且不仅仅是，你知道，有很多形状可以在中间凸起，两侧变细，但是你可以使用一个非常精确的函数，它似乎非常好的描述了这一点，即使在所有这些不同的情况下也是如此。得到了这个有趣的公式。它看起来像E的负X平方，加上一些常数。但其思想是，通过有一个公式，然后你可以做出精确的预测，例如说，

嘿，你认为有多少人，多少百分比的人会高于6英尺4英寸？或者男性中多少百分比的人会低于5英尺2英寸？以及所有这些类型的问题。所以中心极限定理解释了为什么是这条曲线而不是其他曲线，为什么这条曲线会出现。同样重要的是，它解释了何时……

何时它实际上会出现，而不是它的一些虚假的近亲，它们看起来有点像它。因为它发生的方式是，如果你有很多不同的事件，你以某种方式将它们加在一起。所以正态分布的原始柏拉图式例子是这样的。假设我和你站在外面，我们将玩这个游戏，你抛硬币，当它是正面时，你向前走一步。当它是反面时，你向后退一步。

所以你抛硬币，也许向前走一步，抛硬币，再走一步。你不仅自己玩这个游戏，还和你的10000个朋友一起玩。所以你们每次都在抛自己的硬币。你们中大约一半的人向前走一步，一半的人向后退一步。你抛了，我不知道，15次。所以你们都在走动。你们中的一些人非常非常幸运，向前走了15步。一个更典型的人，你知道，也许他们向前走了7步，向后退了8步。

但是如果你看看每个人的位置，那将非常非常完美地或非常非常接近地遵循正态分布。这是因为你有了这个想法，你做了一个特定的随机事件，抛硬币，并且你多次添加结果。而且至关重要的是，所有这些事件都是独立的。每次抛硬币都不会影响下一次。每当你这样做时，将许多独立的事情加在一起，

这根本不明显，这总是趋向于相同的普遍形状。它不必是抛硬币。它可以是任何其他具有自身内部分布的随机过程。你总是得到这个想法，将一堆随机的东西加起来，这些东西彼此独立，会让你落在这种普遍的形状上。现在，我之所以说“似乎”并且在那里有点犹豫，是因为我认为在统计学中有很多时候人们会假设某些东西是正态的，

而实际上并非如此？或者正态分布。是的，是的。因为我假设Chuck是正常的，但我对此表示怀疑。因为只有你一个人，这就是原因。你说什么？假设某些事情会遵循正态分布。是的。尤其是在涉及长尾事件时。在你继续之前，我必须快速问你一个问题。

因为当我想到这一点并想象它时，它几乎有点说得通，这种分布，因为你只谈论抛硬币。但你说任何随机的，所以让我们取10个白色弹珠并将它们放入一个袋子中，再取一个黑色弹珠并将它们放入一个袋子中，这些人玩完全相同的具有相同次数选择的相同游戏。你告诉我，同样的分布将以同样的方式表示吗？我的意思是，如果它不是50-50的随机……

所以，是的，更精确地说。所以假设你经常挑选白色弹珠，11次中有一次你挑选黑色弹珠。你玩这个游戏。他们做了20次选择。它们彼此独立。你仍然会看到正态分布。有什么不同？平均值将不同。所以每个人都将向前迈出比向后迈出更多的步数。所以他们肯定会被推到路上。

为了清楚起见，每个人，他是一个数学家。他使用了“平均值”这个词。他的意思是平均值。好的。平均值，是的，是的。他们的平均位置将不同。我们家里有一位数学家。标准差。它不是斯特恩分布。就像，站起来。你走一步。我是平均分布。走一步，该死的。

这是一个非常有见地的提问，因为它涉及到我没有提到的一件事，那就是它并非字面意义上相同的分布，它们在空间中的同一点，但它们会被推到路上。它们可能会分散得更多一些。然而，你绘制在其上的这条曲线形状具有一个非常具体的函数，即e的负x平方，这不是一个任意的函数

通过调整几个参数，它只会告诉你它的中心在哪里，它分散了多少，只有两个不同的参数，它仍然会匹配。这就是它的真正惊喜。这就像，当然有些事情会改变。例如，中心在哪里？当然，传播会改变。但令人惊讶的是，这就是唯一的事情。不知何故，你所做的关于特定球和袋子例子的所有其他有趣的事情都被冲走了。-顺便说一句，早期宇宙中宇宙微波背景的波动

平均值周围的冷热之间正是这种分布，这给了我们关于很久以前大爆炸发生的事情的信息，导致它的量子涨落。非常强大的分析方法。

素数因子的平均数。你取一个巨大的数字，然后问它有多少个素数因子？你对许多巨大的数字取平均值，正态分布。它只是，它出现在所有这些不同的诡异、诡异的……是的。是的。很诡异。是的。但我也认为对于有两个聪明人来说，存在回归平均值的情况。

他们很聪明是因为他们生活中发生的一些组合。然后他们生了孩子。他们的孩子不太可能像他们一样聪明，因为他们会回归到其他所有人的平均水平。所以它在生物学中发挥作用。这就是我的意思。你试图……你试图创造一个描绘我在这里是婴儿的场景吗？

发生了什么？在我们进入问答环节之前还有一件事。我们为什么不在这里向分形致敬呢？告诉我关于曼德尔布罗特集的信息。我喜欢好的曼德尔布罗特集。这是那些真正吸引公众的图像之一。离开家时不要忘记带一个。让我说一句，在我多年主持StarTalk的经历中，这是有史以来最极客的一句话。

-好吧，让我看看曼德尔布罗特集。-我错了吗？-不，继续。-哦，天哪，天哪。这取决于你想要多少细节。其中一个版本是简单地告诉人们，去YouTube搜索“曼德尔布罗特集深度缩放”，然后简单地观看和欣赏形状。我认为这是很多人与之互动的方式。这是一个非常非常复杂的形状，无论你放大多少倍，总会有更多细节可以发现。

这本身就很酷。从数学家的角度来看，很酷的是它有一个非常非常简单的规则来描述它，即使它产生了这个令人难以置信的复杂形状。而这个规则……

如果你觉得太无聊或细节太多，请再次阻止我。所以这里最困难的部分是，你必须首先谈论复数，这是一个听起来比实际更复杂的术语，因为它们字面意义上使用了“复杂”这个词。但是，与我们通常认为位于数轴上的数字相同，有一种非常自然的方式来表示生活在二维空间中的数字。所以你选择二维空间中的一个点，并且有一个与之相关的数字。

你可以做像将其自身相乘并向其添加数字这样的事情。-进行正常的质量运算。-正常的数学，正常的数学。所以你从某个点开始，然后基本上说，好吧，我将把那个点称为我的常数C。

然后我将玩这个游戏，我从零开始，我总是取我所拥有的数字的平方并加上C。例如，你从零开始，零的平方是零，然后你加上C，你得到C。你就像，太好了。我将再次这样做。我将对这个数字进行平方，也就是C的平方。所以如果C是1，你将得到1的平方，然后你加上C。所以你得到2。你玩这个简单的游戏，它几乎就像你在使用计算器，你只是不断地按下回车键，做了类似的事情，如果我重复这个操作会发生什么？

有时这个过程会无限放大。有时它似乎保持有界并四处反弹。如果你根据这两件事中的哪一件为平面上的每个点着色，如果它永远不会跑到无穷大，它只是四处反弹很多，你就将其着色为黑色，如果它跑到无穷大，你就将其着色为其他颜色。你甚至可以根据它跑到无穷大的速度赋予它一种色调。

这套简单的规则，你可以用任何编程语言的三行代码编写，产生了这个令人难以置信的复杂形状。它表明复杂性不必来自复杂的规则。复杂现象有可能来自非常非常简单的规则。我认为这是一个强大的想法。顺便说一句，Man O'Broad是一个现代人，对吧？他出生和去世是什么时候？是的。

他出生是什么时候？我的意思是，20世纪。是的。20世纪。我认为曼德尔布罗特就像70年代那样。我认为他在IBM工作。他的名字是贝努瓦·曼德尔布罗特。所以我刚刚发现曼德尔布罗特生活的时间。

出生于1924年，去世于2010年。哇。是的。我们时代的人。是的，确实。非常酷。所以当你放大时，你会看到新的细节，这些细节是由你刚刚看到的先前细节决定的，但规模越来越小。而且一直都是这样。好吧，这是分形的非常经典、著名的描述。

是的。它是，它是，它是，它是名人分形，你知道，这就是，你知道，这是每个人都想调用的A级演员分形，如果他们在考虑分形的话。但是，但是因为它可以如此简单地定义。

复杂性只是它的外观，但就信息论而言，它与之关联的信息很少。因为我记得，因为我曾经短暂地活跃在这个领域，人们想知道，我们能否使用分形来表示来自太空的图像中的树木？如果我们要模拟森林与土地之间的区别，你知道，不可耕种的土地，然后……

其中一些被放弃了，如果不是全部的话，因为……

自然界实际上比分形有更多细节。所以分形就像一种懒惰的方式，让它看起来有细节。人们在计算机图形学中也这样做。他们将使用分形和分形思想来使其看起来像自然，而无需使用大量的计算机。实际上这样做。好的。现在你必须听听我的曼德尔布罗特笑话。好的，告诉我你的笑话。好的，你可能知道它。所以只是……

贝努瓦·曼德尔布罗特的中间名是什么？我听过这个。好的，继续。

贝努瓦·曼德尔布罗特。当然。好的。我没有听过这个。当然我没有听过这个。很好。很好。我可以纠正吗？我要做那样的人。哦，所以你是对的。你是对的。我记错了吗？继续。继续。好吧，那是Averitt。我所知道的版本我认为更好一点，他的中间首字母是B，所以每个人都称他为贝努瓦·B·曼德尔布罗特。然后你回答这个问题，嘿，那个B代表什么？

好吧，它代表贝努瓦·B·曼德尔布罗特。哦，我明白了。所以你一直在补充B。好的，你明白了。这就是重点。谢谢。我把它缩短了，因为我的记忆记不住整个笑话。我要让你知道，作为这里的常驻外行人和喜剧演员。

它不好笑。不，我在开玩笑。开玩笑。

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所以Chuck，你有一些来自我们的Patreon支持者的问题，他们可以独家访问我们的问题流程。那么你今天有什么要问我们的客人呢？顺便说一句，你可能是我们有史以来第一位数学家客人。

我几乎不好意思这么说。我对“数学家”这个词有点犹豫，因为我不，我不是研究型数学家。我经常喜欢将它放在某种高度上。好的。好的。所以出于尊重你的担忧，我将重新措辞，以免夸大其词。好的。你可能是我们遇到的第一个真正热爱数学的人。好的。是的。

你知道，布莱恩·格林会因为你的这句话而非常生气。哦，那是真的。好的。是的，伙计。是的，但我不会称他为物理学家。是的，他是一位物理学家，所以无论如何。好的。好的，让我们开始吧。顺便说一句，如果您是Patreon赞助者，我们非常感谢您。是的，谢谢。让我们去……你好，泰森博士，桑德森先生，奈斯先生。这是来自巴西里约热内卢的雨果·达特。你好。

我和我6岁的女儿奥利维亚是StarTalk的忠实粉丝。桑德森先生，人工智能的发展为数学概念的视觉表示带来了哪些新的可能性？该领域是否正在发生或即将发生一场革命？你知道什么？谢谢。所以人工智能是否在触及数学？基本上是这个问题吗？是的，它以一些非常有趣的方式触及数学。所以

几个不同的途径。其中一个途径是使用人工智能来推断猜想，即你查看大量关于某个数学问题的的数据。很多时候，当人类提出猜想（即他们尚未证明可能为真的猜测）时，他们只是使用他们的直觉。他们说，好吧，这似乎可能是真的。也许我应该尝试证明它。

所以DeepMind做了一些工作，他们基本上让一些计算机尝试生成什么是有趣的数学。DeepMind是谷歌，对吗？那是谷歌，是的。是的。是的，所以这是一个途径。还有另一个途径，数学本身具有精确性，就像我们一直在描述的那样，这种精确性也非常适合计算机。所以这……

在过去十年中真正出现的现象是证明检查软件的概念，当你写一个定理时，你不用用英语写，而是用一种实际的编程语言写，这种语言可以确定地检查这个东西是否正确。所以，例如，真正的数学家和我都会收到人们声称已经证明某个著名的未解问题的电子邮件。对这些电子邮件的正常做法是忽略它们，因为这不是……

一个真正的证明通常出现的方式。但是证明检查软件意味着你可以基本上说，嘿，如果这是一个实际的证明，请用软件编写它。我们将运行软件。如果它通过检查，那么我们就知道值得研究。但这以一种有趣的方式与人工智能交互，如果你想教人工智能做数学，

你可以自动生成大量的证明，无论你用这种特殊的软件编写什么。每当它们编译时，每当软件检查通过时，你就知道它是有效的。然后你让这些人工智能在正确的证明上进行强化学习，就像它们自己下棋或自己玩游戏一样，通过数万亿次的迭代来变得更好。

你可以用数学做到这一点，而你不能用其他领域做到这一点。所以有一件事叫做国际数学奥林匹克竞赛，我今年去了。非常有趣。每个国家都派出六名高中生来基本上……但是你去的不是作为参赛者。不，不，不。这是为高中生准备的。我正要说，你年纪大了。

你对那些人的数学来说年纪有点大了。不。我正在为学生们做一些讲座。是的。但这是第一年一些公司让机器人尝试回答这些问题。这些问题相当困难。它们是书面证明。它们不仅仅是输入数字之类的事情。而且人工智能，同样，DeepMind正在这样做，他们开发的

获得了相当于在国际数学奥林匹克竞赛中获得银牌的分数。人们认为这是不可能的，因为它被认为是

需要创造性思维。这不仅仅是死记硬背。所以看到这种程度的创造力。之所以可能，是因为他们可以进行这种让计算机与自身对抗的游戏，从某种意义上说，是使用这些类型的证明检查软件。对来自里约热内卢的朋友的简短回答是，是的，人工智能和数学之间有很多有趣的接口。

科里·何说，你好，泰森博士和桑德森先生。对不起，Chuck，我不喜欢你，所以我没有提到你。我把这句话加进去是因为他没有提到我。这是来自加利福尼亚州圣布鲁诺的科里·何。我们使用十进制，它仍然给我们留下很多无理数。是否存在一个数字系统可以使π等无理数成为有理数？

首先，我曾经住在圣布鲁诺。所以，你好，科里。哦，真的吗？很好。所以这个问题的一个答案是，不，一个数字是有理数还是无理数与你如何表示它无关。这与我们之前关于外星人的讨论有关。无论我们使用什么语言，使用什么进制系统，决定一个数字是有理数还是无理数的概念，它本身就是数字固有的。所以它不是描述的属性，而是数字本身的属性。

但是也许-等等，我只是把它加在这里，因为你必须帮我一下。π是无理数和超越数，在π进制中将是10，一，零。那么一，零有什么不合理的呢？-有理数的意思是你可以将其表示为整数的分数。所以计数数字，一，二，三，四，如果你可以将其表示为这些数字的分数。所以在π进制中，

所有计数数字，它们是一个非常自然的物体。你只是在世界上数石头，将会有这些，这些奇怪的描述，需要很多不同的，我们不会称它们为数字。它会迫使所有其他东西进入一个奇怪的，奇怪的状态。此外，它并不完全清楚非整数是什么意思，因为我就像，在十进制中你使用什么符号？你使用10个符号来表示，在四进制中，你使用4个符号来表示，但在π进制中，就像什么，

非整数并不完全清楚。它是一个符号。它是一个符号，但它会永远持续下去。好的。所以你是对的。如果你使π看起来像一个很好的偶数，那么相对于它的所有其他东西都必须，必须消失。

给它，给它光滑的生命，让你做的派看起来光滑。你可以做到。是的。这是，这是，这是不合理的东西，你可以说的是派和数字1之间的关系。所以这有点像，无论你让哪一个看起来尽可能自然，你都必须承认两者之间的关系具有这种……这种数字的特性。是的。

所以答案是否定的。不，答案是否定的。基本上，你不可能在不使其他所有东西都变得有理的情况下使派变得有理。

你知道，某种奇怪的表示方法。我可以补充一下吗？哪个是有理数，但请继续。我有一种喋喋不休的倾向，所以如果我讲得太深，一定要阻止我。现在，除了谈论基数之外，你还可以谈论如何表示无理数？我们习惯的做法是用小数写下来，比如π是3.1415，这实际上是你说的它是3，加上十分之一，加上百分之一的四，加上千分之一的一。你有点像在加这些

100的幂。但是还有其他方法可以尝试使用数字来表示无理值。我只是想把它扔到以太中，让好奇的听众如果愿意的话，可以去维基百科页面上，那就是连分数的概念，它是另一种可以使用数字序列的方法

计数数字来描述这些无理数。——我做过关于连分数的噩梦，你知道的。——也许能让那些噩梦变成美梦的是看看像黄金比例或e这样的某些值，当你看到它们的连分数时，

与其只是一堆看起来随意乱七八糟的东西作为数字，你看到的序列非常非常自然。所以，如果你想要一种不同的语言来描述数字，就像连分数提供了一种不同的语言，它揭示了某些无理常数的规律性，即使你无法摆脱它们是无理数的事实。看，现在这种，这种让我想到我们在谈话开始时谈到的无用数学。是的。

查克，你能给我一个分数吗？你知道什么让我做噩梦吗？你写了它，但你不能写下全部内容。这是一个分数，它……

从页面上溢出，但小数也是如此，比如我不能写π 3.1415，仍然不是π 3.14159，所以你是在说如果我对此没问题，我应该对连分数没问题，我不知道，我的意思是它们很笨拙，就像布局一样，因为你必须使用垂直空间来写，并且随着你的继续，它会不断增长，是的，是的

所以我认为我们需要一种无理数的表示方法，其中数字不相信地球是圆的。好的。好的。是时候再问几个问题了。好的，我们开始吧。这是来自火箭城亨茨维尔的Alyssa Feldhaus。她说，有黑洞数学吗？

我们可能错过了看到事件视界之外的最终结果。

我喜欢这个。所以让我更详细地解释一下。我们宇宙理论的极限，也就是广义相对论，其极限是预先知道的。它无法描述黑洞的奇点或大爆炸的奇点。这些是引力奇点，据说上帝除以零，这是你不应该做的。所以……

然后是弦理论家挺身而出，但他们还没有拯救任何东西，所以在什么点上我们会说格兰特，我们缺少物理学，新的物理学来帮助我们，在什么点上我们可能会说，来吧，伙计们，给我们另一个数学分支，这将拯救我们免受无知的困扰，这是一个公平的转述吗？我认为可能是

我喜欢这种转述。我要打出一面旗帜，感觉这一个有点超过我的能力范围，就像，我知道很多关于理解事件视界上发生的事情的具体见解，你知道，这已经成为看到量子力学和广义相对论之间关系最富有成果的领域之一。是的。

以及这方面的细节。我不会假装我的思想完全围绕着它来表达，“这就是让我们更进一步的见解”，但也许，尼尔，你可以对此提供一些直觉，我认为从广义上讲，使用替代数学工具来理解宇宙的特定部分

感觉像是取得进展的一个成熟领域，很多新的物理学都发生在我们能够观察和已经观察到的东西的边界上。奇点给出了一个非常字面意义上在这个边界上的东西。所以我认为在历史上，当你有了新的数学类型时

用来描述新的物理学，甚至可能是描述新的物理学的旧数学，对吧？就像量子力学被创立时，人们开始使用一堆矩阵代数来做这件事，这并不是说矩阵不存在。只是它们的一种效用以前是未知的。量子力学中虚数也是如此。它们存在，但后来发现了效用。对于人们想要在这里采取的任何进一步步骤，类似的事情可能会发生，可能存在一些现有的数学，嗯，

还没有找到效用，但你尝试使用它。我们会回去工作，这样你就可以帮助我们了。是的，是的，没错。查克，还有时间再问一个问题吗？只有一个吗？好的。田纳西州的弗罗斯蒂怎么样？你不知道他怎么说话。什么？你不知道他是否有那种口音。不，我不知道。

但他现在有了。我是来自田纳西州的弗罗斯蒂。我想，像弗罗斯蒂这样的名字，他一定会有的。是的，伙计。弗罗斯蒂很酷。别介意。无论如何，他说，许多数学家谈论数学中的美

如何向那些可能认为数学纯粹是功能性的或只是很困难的人解释这种美？我想补充一点，你对为什么这么多人觉得数学很难有什么见解吗？

这几乎就像整个文明一样，有些人喜欢数学，那是所有人的1%。然后是99%讨厌数学的人，他们值得学习吗？他们在这方面从未做得很好，然后它对他们来说从未直观过。作为该领域的教育者，

来吧。我认为发生的事情很多是我们在学校做的事情与数学家在提到数学之美时所发现的事情大相径庭。所以，这并不是说他们都在看同一样东西，一种人觉得它很美，而99%的人不觉得。我们正在看不同的东西，因为在学校里，你通常做的是实施

比如一个程序。当你还在小学的时候，你学习了加两位数的程序。你学习了求解x的程序。你学习了求导数的程序，所有这些时间都是这样。

人们发现美丽的东西，所有这些不同的层次，无论是在小学还是，你知道，微积分通常是高中可能教授的最高层次，所有这些都是非常程序化的。这没有什么错。就像这是做这件事的必要部分一样。这就是你在健身房做深蹲的地方，对吧？这是在锻炼一些肌肉，但是。

人们发现美丽的东西将是意想不到的联系。所以看到，嘿，我看到这部分数学出现在这个角落，同样的数学出现在这个完全不同的位置。我的意思是，可能……

π就是一个很好的例子，它出现在你意想不到的所有地方。所以我可以很快地举一个例子，也许任何人都可以理解为什么它至少令人惊讶，即使你可能不会立即看到它的美丽。如果我取1减去三分之一，你最终会到达数轴上的某个地方。如果我加五分之一，你会稍微上升一点。如果我减去七分之一，然后我加九分之一，我减去十一分之一，我加十三分之一，

我玩这个游戏，基本上交替地加减所有这些一除以某个奇数。越来越小，越来越小。它来回反弹，它会接近数轴上的一个特定点。那个点正好是π除以四。π大约是圆圈。为什么π会与我正在玩的游戏有任何关系？它没有理由出现在你的时间线上。它没有理由。在你的数轴上。

有很多，我们之前谈到的正态分布描述了，你知道，各地的统计数据。当你正确描述分布时，它里面有一个π。为什么？圆圈在哪里？那里到底发生了什么？所以，那一方面，那里有一个谜，这是一个，你知道，这是一个，这是一个谜题小说的开篇。你看到这个东西，你想知道，是谁做的？就像，为什么会发生这种情况？然后，然后是解决问题的途径。但我认为，

如果有人喜欢福尔摩斯的故事，例如，你大脑中被挠痒痒的那部分，你一开始有一个谜，一些感觉可以被发现的路径，但在沿途需要一点聪明才智。然后看到最后打结是很令人满意的。就像人们在描述数学之美时所感受到的那种感觉一样，这与大多数课堂上发生的事情不同，那就是

程序化方面以及如何进行动作，这很有用，对吧？但这只是一个不同的类别。——格兰特，你给了我们希望。——是的。——因为人们确实喜欢联系。我的意思是，有整个电视剧和系列书籍。谁是那节目的主持人？

英国人。是的，是的，詹姆斯·伯克。对。这是关于联系的。当然，还有地缘政治、社会、文化联系。但是尽管如此，我认为我们总是喜欢知道这里的东西与那里的东西相同。而当你没有意识到这一点的时候。但我认为你所说的这种阴谋在教育方面更为重要。

因为程序有点像工作，螺母和螺栓。而你谈论的是奇迹。

和神秘。这些都是贯穿人生始终的概念，这些概念总是激发我们思考、思考和超越自我。如果人们能够把它带到课堂上，我认为你会发现更多孩子对数学感到兴奋。并非所有教育者都是一样的。这就是问题所在。是的，我的意思是，说实话，我……

当我听任何人谈论数学时，我总是很着迷，从尼尔到你，你随便说，到布莱恩·格林，你知道，布莱恩·考克斯。你谈论数学的方式让它变得更有趣。但当我上学的时候，我有几个老师，尤其是在微积分方面，我会得到正确的答案，但我用错了方法。

事情就是这样。他们就像，是的，你错了。你不能那样做。我说，好吧，与其说，让我们一起踏上这段旅程，向你展示，你知道，你如何思考这个问题。我从未得到过。就像，不，你答错了。老实说，只需要一点点，我就想，显然我不对。那时我离开了微积分。我的微积分经历是我认为不对。就是这样。

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把他们的注意力放在大脑上。你就是这方面的活生生的证据。所以，格兰特，感谢你来到StarTalk。感谢你的邀请。好的，查克，一直很好，伙计。找到你，查克，好的漫画？查克，到处都有好的漫画。谢谢你，尼尔。到处都是。你有一个漫画C-O-M-I-C。这是StarTalk，一个混合的宇宙查询，所有关于数学。尼尔·德格拉斯·泰森在这里。一如既往，我请你继续仰望。

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