Deep Dive
What is the textbook definition of a fractal?
A fractal is a geometric object or set that can be subdivided into parts, each of which is a reduced-scale copy of the whole. This property is known as self-similarity, and fractals often have non-integer dimensions, existing between traditional one-dimensional, two-dimensional, or three-dimensional spaces.
Who were some key historical figures in the development of fractal geometry?
Key figures include Gottfried Wilhelm Leibniz, who explored recursive patterns and infinite division; Carl Weierstrass, who created a continuous but non-differentiable function; Georg Cantor, who introduced the self-similar Cantor set; and Helge von Koch, who developed the Koch snowflake. Later, Benoit Mandelbrot popularized fractals with the Mandelbrot set.
What is the Koch snowflake, and why is it significant?
The Koch snowflake is a fractal shape created by starting with an equilateral triangle and iteratively replacing the middle third of each side with an outward equilateral triangle. It demonstrates that an infinitely long boundary can enclose a finite area, challenging traditional notions of dimension and perimeter.
How do fractals appear in nature?
Fractals are abundant in nature, appearing in structures like tree branches, leaf veins, blood vessels, lungs, clouds, rivers, lightning bolts, and snowflakes. These patterns arise from processes like growth, erosion, and flow dynamics, showcasing nature's use of fractal geometry to create efficient and intricate structures.
What is the coastline paradox, and how does it relate to fractals?
The coastline paradox demonstrates that the length of a coastline is not a fixed measurement but depends on the scale of the measuring tool. As the measuring unit decreases, finer details are captured, making the coastline appear infinitely long. This occurs because coastlines are fractal-like, exhibiting self-similarity and irregularity at every scale.
What is the Mandelbrot set, and why is it famous?
The Mandelbrot set is a famous fractal created by Benoit Mandelbrot in 1980 using complex numbers and iterative formulas. It is known for its intricate, infinitely detailed boundary filled with spirals, swirls, and self-similar shapes. Its beauty and complexity brought fractals to public attention.
Why are fractals important in understanding the natural world?
Fractals help explain the complexity and efficiency of natural structures, such as branching patterns in trees, blood vessels, and lungs. They arise from simple rules repeated over time, making them a powerful tool for modeling and understanding natural processes like growth, erosion, and flow dynamics.
Shownotes Transcript
数学世界中最美丽的事物之一是分形。分形是独特的几何对象，既易于理解，又具有复杂的数学性质。此外，分形不仅仅是理论上的数学构造。分形几乎存在于自然界的每一个角落，包括树木、海滩，甚至你自己的身体。在本期《无处不在的日常》节目中，了解更多关于分形的信息，了解它们是什么以及它们是如何工作的。♪
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即使你不知道，你也熟悉分形。你不需要拥有高级数学学位就能了解和欣赏分形是什么。分形是美丽的、重要的，并且可以帮助解释自然界是如何运作的。那么，分形究竟是什么呢？分形的教科书定义是一个几何对象或集合，可以细分为多个部分，每个部分都是整体的缩小比例复制品。
这种特性被称为自相似性。分形通常具有非整数维数，这意味着它们存在于传统的一维、二维或三维空间之间。定义的第一部分相对容易理解。第二部分需要更多解释。分形的想法早在“分形”一词出现之前就已存在。
17世纪为分形几何提供了最早的根源，尽管我们今天所知的关于分形的概念尚未发展起来。在此期间，数学家们正深入探索微积分和几何的基础，这后来成为理解不规则和无限详细结构的基础。
该领域的关键人物之一是戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，他是微积分的共同创造者。莱布尼茨对递归模式和无限分割的想法特别感兴趣。在研究曲线和数学结构时，他注意到某些形状在越来越小的尺度上似乎重复它们的形状。
虽然他没有将这些观察结果正式形成分形理论，但他对无穷小微积分和递归过程的研究暗示了分形几何的基本自相似性原理。19世纪见证了对理解不规则和不可微形状的更明确的转变。1872年，卡尔·魏尔斯特拉斯创造了一个函数，它在任何地方都是连续的，但在任何地方都不可微。
该函数似乎在每个点上都剧烈振荡，呈现出传统微积分无法捕捉到的粗糙度水平。让我简要地为那些不精通微积分的人解释一下。如果一个函数是连续的，也就是说，如果你查看函数的图形，这意味着没有间隙。如果你还记得我关于微积分的那一集，函数的导数可以被认为是函数上任何特定点的切线的斜率。
但是，有些点没有单一的切线。想象一下一条看起来像倒置的V形的曲线。在倒置的V形的顶端，可以画出无限多的切线，所以在这一点上它被称为不可微。魏尔斯特拉斯的函数在每个点上都是连续的和不可微的，这被认为是不可能的。
此后不久，1874年，格奥尔格·康托尔引入了一个集合，它体现了自相似性，这是分形的标志。康托尔集是通过反复去除线段的中间三分之一来构建的，留下无限多个以高度不规则的模式排列的点。19世纪后期，费利克斯·克莱因和亨利·庞加莱等数学家也做出了贡献。
他们的工作暗示了后来与分形几何相关的混沌和自指行为。庞加莱尤其为混沌理论奠定了基础，混沌理论与分形有着密切的联系。混沌理论可能是未来一集的主题。分形理解方面最大的突破之一发生在1904年。赫尔格·冯·科赫介绍了科赫雪花，这是分形的第一个明确的几何构造之一。
科赫雪花是一个令人费解的几何形状，但并不难理解甚至制作。以下是创建科赫雪花的逐步指南。首先，画一个等边三角形，其中所有边都相等，所有角都是60度。这被称为起始图形。在三角形的每一侧，标记两个点，将该边分成三个相等的线段。
然后在每一侧，用向外的等边三角形替换中间线段，使得新的顶点形成一个凸起。取该新形状的每一侧（现在有凸起），并将其分成三个相等的部分。用另一个向外的等边三角形替换中间的三分之一，并根据需要重复此过程，或者在数学上无限次重复此过程。每次迭代，形状都会变得更加详细，类似于雪花。
科赫证明了无限长的边界无法封闭有限的面积。这一悖论的结果挑战了传统的维度和周长的概念，促使数学重新思考几何的边界。科赫雪花为许多其他极其奇特的形状打开了大门。谢尔宾斯基三角形，也称为谢尔宾斯基筛，是由波兰数学家弗罗茨瓦夫·谢尔宾斯基于1915年创造的。
它是一个分形和几何图形，表现出自相似性，这意味着它在基本上每个尺度上看起来都一样。它是通过从等边三角形开始，然后递归地从其结构中去除较小的三角形来构建的。为了创建它，通过连接每一侧的中点形成的中间三角形将从初始三角形中移除，留下三个较小的等边三角形。这个过程对剩余的每个三角形无限重复。
你最终得到的是一个面积为零的形状。这个形状的三维版本将是门格海绵。门格海绵是由数学家卡尔·门格于1926年开发的。门格海绵最初是一个立方体，在每次迭代中，立方体的中心和每个面的中心都被移除，留下20个较小的立方体。
然后对所有剩余的立方体无限重复此过程，创建一个具有无限表面积但体积为零的结构。最著名的分形形状可能是曼德勃罗集。它是由贝努瓦·曼德勃罗于1980年使用计算机创建的，用于在一个我之前做过一集的称为复数的数学类型中可视化模式。要创建曼德勃罗集，你从一个简单的公式开始，然后反复应用该公式以查看会发生什么。
曼德勃罗使用计算机对数百万个点执行这些计算，然后将结果绘制在图表上，将集合内的点着色为黑色，并使用鲜艳的颜色来表示集合外的点，具体取决于它们逃逸到无穷大的速度。这个过程揭示了曼德勃罗集错综复杂、无限详细的边界，充满了螺旋、漩涡和自相似形状。曼德勃罗集的美和复杂性使分形引起了公众的注意。
所有这些奇特的形状的共同点是它们都涉及反复迭代的简单规则。无限次地执行它，你最终会得到奇怪且违反直觉的结果。无论你放大多少倍，一切看起来都一样，或者如描述的那样，它是自相似的。
“分形”一词来源于这些形状在技术上具有分数维数的事实。例如，科赫雪花位于一维形状和二维形状之间。科赫雪花的技术维度是1.26186。你现在可能想知道，这仅仅是数学家的脑力游戏吗？这在现实世界中有什么意义吗？答案是肯定的。
分形在自然界中大量存在，出现在许多结构和模式中，这些结构和模式在不同尺度上表现出自相似性和复杂性。一个经典的例子是树木的分支模式，其中树干分成树枝，然后每个树枝进一步分成更小的树枝，类似于原始结构。类似地，叶脉显示出分形图案，较大的叶脉分支成较小的叶脉，以有效地分配养分。
人体包含分形图案，例如在血管和肺部。血管的分支确保了有效的循环，而肺的分形结构最大限度地增加了氧气交换的表面积。此外，在自然生长过程中也可以看到分形，例如贝壳的螺旋图案和向日葵中种子的排列，它们遵循基于分形的数学原理。
云、河流、闪电和雪花也显示出分形特性，表明自然利用分形几何来创造高效、复杂和美丽的结构。这些模式自然地源于生长、侵蚀和流动动力学等过程，使分形成为理解自然界复杂性的重要工具。但是为什么这些数学奇异性会在自然界中被发现呢？原因很简单。
它需要采用一个简单的规则并复制它来创建复杂的对象，这比尝试制定一个复杂的规则来创建复杂的东西要简单得多。还有一个非常现实的分形例子。它被称为海岸线悖论。海岸线悖论是一种现象，它表明海岸线的长度无论如何测量都不是一个明确的测量值。
这种悖论的出现是因为海岸线的测量长度取决于所使用的测量工具或单位的比例。当使用较大的单位（例如100公里）进行测量时，较小的特征（如海湾和入口）会被忽略，导致测量结果较短。然而，随着测量单位变小，海岸线的更精细细节（如较小的曲线和不规则性）被包括在内，导致测量长度增加。
如果测量单位继续减小，捕捉到更小的特征，如岩石和裂缝，总长度似乎无限增长。你可以几乎无限地继续下去，或者至少到使用物理工具无法测量的程度。你可以测量沙粒周围，然后是沙粒的实际表面，然后是分子和原子。
发生这种情况是因为海岸线不是平滑的直线，而是表现出自相似性的不规则分形形状。海岸线的每一部分都包含越来越小的特征，这些特征类似于整体，创造了一个无限复杂的边界。用数学术语来说，海岸线的分形维数介于1和2之间，这意味着它占据的空间比直线更复杂，但比二维面积更小。
海岸线悖论起源于20世纪50年代数学家路易斯·弗莱·理查森在研究地理边界和边界的测量工作中。理查森的研究最初侧重于政治地理，特别是国家边界或海岸线的长度是否会影响邻国之间发生冲突的可能性。
他对悖论的研究源于葡萄牙报告其与西班牙的边界为987公里或613英里。然而，西班牙报告其与葡萄牙的边界为1214公里或754英里。他们对完全相同的事物有非常不同的测量结果，根据定义，这必须完全相同。海岸线测量不是一个理论问题。
例如，国会研究处、中央情报局和国家海洋和大气管理局对美国海岸线的长度给出了截然不同的答案。国会研究处将其定为29,093英里。中央情报局将其定为仅19,924英里。而国家海洋和大气管理局将其定为95,471英里。
如果你只是寻找它们，你可以在任何地方找到类似分形的结构。某些类型的贝壳、罗马花椰菜、雪花、松果、河流、泡沫以及许多其他事物都表现出类似分形的行为。因此，分形远不止是抽象的数学结构。它们是理解和模拟现实世界复杂性的重要工具。
从它们迷人的自相似性到它们的多样化应用，分形充当了秩序与混沌领域以及简单与复杂之间的桥梁。《无处不在的日常》的执行制片人是查尔斯·丹尼尔。副制片人是本吉·朗和卡梅伦·基弗。
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