Deep Dive
为什么变分法在物理学中有广泛应用？
变分法在物理学中广泛应用是因为它能够解决一系列物理问题，如最速降线问题、薄膜最小面积问题、弹性力学、热传导等。它通过数学推导，将复杂的物理现象转化为可计算的数学模型，从而找到最优解。例如，牛顿提出的水桶旋转问题和最速降线问题都可以通过变分法解决。
什么是有限元法？
有限元法是一种将复杂系统简化为可计算的小系统的方法。它通过将大区间分割为小区间，逐步求解每个小区间的问题，最后将这些结果组装起来，得到整个系统的近似解。这种方法广泛应用于工程、物理学等领域，如桥梁设计、流体力学模拟等。
如何用AI快速学习复杂知识？
使用AI工具如ChatGPT和Claude，可以将复杂知识分解为小块，逐步理解。通过将书籍内容输入AI，AI可以解释复杂概念，提供比喻和应用场景，帮助用户快速掌握核心内容。这种方法允许非线性学习，跳过不懂的部分，专注于理解关键点。
为什么有限元法对编剧有用？
有限元法可以帮助编剧在科技剧或纪录片中呈现更专业和可信的科学内容。例如，在描述宇宙飞船受力分析或桥梁设计时，有限元法可以提供严谨的科学依据，使剧情更具说服力。通过比喻和通俗化解释，编剧可以让观众理解复杂的科学原理。
有限元法如何帮助神学生理解上帝的创造？
有限元法可以帮助神学生理解上帝创造的宇宙规律。通过数学规律，如最短路径和最小能量原理，神学生可以更好地理解上帝设计的优雅和至善。例如，光的折射路径最短，小球下落路径最优，这些现象都可以通过变分法解释，从而增强对上帝创造的敬畏。
如何用乐高和Scratch向七年级学生解释有限元法？
可以用乐高和Scratch的拼装过程来比喻有限元法。将复杂系统比作乐高模型，通过逐步拼装小部件，最终完成整个模型。这种方法让学生理解有限元法的核心思想：将复杂问题分解为简单部分，逐步求解并组装。
为什么飞行员需要学习有限元法？
飞行员学习有限元法可以帮助他们理解飞机的受力分析和设计原理。在紧急情况下，了解飞机的最大负荷和损伤原因可以提高飞行安全性。虽然飞行员不直接维修飞机，但了解飞机的力学原理有助于更好地应对飞行中的问题。
有限元法在医学中的应用是什么？
有限元法在医学中用于神经力学模拟、肌肉力学建模和个性化医疗。通过有限元法，医生可以精确模拟神经和肌肉的力学行为，优化手术方案，提高治疗效果。这种方法在跨学科研究中具有重要价值，特别是在神经学和个性化医疗领域。
- 使用ChatGPT学习高等数学教材
- 将教材内容分段输入AI，并逐步学习
- 遇到不懂的地方可以跳过继续学习
- 非线性的学习方法
Shownotes Transcript
各位网友大家好又和大家见面了非常高兴今天跟大家分享一下我是怎么用 AI 尤其是 ChatGPT 加 Cloud 用这两个工具来配合学习的尤其是学习一些高深的知识比如说高等数学我相信好多文科生啊
如果你学的是和经济相关的话是学过一些高等数学的不过我们学的高等数学呢都比较简单只是属于数学五这个大概数学专业是学数学一然后理工科会学到数学二但我们学的高数呢属于高数五就是最简单最基础的从来不告诉你任何原理只是告诉你一个结果然后让你去用
从来没有这种定理的证明所以大家学来学去都是知其然而不知其所以然所以当我拿到一本高树书的时候我就震惊了原来高树是这么难而且是这么有趣我把这本书拿过来拿在我手里的这本书叫《变分法》《有限原法》和《外推法》它是 1986 年出的一本书非常古老啊
1986 年 4 月份的一本书它的作者叫刘诗骏这个作者其实是一个非常神奇的人就是中国有很多埋没在各行各业的一些高人刘诗骏就是这样一个人
他写的这本高书教材非常薄只有 144 页但是内容极其丰富而且最重要的是他到今天依然不过时首先呢这个变分法和有限元法和外推法什么意思呢我也不知道呀我知道我就不用学了所以拿到这本书的时候我其实是两眼一抹黑然后
但是没关系现在我们有新的工具有了 ChatGPT 等等新的 AI 之后就可以帮助我们去学习所以我一点都不紧张赶紧打开了 ChatGPT 让他来帮我解决这个问题我用的办法是这样我这本书我把它
就是用了它的扫描板不是我扫描的啊你网上这本书是有电子版的我直接就用了用了它的电子版这样比较省事儿比较省劲儿这个我也是偷懒了一下为了它的效果更好一些然后我用了这个电子版之后呢我用的办法呢就是把这个电子版里的东西啊
给它放到 ChatterGPT 里面我主要是用的 ChatterGPT 啊这原因是因为 ChatterGPT 目前来说还是你不得不承认它是最好用的一个 AI 然后我用的办法呢我是把它的内容把它的扫描版放到 ChatterGPT 里然后因为它受这个团的内容的大小的
的限制所以它每次其实只能传四页只能四页只能传四张图片那四张图片呢我必须就四张四张的传然后四张如果不明白呢我再继续往下问于是我就跟他开始了一轮又一轮的对话首先呢这本书介绍的是变分法然后我就把书的前两页的内容传上去了问他是啥意思
然后他就告诉我他说这个变分法的核心呢就是他其实是讲的是函数的函数简称泛函泛函是啥意思呢他给我列出了一个公式当然这个公式我是两眼一目的这是个积分积分的公式这里边你看又有积分又有倒数所以
非常复杂我也不知道他为什么会做成这样一个公式然后接着他又讲了一个欧拉拉格朗日方程这个呢就出现了这个连我都不认识的一个字母希腊文字母然后又弄出这么一串这两条又看不懂
没关系我就把这个放到 ChatterGPT 里就请他给我解释他就给我介绍了一些历史背景说这个欧拉在这本书中翻译成尤拉就是欧拉他是哪一年发现了这个变分法
然后其实这里边都是一系列物理问题引出的数学问题其中最早的一个问题就是水桶的旋转问题这个是牛顿提出来的他是讲水桶里的水如果沿着一个轴旋转的时候它是应该成什么形状受到的阻力最小
然后这个问题变成另外一个问题就是一个小球从高处落到低处它是一样什么样的路径轨道用的时间最短也就是它的垂直距离下落的最快好多人说那肯定是垂直但实际上不是这样它是一条曲线
这个曲线呢跟很多人想的不一样它是一条其实它是一条中摆线然后还有个旋垂链的问题绳子垂下之后它的曲线的形状是什么就这些问题都非常的难难的原因就是说它看上去好像是一些不同的问题但其实它指向的都是一个问题就是它要对整条函数就是
我们以前学的维基分量都是一个函数的就是 fx 等于这一个方程然后求 x 就完了但是这个呢它不是这样它是把函数也当成一个位置数来求这就是所谓的变分法了
当然我现在还是不明白为什么是用函数当成未知数来求然后用积分或其他泛函来取积值这我也不懂但没关系我就先让他往下讲所以我说不管他你先给我往下讲于是他就又给我讲了他给我介绍了什么叫普通函数什么是泛函数普通函数我们都学过
fx=x^2 或者 fx=任何一个 x 的这样一个方程这都是普通的函数但是半函数的概念引进的就是说输入的不再是一个数了而又是一个函数那就是给定一个函数 fx 半函数给出一个实数比如这里边的
这里边就是一个范函数了因为这里边的 fx 它本身就是作为一个函数输入的然后他就给我讲了很多的例子当然这些例子我现在也看不懂看不懂也无所谓我就不理他我继续让他往下讲他讲了很多的
半函数和普通函数的不同我也不知道然后我就四页四页的书版然后我就说我是一个快把微积分都忘光的人然后我不知道这是什么意思你再给我解释好他就给我解释普通函数的变化和半函数变化的区别
它就是把普通函数是函数在一个点的微分然后这个半函数是整条函数的微分所以它做了一个半函数的变化
连续的范汉数和线性的范汉数等等越讲越复杂是不是越讲越复杂没关系我就是说那你给我用比喻用比喻来说明他就给我用比喻又说了一些我还是没有看懂但是没关系这个看不懂呢是很正常的
它的目的也并不是让我现在就看到而是让我根据这些内容呢我一步一步的往下走就是看不懂的地方就跳过去这是我们用 AI 学习的最大的好处我们可以跳跃着学习把以前的线性的学习变成一种非线性的学习好 我就它也又开始从函数的微分讲到泛含的变分好难的样子是吧
但是没关系我继续让他往下走那时间关系我就不能一步一步的都说了然后我是一直把他这本书 144 页给他完完全全的跑完我用的这个模型是 O1 是 O1 就是 Chad GPT 的 O1 算他比较厉害的一个模型当然他没有 O1 Brawl
更厉害但是欧安普照的问题就在于它太慢了欧安呢就有点好用最后他讲到说这个经过这些范含数的计算之后他发现了一些共同的规律就是变分法求极值求出来之后发现它在物理上
有很多的意义一个是最速降线的问题就是最快速度降低的那条线是条什么线然后他说是一条旋轮线我也不知道旋轮线啥意思然后又提到了锤链线旋轮线和摆线其实的急着的关系接着呢
它又把这个概念推广到力学推广到流体力学推广到电磁学的各个领域都是物理方面的这个就非常难懂了但是它是经过严格的数学推导的
从最速降线开始一步一步推倒然后我暂且不管它因为这里边出现了二阶倒数那对我来说就更难了一阶倒数我没搞明白没关系还出现了这个恩劫犯寒这种概念这个就更难了有高阶倒数
高阶导数据那些学过理工学过数学的人都会觉得是他们也觉得难度很大这里面又出现了第二个就是薄膜的最小面积的问题然后当然我也不懂
它就得出了个一般化的结论最小的曲面肥皂膜的问题弹性力学热传导的问题多元优化连续介质力学的问题最后就是从一维一下扩展到多维最后用的东西都是多元泛含这个概念等于有一个数学问题解决了一连串的物理问题我就觉得好神奇
真的是对一个文科生来说看到这就哇的一声虽然看不懂虽然看不懂但是还是心生敬畏然后这个时候我就继续让他往下看这里面他就讲了一些物理意义牛顿运动为什么要用变分法来解决力学问题他就突然跳到这个应用层面了他说这个其实
很震惊的是这些无论是从复杂的系统到简单的系统其实都可以用这一套理论解决都可以用变分法来解决好 然后我继续让它往下跑看它怎么推到欧拉拉格朗日方程当然我也没看懂然后又讲了这个波摩震动的普世性
也是看不懂又讲了梁的弯曲和振动问题讲了梁的绕度问题这个就是桥梁工程和建筑工程所用到的然后推导出一个四节的微分方程然后最后总结出来就是这个变分法不单是应用在简单的力学层面
而且它的应用可以应用到非常复杂的工程层面这张告诉我们就是编分法是力学方程的统一生成器就是这个就看到这我就只能是心生敬畏然后继续往下看继续往下看它又讲了它的物理意义讲了为什么物理上要学习这些编分法
接着这一章就基本上要结束了结束之后他又开始讲了这个有限元法这个有限元法简单来说就是把很复杂的东西给它简单化给它切片化通过把一个复杂的系统给它变成一个简单的可以计算的小系统然后在最后还原到复杂里面去
这里边有很多的具体的用法就是它其实把一个大区间分成一个小小的区间然后通过切片的方式呢然后一步一步找到这个正确的答案这里边又提到了很多数学概念我觉得我也看不懂但是我还是让他继续跟我讲反正我四页四页的输进去输进去之后就请他跟我解释
解释不清楚也没关系反正我现在看不懂也许将来会有一天看懂拼装我懂就是他通过把这个复杂系统给它变成简单的系统然后慢慢地把它拼起来我觉得这个我还是可以看懂的然后就看它一步一步地往下降
最后讲到最后我觉得我还是明白了一点其实这不就是我们说的费曼学习法吗就是把很复杂的一套知识体系给它变成一个简单的概念然后再把一个一个的概念给它细分分到你真正理解为止
将各个鸡魄最后再把它组装起来其实这本身就是一种有限元法就是有限元法其实我在用有限元法的思想在学习有限元法就是通俗的解释了一下就是实现过程是区分区间建立单元定性函数单元上积公式然后组装大矩阵
然后再找到各节点的值串起来就是近似值然后也许复杂系统它就是通过这种简单的方式理论是变分法方法是分片多项式结果是一道好解的线性方程组成就就是大范围可以实现工程与物理问题这句话我看得懂就是有限原法其实就是变分法把它
把它实际应用的这个过程其实就是用小积木大房子的这样一个过程我又让他用通俗的方法帮我解释了一些这些都需要我以后进一步的回顾我暂时就不管他了最后就回到最后一个问题就是外推法外推法其实用的就是
维基分里边的泰勒展开通过泰勒展开然后去求一个近似值好我学完之后我就问他了一些实际应用的问题这个算是最有趣的部分
这是用 AI 学习和其他学习不一样的地方因为你可以跟他扯扯着扯着呢就扯出了很多很有意思的话题比如我给他设定很多的场景
我说这本书我学完了请对一个物理系的大四的学生讲解这套方法就是有限原法在物理学中的应用这个学生呢他不爱学习数学请你说服他哇他就开始讲了说这个既然你是大四的学生了你肯定学过这些经典的方程啊麦克思维方程啊学定格方程啊等等然后学了这些呢
这些方程呢是写的很漂亮但是你有没有想过其实原理都是一样的呢它的原理其实就是有限原法在物理学中的应用它可以应用在电磁学量子力学热传导什么流体力学里面物理学家呢为什么要学习这个就是为了处理复杂的这种几何比进任意场的分布和实验相结合有更灵活的适应度啊
然后最后他说你不爱学数学但是你需要它因为你需要用切块加拼接的这种方式通过这种方式让物理学学得更好然后我就又换了个场景我说刘先生是学习经济学的他有必要学习有限元凡吗他说这个经济学呢
学习一下还是有好处的比如你要研究金融的衍生品的定价宏观经济的动态模型投资消费决策的汉密尔顿 Jackie Bellman 方程你这个就会用到有限元法可以具有跨学科的竞争力跨学科的竞争力正是查理马格特意强调的
还有讲了这个定价这个 barrier exotic option 定价的问题区域经济和城市扩散模型高维的汉密尔顿、JACOBEE、BIOMAT、方程等我也不懂但是它的原理是简单的就是分块绝不近似加组装这个好我说那程序员呢他说程序员也应该学
他讲了很多程序员学习有限元法英文叫 FEM 的这些好处和用处然后我就问如何快速上手呢他说就是分块近似组装球锦这个倒很好理解
好 那我就说回到我的专业了我说王先生是一个编剧专门想写一些烧脑的科技剧 纪录片什么的请问他也想学这个 有必要吗他怎么才能快速地掌握他的剧本学习中让观众看懂至少能明白核心道理呢这个他就来劲了
他说这个呢如果他学习一点有限元法的话确实能为剧本增色不少因为用有限元法来呈现科学更有说服力可以让高科技桥段更可信比如说我要写一个宇宙飞船测量这个空间站和宇宙飞船它受力的强度的时候就是要用到有限元法然后
这样拼出来的整体受力结果听起来既专业又合理然后如果我写纪录片呢也让纪录片更加严谨比如我要做一个桥梁的纪录片这个桥梁是怎么受力的如果我懂有限原法那么就肯定更有说服力啊观众会惊叹啊原来这后面还有这样一些切分组装求解的方法啊真是而不是一句说专家都算过了就完事了
看来编剧还真懂啊这个我说我怎么才能解决呢他还是那个分块近似拼装求解然后让我观看和一些工程案例和动画把用现原法想象的拼积木和拼碎片在剧本中呢让观众呈现这种让观众能够明白通过浅显的比喻让观众能够明白
最后他结论是说尽管王先生你是个编剧但有限原法的意义呢不仅仅是做大模型的仿真而在于增强科幻作品的硬核感这个一看就是刘慈欣编出来的特别硬核然后丰富纪录片的硬知识采取通俗化的演绎让你既烧脑又科学而且还看着那么好看
好那我再问就是说因为我儿子现在上七年级我说一个小朋友他上七年级他喜欢乐高和 scratch 你能让他用他能懂的语言明白有限远返吗他说好啊
这个他就用了乐高和 square 是拼装的这样一个道理给他讲这个我这个讲完之后我就给我儿子看了儿子说他也能明白这是什么意思有限原法不就是拼积木吗把这个复杂的东西给他一步一步拼出来先拼小的部件慢慢拼成一个大的我说就是这个原理
包括太空的飞船包括切块拼接任何人都可以把它学会
我说那既然你跟我讲了这么多道理那给我做首诗吧做一首有限元法的诗然后写的要有诗意一点他就给我做了一首离散的歌还挺有意思的在广袤的世界化作一片片碎屑把连绵的曲线拆分出网络的细节每一片都隐藏着风的地狱利益的余波如同尘埃般的单元里孕育着微芒的真理和
这个写的还是挺有诗意的最后这一句说从最小抵达最大从有限追求无限这个真的是非常的富有诗意让我都很想给它谱个曲假如我会作曲的话
最后我就忽然发现既然他能把这么多复杂的原理都给它统一在一起那何不让他试着从神学的角度去解释一下因为神学是人类思想会观上的最耀眼的明珠是人类思想最高的成就我说胡先生他是个神学生请问有限元法这种能够让他更好地理解上帝的创造护理吗
他说是可以的因为神学如果是对神学的人懂神学的人你就可以讲上帝创造了一个宏大的宇宙但是他在万物都安排了一套的规律这种规律其实是用数学规律来起作用他就把变分把最优和最小和神学的
最极致的至善的观念结合在一起就为什么光折射的时候走一个最短的路径为什么这个小球下落要沿一个最短的路径这都是上帝的设计因为最短和最
最小就是最优雅和最美和上帝的至善是结合在一起的可以让人更理解上帝的创造增加他的敬畏而且还可以向别人去解释这个
通过这些方面我想想我的朋友中有从事什么职业的我就问他一遍要不要学习有限元法比如说我认识一位郑医生是我的朋友他是一个医学的 PhD 研究周文神经学的
我们经常开玩笑说你研究啥的他说我研究周围神经病的原来你周围都是神经病感觉我们也是神经病我们在你周围不是啊周围神经是神经的一个称呼是某种神经的称呼他是研究周围神经的然后我说他需要学习 FEM 吗他说是的他可以学到神经力学可以学到神经肌肉的模拟因为这些也是遵守
整个力学的规律或者电磁学的规律所以它也是会用到 FEM 就是有限元法的建模的然后为什么值得学习可以建模思维可以个性化医疗和精确的手术可以跨学科你看
任何一个学科都是可以的我还有一位朋友是郭先生他是个飞行员我说飞行员有必要学习 FEM 吗
就是有啊飞机的承受力就是要受到这个就是要经过设计就像有有限远返来来进行模拟的遇到紧急情况的时候更要用到有限远返最近这个航空事故比较多然后如果你懂有限远返的话其实你知道他是为什么会受到损伤可以研究一个飞机所遇到的最大负荷的问题虽然你是飞行员但是
不是亲自维修飞机的但是你飞机的质量问题其实是跟你息息相关的然后我又加上了一位漫画家让他画成 4 个漫画他给我出了非常好的脚本已经出来了漫画脚本但是我还没用的话这个其实可以用绘画软件绘画的 AI 试一下
还有我让他做成视频他也给我把这个 prompt 写出来了下面就是 prompt 的提示词最后我说那你给我编个成吧给我用 enum 就是那个数学动画
帮我编一个成好他用数学动画帮我编了一个 my name 帮我编出了这样一个动画但是这个我都没制作所以现在还拿不出这个拿得出手的作品给大家但是肯定他是可以运行的好这些东西都讲完了讲完了之后我就又回过来问他
我说这些东西都讲了但是最基本的概念我还是没有完全听懂那能否给我再好好讲一下最基本的概念因为你一开始讲变分的时候想泛寒讲变分而且你出现了那么一个奇怪怪的符号我都没看懂
这可怎么办呢没关系因为我们的 AI 除了 XGPD 我们还有别的 AI 死了张图户不吃混毛猪吗我们还有其他的选择是吧还有李图户王图户张周图户所以没关系即使没有这个
即使没有 Chad GPT 因为 Chad GPT 它的每次绘画还是受限的我已经 144 页的这个教程已经让这个 Chad GPT 不堪重负在一个对话里最后他已经没法给我显示了老师屡屡出错我知道他为什么出错了因为他的 token 被我肯定是给用光了没关系我就
榨取完它之后再去榨取别的 AI 我就重新打开了另外一个 AI 这个 AI 也是我很喜欢的克劳德我就让克劳德给我介绍最基本的概念因为克劳德他是很循序善诱的他的特点就是他非常的 nice 他很认真的会给我介绍那我说
既然你这么耐心请你给我介绍一下这本书的前两页到底讲的是啥因为我到现在你们都跟我讲这么热闹我没看懂然后我就把第一页的公式大家看到就是我这个很头疼的第一个
范杨树的这个公式给了他我说你就重点给我介绍介绍这个你也别啰嗦了我说我不懂微积分游戏不懂积分你给我从头讲讲直到我能看懂这个公式他说好那我简单的给你讲先理解什么是积分他说你爬山你爬的多高最后测的高度
把每小段的高度加起来这就是积分了他说解释它每一个部分先解释了积分符号然后解释了 X1 到 X2 是什么意思然后这个大 F 里边的三个分别是代表什么 DX 呢代表什么然后他用我能通俗的语言让我理解了总之他介绍的还是很详细的很详细然后我还是
缠着他继续解释然后他就给我最重点的他给我讲了偏导数偏导数呢这里边要经常用到偏导数但是我不知道偏导数是什么意思他给我做的最基础的工作就是他教给我什么叫偏导数这个很难得啊因为终于有老师可以这样耐心的教我这么最基本的概念
总之经过这两个 AI 的合作吧使我从一个微积分的小白变成了一个懂得变分法懂得由线源法的这么一个数学不能叫达人就是入门的一个文科生了所以对于我们学习来说现在云莱 AI 真的是如虎添翼这本书 144 页我只用了
五六个小时的时间就把它学完了所谓学完的结果就是经过这 AI 给我解读我现在看这本书我基本还能看懂吧
就刚开始拿到的时候是天书但是经过了这些 AI 掰开了揉碎了这样给我细致的讲解用各种比喻用各种的应用至少它的本质被我给掌握了这个本质不就是把复杂的东西给它变得简单然后把它分块把它模拟然后再把它组装起来那这种思维方式其实是完全是通用的
另外一个就是使我坚定了信心无论学什么样的知识只要现在有 AI 的结合我觉得我们都可以很快的学会不再像以前一门课要学一个学期学好几年这个其实你有这样的心智有这样的学习能力的话可以很快掌握一门知识至少
快速的把这个知识的精华全都给他掌握起来这就是伊隆马斯克为什么这么厉害的原因他就是快速的吸收了很多的知识
查理那个那个查理芒格也是这样我们相信随着 AI 时代给我们如此的赋能我们一定会掌握更多的知识掌握更多的技巧也使学习变得不再那么痛苦而变成一种非常愉快的事就像我现在这样真的是学会了之后有一种发自内心的 Eureka 然后
心花怒放的感觉好今天我们的视频就讲到这里谢谢大家再见