Math and Beauty in the Age of AI
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让我们来谈谈苏格拉底和艾萨克·牛顿两位伟大的思想家，他们都对新思想和新技术抱有怀疑。苏格拉底认为，写作会削弱我们记忆、思考和推理的能力。而牛顿则认为，代数过于抽象，不像几何那样具有直观的威力。

但是数学思想已经发展了。例如计算器的出现，使得算术运算变得容易。计算机使某些类型的问题几乎变得微不足道。数学似乎正处于另一个拐点，其影响力与写作颠覆苏格拉底方法时一样巨大。

欢迎收听Quanta播客，我们将探索基础科学和数学的前沿领域。我是Samir Patel，Quanta的主编。在本期节目中，我们将探索现代数学的领域，试图了解AI和其他技术（这些技术已经被用于编写证明和解决问题）如何改变我们所知的数学研究。

我们最近在我们的特刊“人工智能时代的科学、承诺与危险”中探讨了这一想法。其中一篇故事是由我们的数学编辑Jordana Sapelowitz撰写的，她今天加入我们，讨论她关于数学家如何看待即将到来的转变以及这对未来几十年数学的宏伟计划意味着什么。Jordana，欢迎。感谢邀请我。

在我们开始这些对话之前，我们喜欢了解我们将要讨论的内容。那么，我们在这里探讨的重大想法是什么呢？是的，这个问题最初是：如果人工智能在数学方面变得非常非常擅长，那么是否还需要数学家？虽然数学家当然相信他们不会灭绝，

他们现在必须评估人工智能将如何影响数学，它将如何改变他们所做的事情、他们所重视的东西以及数学的核心到底是什么。

当我们想到数学研究，即数学家每天都在做的数学时，它并不一定是我们对数学的普遍概念。那么，我们能否区分算术、代数和我们认为的数学研究呢？是的，我认为当我们许多人听到“数学”这个词时，我们会想到我们在学校学习的数学。

包括微积分等等，其中很多都是关于计算、计算、以一种死记硬背的方式应用事物，你记住这些规则，然后从中找出答案。这与研究数学家所做的完全不同。

研究数学家真正做的是以一种非常基础、抽象的方式探索数学真理。因此，他们试图证明某些陈述或假设是真还是假。要做到这一点，需要大量的探索和实验。你发展了一种直觉，再加上

帮助你构建这些数学论证。这与仅仅计算事物完全不同。你正在探索更抽象的数学关系，观察事物如何以令人惊讶的方式联系起来，并且……

是的，这需要一种非常不同的方法。我们正在谈论难以想象的大数。我们正在谈论奇特的形状、多个维度。所有这些都在数学研究中发挥作用。是的，完全正确。你刚才说到证明陈述为真。我认为这实际上是很多人在接受教育期间体验数学的一个联系点，那就是证明的概念。

所以，我认为这是在我们开始深入探讨人工智能影响的问题之前，我们应该了解的第二个概念，那就是当我们谈论证明时，我们的意思是什幺？我知道在你的故事中，你实际上有一个非常好的比喻来解释我们所说的证明是什么意思。

是的，所以证明本质上是数学家用来说服其他数学家某事为真的逻辑论证。我在文章中使用的比喻就像是从地面向上建造一座大教堂。所以你从地基开始。你正在奠定将成为其他一切的基础。这就是数学中的公理。

它们是你从一开始就决定为真的基本假设。它们的选择非常谨慎，数学家们都同意它们是正确的。好的，例如欧几里得在他的几何公理中，其中一个公理是，在任意两点之间，你可以画一条线。这就是那种东西。这是无法证明的。只是，好吧，这就是我们认为是基本真理的东西。现代数学，这些公理有点更抽象。它们都是用集合论来表达的。

但道理是一样的。这几乎就像你正在建立你正在工作的空间的规则。数学家们使用的是一套非常一致的公理。所以是的，这就是你建筑的地基。现在你想首先创建一个你认为将要做的蓝图。所以一种……

证明草图或计划？这里的高级论证是什么？我将遵循的逻辑弧线是什么，才能将事物构建到最终陈述？我认为X是正确的。以下是我这样认为的原因。没错。但是你必须实际实施该蓝图。因此，你需要一块一块地建造你的建筑物，你的大教堂。在证明的语言中，这些砖块本质上是一些较小的陈述，称为引理。

所以引理可能是一些数学家直觉上知道是正确的，但他们仍然需要非常严格地证明它。它不是公理，对吧？这不是每个人都同意是正确的东西，但它是我们感觉像，好吧，我们需要确保我们证明这是正确的东西。没错。它就像一个小的陈述。所以现在我们将创建一个这个东西的小证明。好的，现在我们知道这是正确的，所以我们可以使用这块砖。

你不断地使用许多不同的砖块，并且必须以巧妙的方式将它们组合在一起。最终，你得到了你的大教堂，它屹立在坚实的基础上。这就是你的证明。现在，你使用大教堂而不是仓库的比喻是有原因的，我认为，因为我们正在谈论的，以及这个故事的一部分内容是，美。我们思考现代数学的方式不仅仅是

我们如何达到这个最终结果？但是数学家，我在 Quanta 做编辑一段时间后了解到这一点，数学家们真的关心数学的艺术，数学的美。是的，很有趣。每当我问数学家，为什么这个问题很有趣？或者为什么你想为此工作你生命中的数年？最常见的答案之一是，嗯，它很美。它是自然的。有一种理解

证明简洁而优雅。即使实际获得证明需要付出很多努力，你也可以直观地理解它。通常，看似分离、不相关的事物之间会有一些非常有趣的联系，或者一些让数学家感到惊讶的其他非常新颖的想法。这将被认为是美丽的。这与应用数学有何不同？

纯数学是关于为了数学本身而理解数学。所以当我们说应用数学时，我们想将数学用于某种实际目的。所以我有一些工程应用。我想确保我的飞机能够飞行，或者这座建筑不会倒塌。好吧，很多数学都包含在其中，这对于正确理解非常重要，但它最终有不同的目的。

纯数学研究的不同之处在于你并不知道它将被用于什么。也许它会在 100 年后被用于某些实际用途，就像对素数的理解今天影响了密码学一样。是的。也许它根本没有用。但正如我们刚才谈到的那样，它仍然很美丽，值得为了它本身而探索。是的。数学和艺术之间的相似之处不断出现，很难摆脱它们。是的。

我与之交谈的大量数学家也对诗歌和文学非常感兴趣。这始终是我着迷的一种联系。是的。让我们来看一下纯数学、创造力、美、优雅的领域，但也包括证明的非常明确的结构，例如。我们现在开始考虑人工智能以及它与之的关系。众所周知，它实际上不擅长数学，但这与我们在这里讨论的不同，不是吗？

是的。首先，我认为我们还必须考虑这里的人工智能是什么。好的。因为有很多不同类型的人工智能系统参与了数学。如果你回顾几十年，就会有这些被称为自动定理证明器的系统。好的。这些基本上就像你已经编写了你的公理和这些逻辑规则一样。

这些系统在一个很大的空间中搜索以构建陈述的证明。而且它们有效。它们运行良好。它们已经存在很长时间了。但它们是有限的。你可以证明的陈述类型……

它们不包括数学家想要解决的一些真正的大问题。当然。然后你得到这些机器学习系统，它们几乎可以用作合作者。在过去的几年里，数学家们一直在使用它们来寻找新的模式或测试可能的猜想。这在直觉上是有道理的，因为在整个科学领域，人工智能发现最佳应用的地方之一就是当你拥有一个巨大的数据集并且正在寻找其中的模式时。

例如，说出这里面的内容并让人工智能为你做一些工作很容易。而这些系统正是这样做的。是的。现在，许多研究数学家，正如我们所说，他们花费时间做的事情是以一种——也许一开始不太逻辑的方式思考事物，就像在它成为证明之前一样。对。然后问题是，人工智能能否帮助完成这个过程？例如，你能否——

告诉它，嘿，我想证明这个陈述，给我一个证明。我们还没有做到这一点，但是这些系统已经通过了一些不错的基准测试。它将之前自动化证明系统的严谨性与我们在

大型语言模型或图像创建模型等中看到的这种生成性“创造力”结合起来。是的。问题是，对于大型语言模型，它本质上是训练来完成句子的，像这样的东西，它并没有像我们认为数学家那样积极地思考或具有创造力，它能否证明数学家以他们非常人性化的方式所做的事情？是的。

所以这是一个未来的问题。——为了回顾一下前面提到的内容，大型语言模型尤其以不擅长数学而闻名，因为很多人与我们最新的 AI 系统的交互方式是通过大型语言模型。如果你开始问他们关于大数的问题，

它们往往会变得越来越不可靠。是的，即使是对于非常大的数字进行基本的算术运算，它们也非常不可靠。如果你要求进行数学解释，甚至要求对已知陈述进行证明（证明存在），它们也不可靠。所以它已经接受过这些方面的训练。它也许可以给你提供基本的证明，但是如果你稍微调整一下，当它给出答案时，它听起来可能是对的，但实际上是错的。所以如果你不完全……

知道如何查询它，你就会得到错误的答案。所以，是的，这就是它的现状。我认为有一些更定制的模型更擅长这些事情。所以我认为一些数学家实际上对现状印象深刻。去年，一些大型语言模型技术与其他系统一起用于在国际数学奥林匹克竞赛中取得了非常好的成绩，这是一项非常著名的基于证明的高中考试。

但是同样，这些问题与数学家在日常生活中处理的问题都非常不同。现在，我知道作为一名作家，当这些大型语言模型首次出现时，每个人都非常担心

我们如何与这些事物相关？它们是我们的工具吗？它们会取代我们吗？这种情况已经有所缓解，因为我认为质量可能还不够好。我认为艺术家和插画家也有类似的经历。从你对这个故事的报道来看，数学家们正在经历他们自己的过程，这表明——

如果我们不再仅仅沉浸在思考中，试图设计这些抽象的问题，然后为它们构建这些证明的“大教堂”，那么我们在这里做什么？是的，我记得一位数学家向我描述说，哦，这让你感觉有点不舒服，因为我们喜欢坐在一个什么都没有的房间里，进行深入思考。如果人工智能要侵犯我们做事的方式，情况就不会是这样。但我可以说，大多数数学家现在都漠不关心，因为我们

这些系统还不够好，无法真正对实际证明产生巨大影响。但是其他数学家正在探索，好吧，它现在如何开始帮助我们，以及未来可能是什么样子？乐观的数学家认为未来会怎样？

我认为有一些希望，好吧，也许一些那些枯燥的引理，这些构成大教堂的砖块，可以像我们目前将算术的一部分外包给计算器或计算机一样外包出去。这似乎是技术带我们走向的自然延伸。这是……

我们可以做的事情，但非常耗时。这是一个更高级的东西，可以节省我们的时间。是的，完全正确。这样就可以腾出时间去探索新的事物。因此数学将发展得更快。但这同时也意味着，将不再参与证明的每一个严格步骤。几十年来，这对于数学来说一直是一件非常重要的事情。

20 世纪和 21 世纪的大部分时间。在某种程度上，全身心地投入这种工作实际上可能会带来更大的洞察力，因为你必须定期思考问题。这个类别中的悲观主义者呢？我采访的一些数学家，这实际上并没有在我的文章中占据太多篇幅，但他们担心，因为

对。是的。

然后还有一个问题，如果人工智能技术变得如此优秀，以至于它实际上可以证明事情呢？就像我们对这些我们真正感兴趣并为之奉献生命的问题一样。如果你能找到一种方法正确地将其提供给计算机，计算机就可以输出它。

这现在完全是幻想。目前还不清楚这是否可能实现。在技术方面可能存在完全无法克服的障碍。但这在想象的范围内。是的，数学家们愿意考虑这个问题，他们应该这样做。然后就出现了一个问题，如果我们把所有时间都花在证明定理上，而这就是我们看到创造力发挥作用的地方，那我们还剩下什么？

而且不能保证由此产生的证明会是美丽、优雅、高效或数学家在证明中珍视的任何东西。对。然后还有一个问题，好吧，数学家认为美丽的东西会改变吗？它将如何适应？或者他们是否必须在企业的其他方面找到美？听起来数学家们开始思考，好吧，也许对我们来说，除了我们长期以来使用的模型之外，还存在另一种模型。

是的。所以合作的想法绝对是一个重要的想法。现在，数学中的规范是，你得到两到三位数学家，他们从头到尾一起合作完成一个证明。好的。所以他们集思广益，他们提出想法，他们想出如何实施它。因此，他们一起创建了这个完整的证明，并想出如何将其写出来并传达给其他数学家。而且……

现在出现了一个问题，好吧，如果你可以将很多这些东西外包给人工智能系统，这可能会开启这些真正非常庞大的项目。实际上，即使没有人工智能，我们之前在数学中也见过这种情况。所以一个经典的例子是 20 世纪的这个大型项目，称为有限单群的分类。好的。这是数学中非常基本的物体，数学家想要对其进行分类。这需要……

基本上，在整个世纪的过程中，大约 100 位数学家分别工作，最终能够积累证明。它有超过 10,000 页。哇。所以现在没有人能记住所有这些，但每个人都认为它是正确的，并且对此感到满意。这听起来像是一个很好的证明。

对于一个你正在进行项目的一部分、人工智能正在进行项目的一部分、你正在与其他人一起工作，例如以这种宏大的协作方式思考的版本。是的，完全正确。它可能会成为常态，你会看到很多人进行实验和测试。然后有些人解决一部分，有些人解决另一部分，其他人正在想出如何将它正确地提供给人工智能系统并解释结果。所以你得到……

这种在物理学和生物学中很常见的劳动分工，但现在在数学中并不常见。我认为这将是我们多年来将在各个部分继续探索的地方。所以我很高兴将来能继续和你讨论这个问题，Jordana。我也是。我的意思是，一切都在快速发展，没有人真正知道接下来会发生什么。所以这是一个激动人心的时刻。♪

我们喜欢在每集节目结束时做一个推荐。这可能是你消费过的某种媒体，一些你认为非常有趣的东西。本周有什么东西吸引了你的想象力吗？是的，为了保持人工智能的主题，我在《纽约杂志》上读到一篇文章，名为……

每个人都在作弊完成大学学业，这是一个非常具有煽动性的标题，作者是詹姆斯·沃尔什。它讲述了学生如何使用大型语言模型来撰写论文和完成大学的其他作业，以及这如何影响高等教育可能是什么样子，以及现在随着这些技术更早地进入他们的生活，人们实际上是如何学习和思考的。这非常有趣。非常感谢你加入我们，Jordana。期待下次我们有机会交谈。

非常感谢。我们不仅仅在 Quanta 报道人工智能。并非我们所有的故事都是关于这个的。所以如果你本周查看 quantamagazine.org，你可能会发现关于流体湍流、鸟类如何长途迁徙以及许多其他令人惊奇的事情的故事。所以请在网站上查看，并在有机会时查看 Jordana 的故事。

今天我们将用一种声音来结束节目，这种声音回荡在历史上一些最伟大的科学家——查尔斯·达尔文、史蒂芬·霍金和艾萨克·牛顿——的最终安息之地。这些是威斯敏斯特教堂的钟声。Quanta 播客是 Quanta Magazine 的播客，Quanta Magazine 是一个由西蒙斯基金会支持的编辑独立出版物。我是 Quanta 的主编 Samir Patel。

西蒙斯基金会的资金决定不会影响本播客或 Quanta 杂志中主题、嘉宾或其他编辑决定的选择。Quanta 播客是与 PRX Productions 合作制作的。制作团队包括 Ali Budner、Deborah J. Balthazar、Genevieve Sponsler 和 Tommy Bazarian。PRX Productions 的执行制片人是 Jocelyn Gonzalez。

来自 Quanta Magazine 的 Simon France 和我本人在 Matt Karlstrom、Samuel Velasco、Simone Barr 和 Michael Kenyongolo 的支持下提供编辑指导。我们的主题音乐来自 APM Music。如果您对我们有任何疑问或意见，请发送电子邮件至 [email protected]。感谢收听。