The Mysterious Math of Turbulence
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湍流是一种臭名昭著的难以研究的现象。数学家们现在开始在最小的尺度上解开它的谜团。这是量子播客的第六集。在每一集中，《量子杂志》主编萨米尔·帕特尔都会与该获奖出版物背后的思想家们交谈，以探讨科学和数学中一些最重要和最令人耳目一新的问题。音频结尾由华盛顿山天文台提供</context> <raw_text>0 几周前，我在新罕布什尔州的白山徒步旅行。那里以其恶劣的天气而臭名昭著，天气变化莫测，有时甚至会在一瞬间变得危险。在树线以上的高山区域度过了几个平静、细雨的时辰后，风突然变了，原谅我用这个词。就这样，我们被一阵冰冷的雨水袭击了，在最糟糕的时候，雨水似乎同时从四面八方袭来。

总的来说，风是从一个方向吹来的，但是我们周围的岩石、山峰和山谷都在把它吹成我们正式称为湍流的东西，或者说是当像风在一个方向吹或水在一个溪流中流动这样的流体流过一个复杂的现实世界环境时发生的看似混乱的现象。

正如你可能想象的那样，用数学来理解这样一个复杂的系统一定是非常复杂的。事实上，它复杂到解决它可能价值百万美元。欢迎来到量子播客，我们将在这里探索基础科学和数学的前沿。我是萨米尔·帕特尔，量子杂志的主编。

数学家从来都不是那种会回避看似不可能的问题的人。我觉得把秩序带入像湍流这样固有的混沌事物中，就是这样一种问题。当然，最近在理解湍流的数学方面取得了重大进展。而这里来和我们讨论这个问题的是量子杂志的撰稿人之一，乔·豪利特。欢迎，乔。是的，感谢你的邀请。很高兴来到这里。

乔，你是量子的数学撰稿人，这在新闻界可不是一个常见职位。全职撰写关于数学的文章是什么感觉？这真的很难。我过去把时间花在电话上，即使是和科学家……

获得关于他们经验的好引言。现在我花几个小时在电话里只是试图理解论文本身，因为我通常读不懂它的第一句话。这实际上是一个很好的过渡，可以谈谈你最近为量子杂志撰写的一篇关于湍流及其背后数学的文章。在我们深入探讨之前，什么是最重要的想法？我们在这篇文章中要讨论什么？这是第一个严格的数学证明，

关于我们从一开始就知道的，或者说从它开始被研究的100年前就开始研究的湍流现象。这种现象，我们在这个语境中称之为超扩散，它是如果风是湍流的，那么东西是如何在风中散布的。我们很早就知道这是会发生的事情，但它从未在数学上得到证明。这是第一个真正做到这一点的语境。

我们许多关于数学的故事都会立即进入一个非常抽象的地方。关于湍流作为数学概念的有趣之处在于，它实际上是如此扎根于现实世界，无论是徒步旅行在山区，还是观察溪流，或者驾驶你的汽车，让空气流过它。所以让我们从

这个的现实世界类比开始。这是基于流体的流动，对吧？那么，我们所说的流体是什么，它的流动通常是什么样的？任何不是固体的东西，其分子可以相互移动。这使得事情变得复杂。这些分子如何相互作用和移动是困扰数学家、科学家、工程师几千年的一个核心科学问题。

湍流是如何发挥作用的？在现实世界中，湍流是什么？如果你想象一下，水通过管道非常简单的流动，你可以想象一下，也许在管道的任何地方，它的速度或多或少都是一样的。是的，它与管道的边缘有点相互作用，但是如果你想象一下它的理想化版本，中间的流动感觉相对一致。没错。这种流体运动很简单。我们可以写下它的方程。

但是当你开始加速它，添加转弯或弯道或障碍物时，湍流就会开始出现。因此，每当流体运动变得足够快以至于不再简单时，湍流就会出现。你可以在各种地方看到这一点。一个经典的例子是，当你乘船时，你坐在船尾，看到你身后尾流。湍流的涡流向各个方向扩散。

另一个例子是，如果你曾经划皮划艇。当你把桨放入水中并推动时，你会看到所有这些小漩涡向不同的方向扩散。

所有这些运动在技术上都是湍流，而且它们真的不可预测。比如它们向哪个方向移动，它们有多大，这可能非常复杂且难以研究。香烟的烟雾或火山的烟雾也是如此。它上升到空中，然后立即开始在复杂的涡流中盘旋。这就是湍流。我们可以想象所有……

这些小漩涡在现实世界中出现的方式。这也与许多人对湍流的看法有关，那就是飞机，对吧？是的，飞机上发生的事情是，你有一股非常简单的空气流过机翼。它是连续的。而且

在机翼后面，空气流过之后，它可以做一些湍流的事情，就像你船的尾流一样。问题是大气中充满了湍流。当湍流的空气撞击机翼时，会破坏让你在飞机座位上感到舒适的恒定气流。这就是造成这种颠簸的原因，对吧？它是完全随机的。它是不可预测的。它是混沌的。我们前面提到过这是一个复杂的设置。你说有一种很好的方法来描述稳定的流动。

有一组方程叫做纳维-斯托克斯方程。这只是……

能量守恒定律、质量守恒定律、动量守恒定律。我们知道流体的一些事情，比如它不能违反物理定律。这些方程的作用是，如果你给我一个流体的初始状态，它正在移动，流体中的每个点都有一定的速度和方向。如果我知道所有这些，我可以把它代入这个方程，转动曲柄，告诉你未来每个点的确切情况，对吧？这种流体将如何继续移动。

这是一个理想化、想象的、数学化的流体版本，因为没有什么东西是真正那么可预测的。没有什么东西是真正那么可预测的，但它是确定性的。如果你知道关于这种湍流流体的一切以及它是如何移动的，你可以把它代入这个方程并预测未来。但是因为你永远不可能知道这一点，所以你永远不可能预测未来。而研究这些纳维-斯托克斯方程，这就是人们进行天气预报的方式。这就是蝴蝶效应的来源。

因为我们不知道大气的状态到每一个分子，我们无法将精确的数字代入这些方程。随着时间的推移，小的不确定性会迅速膨胀。10天后，你的天气预报就会变得完全不可靠，这就是为什么我们只能相信手机一两天后的预报。蝴蝶效应被拍成了电影。你知道，蝴蝶在一个地方扇动翅膀。它在其他地方引起极端天气。这是真的吗？

或者这只是思考问题的一种有用的方法，即开始时的小扰动可能会导致以后的大扰动？两者都是，对吧？这与我们通常对科学的看法相悖，即如果你大致正确地掌握了事情，你就可以得到近似的答案。在混沌系统中并非如此。而流体的流动就是我们所说的混沌系统。

这是一个混沌系统。就像我说的，流体的一切都包含在纳维-斯托克斯方程中。但是研究它们的解，甚至在一个特定情况下求解它们，在数学上可能是无法实现的。它被认为是所有纯数学中最大的未解问题之一。它是粘土数学研究所的七个千年大奖难题之一。就像你在引言中所说的那样，如果你……

理解纳维-斯托克斯方程，你将从这个数学研究所获得一百万美元。而它在数学上如此困难的原因是由于湍流，对吧？你有漩涡和涡流，它们就像这些较小的旋转模式，以及涡流，它们是较大的漩涡。所以有不同的尺度，小的和大的，所有这些都发生在

从我嘴里出来的空气，以及世界上所有流动的溪流，每艘船的尾流，以及海洋和大气的持续存在，一直都在发生。是的。所以你说了尺度。这对于为什么湍流对数学家来说是一个问题很重要。如果你想象一下飓风的卫星图像，那是一个巨大的涡流，对吧？

如果你放大飓风的一部分，你会看到其他较小的涡流。无论你放大多少倍，这都是正确的，直到你到达分子尺度，在那里涡流无法形成，因为分子相互碰撞的噪音太大。在所有这些不同的尺度上，都有这些不同的涡流，它们相互作用。这意味着如果你想知道例如我松开的气球在飓风中间会发生什么，你不能只考虑小尺度的涡流。

你必须考虑整个飓风以及所有这些涡流如何相互作用并传递能量，这些能量会传递到我的气球上。说到气球，我们即将讨论的数学领域的一个起源，所以我们可以谈到超扩散，始于一场气球比赛。因此，在1906年，第一次迭代的气球比赛仍在继续。它就像时间最长的全球气球比赛。

这场比赛叫什么名字？它被称为戈登·贝内特杯。戈登·贝内特是一个有钱人，他热衷于英国的航空事业。我从我们的英国同事西蒙·弗朗斯那里了解到，他是一个混蛋，或者他的儿子是一个混蛋，以至于直到今天，英国人还会说，“哦，戈登·贝内特”，当他们对某事感到生气时。这很有趣。但是是的，他只是一个发起这个杯赛的有钱人。每年，来自不同国家的热气球爱好者都会来到一个地方，

这些气球是用氢气或氦气填充的，比空气轻的气球。他们只有压舱物可以释放，以及一个释放阀可以释放气体。所以他们可以上升或下降，但他们无法控制其他任何东西。所以他们都在1906年9月30日聚集在巴黎，充气他们的气球，一个接一个地飘向天空，目的是看看他们离巴黎能降落多远。

在一定的时间内，或者只是喜欢它或讨厌它，你离巴黎有多远？你离巴黎能有多远？这不是一场比赛，因为没有目的地，因为你无法控制你的去向。对。你完全受制于风。你唯一能做的就是说，“那里的风看起来更好”，然后释放一些压舱物，或者说，“那里的风看起来更好”，然后释放一些气体。这些是你唯一的控制方法，你只是被风吹散了。好的。谁走得最远就赢。

这听起来像个糟糕的主意。是的，确实如此。我可以这么说，因为巴黎，法国的几面都有水，你可能会最终到达不安全着陆的地方，对吧？是的，这正是发生的事情。所以它开始于一个非常平静的日子。他们释放了5000只鸽子来庆祝第一届活动。每个人都起飞了，气球点缀着天空，然后向西漂去。

但到了晚上，风变了。一个非常湍流的风系统出现了，并将所有这些气球散布到西北方向。

所有热气球爱好者都立即意识到他们遇到了麻烦。他们正在驶向英吉利海峡，或者他们中的一些人认为是大西洋。当你乘坐这些气球在云层上方时，很难知道你在哪里。尤其是在1906年。没错。其中一人报告说，他们试图向他们经过的一个法国小村庄里的人们喊叫，“我们在哪里？”，并且据新闻报道，这像是求救声，但他们不知道他们在说什么。所以很多热气球爱好者都降落了。但是

但是一些勇敢的热气球爱好者，他们中的一些人说，“我认为英国在那里。我认为我们可以坚持下去并在英国着陆。”，他们中的一些人在英国着陆，包括获胜者。但是对于科学史来说，关于这场气球比赛的重要之处在于，他们的着陆位置被列在1906年《航空杂志》的一期中。所以20年后，一位工程师、气象学家、有趣的那种特立独行的科学家路易斯·弗莱·理查森说，

对研究湍流及其如何散布事物感兴趣。他偶然发现了这篇杂志文章，并意识到，“我可以利用这些气球被风吹散的方式作为对大气湍流的实验。”他就像，“这是一个完美的1000公里尺度的实验，

我也可以做一个小型实验，只需吹蒲公英就可以了，对吧？我可以看看所有种子是如何在风中散布的。我可以看看火山上方的灰烬，看看它传播多远。我可以查看飓风系统的数据，看看它们是如何传播事物的。所以这是关于观察事物着陆的地方，并利用它——

反向工程将它们送往那里的湍流。没错，因为湍流的流体，它是一团糟。你必须考虑流体的每一个位置以及它正在移动的地方，对吧？问一个更简单的问题是，我的湍流流体是如何散布事物的，而不是说，它在每个位置的移动方式究竟如何？理查森在1906年比赛的记录中看到了什么？

他从那场比赛中获取数据，将其与他多年、多年、多年收集的蒲公英和飓风数据放在同一个图上。他看到了一种非常清晰的关系。它只是一条直线，基本上是一个幂律，这向他表明，所有这些尺度都在以某种方式相互作用，以比随机运动更快的速度传播这些粒子。气球最终着陆的地方……

发生的速度比人们想象的要快。所以你看到的是，从所有这些小的混沌运动中，出现了一种更大的现象，一种更大的趋势。从混沌中产生了一种非常简单的秩序。这真的很令人兴奋，我们实际上可以对湍流说些什么。他用来自航空杂志的所有这些不同数据通过实验观察到了这一点。真是令人难以置信的东西。

他留下了哪些未解之谜，我们今天可以继续研究？理查森没有说或不知道的是，这到底是怎么回事？他可以推测一下，但他不知道为什么。所以这持续了几十年。我们有这个经验定律和某种关于它为什么会发生的原因的启发式理解，但没有真正的数学理解。然后在70年代，一些物理学家出现并意识到，

粒子物理学的一种新技术可能对湍流的研究有用，包括理解这种粒子的快速传播。而这种技术是什么？它被称为重整化。这是一个著名的……

手挥技术。理查德·费曼称之为数学障眼法。你有点作弊。在数学中，你不允许除以零。还有很多其他的规则也是如此。而物理学家们正在打破所有这些规则。但他们正在以正确的方式回答非常重要的问题。例如，他们能够非常精确地预测两个电子如何相互作用和碰撞。而重整化的关键是统一许多不同的尺度。因此，关联所有这些不同的尺度是重整化能够做到的事情。

所以一些流体动力学物理学家想，等等，如果这个东西可以应用于具有许多不同尺度的问题，那么它也许可以帮助解决湍流问题。所以他们开始将它应用于这个问题，并且他们能够解释理查森的东西，这个关于粒子或橡皮鸭或气球如何在风中散布的简单定律。他们能够得到关于这如何发生的完全正确的答案。

这主要局限于简化的场景。因此，与其使用具有完整纳维-斯托克斯方程的真实流体，不如使用一种简化的流体，在这种流体中你仍然可以看到这种超扩散，对吧？这就是物理学家所做的。将其简化为其本质。在这种情况下，他们能够使用重整化来解释它并得到答案。

但是对于数学家来说，这个答案正确吗？我不知道。数学家不相信重整化。它不是一个严格的数学工具。多年来，他们试图在各种情况下使重整化严格化。这是一项持续数十年的努力。并且只有在少数情况下才能成功。

因此，理查森在20世纪20年代做出了他的超扩散观察。然后到了20世纪80年代，这是解释它的第一个数学步骤。但是人们并不真正相信这一点。接下来会发生什么？又过了几十年，数学家们试图使用他们自己的严格工具来说明这些系统。他们能够说明一些事情。

但是，与其说这是这些粒子散布的确切方式，不如说如果做一百万次，或者如果你想象流体的每一个可能的运动，它们平均会比这更快地散布。所以他们能够做出更弱的陈述。所以你既可以使用不完善的数学技术，也可以使用真正好的严格技术，但你不能说出你想要的那么宏伟或坚定的东西。没错。这种二分法是，你可以使用松散的数学并说一些强有力的东西。

或者你可以使用严格的数学，但只能说很少，或者做一些简化一切的假设，以做出某种陈述。我们今天谈论的数学家坚持认为，有一种方法可以在这种情况下使重整化严格化，并真正迎难而上，说出在数学上严格而有力的东西。

那么，来自纽约大学柯朗研究所和赫尔辛基大学的这些数学家，他们有什么特别的技巧来做到这一点吗？是的，他们的想法是一个叫做均匀化的数学工具。这是人们已经做过一段时间的事情，你从不同的尺度观察事物。你非常近地放大，然后你非常远地放大，你从数学上将这个无序的近尺度系统与这个放大的简单尺度联系起来。好的。

这些数学家认为，好吧，如果我们一步一步地做，而不是放大很多，我们稍微放大一点，然后在我们的流体上画一个网格。所以你想象一下，在每个网格方块中，有些有小涡流，有些有流体直接流过它们。在每个方块中，他们都会问，流体的运动是什么？它与方块之间的差异有多大？

所以他们就像在某种程度上像素化流体一样。我在想查克·克洛斯的画作，试图一次聚集一个单独方块中的内容。它就像一张数码照片，对吧？他们只是试图将每个方块简化为一个数字。就像一个低分辨率的流体。是的。然后他们进一步放大并绘制一个更粗糙的网格。他们降低了分辨率。好的。他们将这个更粗糙的网格与更精细的网格联系起来。他们表明它变得不那么异质了。一切似乎都变得更简单了。

他们认为这是一种采用重整化方法并以数学方式进行的方法，对吧？最终你会得到这张简单的图片，并且你知道你如何得到它，并且你已经证明了它。他们的证明在数学上确定了这一点，并展示了混沌如何变成秩序，并告诉你这个数字是多少，粒子是如何散布的。所以现在他们能够准确地告诉你气球如何在风中散布，以及

在那个大尺度上。他们能够严格地做到这一点。他们得到的答案与物理学家在20世纪70年代使用他们的重整化得到的答案相同。我们采用超扩散的现实世界观察。重整化给了我们一个部分解释，或者是一个我们感觉我们无法信任的解释。但是重整化结合均匀化，在我看来，这是一个复杂而复杂的数学证明，是

告诉我们为什么超扩散会发生，为什么气球在1906年贝内特杯赛中散布得比任何人想象的都要远和快。是的，没错。使用这个均匀化工具，这个数学工具，他们使物理学家的重整化在这个湍流的一个特定上下文中在数学上变得可靠。

将均匀化应用于重整化是否意味着这种智力飞跃可以有更广泛的应用？

作者认为它可能可以，该领域的其他人也是如此。你知道，我们提到了那七个粘土千年大奖难题。另一个与粒子物理学中的确切问题有关。你能在粒子物理学中使重整化严格化吗？这似乎可能是一种新的方法，可以以更严格的方式制定重整化。

没有人因为这项工作而获得任何千年大奖，但它确实提供了一种可能很有希望的方法来回答多个领域中关于混沌系统的大量问题，这可能最终会导致人们非常兴奋的更多数学解决方案。是的，作者是

他们是这些东西的布道者。他们真的相信它非常强大。他们几十年来一直在赞扬它。有一段时间，人们并不真正相信它能够使重整化严格化。他们认为这是使用这种技术解决各种问题漫长过程中的第一步。这也是一个罕见的立足点……

在湍流上，对吧？湍流的流体几千年来一直超出了我们的理解。即使只是理解它如何传播粒子也是一件罕见的事情，一件特殊的事情。感谢你向我们解释这个故事，乔。如果你想了解更多信息，你可以在quantummagazine.org上找到它。乔的故事叫做《新的超扩散证明探究湍流的神秘数学》。在每一集中，我们都喜欢让我们的嘉宾推荐一些东西。乔，本周有什么东西让你兴奋吗？

好的，我有两个截然不同的推荐。太好了。你可以选择一个。我两个都推荐。好的。一个与主题相关，一个与主题无关。与主题相关的那个是，写这个故事最终让我读了……

我心愿清单上的一本书，詹姆斯·格利克的《混沌》。这是一本经典的科学传播著作。它令人难以置信。它讲述了20世纪70年代混沌理论的科学革命的故事。这很酷，因为从事流体动力学研究的人真的是不拘一格的怪人，他们来自科学的不同领域。很多时候，这会毁掉他们的职业生涯，因为它有点像科学界内部的一个奇怪的孤岛。所以这是一本很棒的书，我绝对推荐它。

我完全与主题无关的一个推荐是，我想是在几个快乐时光之前，你和我在帕特·贝纳塔尔上取得了共鸣。是的。特别是她1979年的专辑《In the Heat of the Night》，以及它如何一首接一首地播放劲歌。我觉得这是一张没有跳过歌曲的专辑。没有失败之作。它真的，真的很好。帕特·贝纳塔尔完全被低估了。是的。我希望人们能听一听。

听《In the Heat of the Night》。特别是歌曲《We Live for Love》，当时这首歌很流行，但我感觉它已经丢失在当代了。它令人难以置信。同意。我完全赞同这个特别的推荐。

本周在量子杂志上，我们还将了解费米子和玻色子，这是物理学中两个最基本的粒子。我们还与一位科学家进行了对话，他正在探索机器智能和人类认知之间可能的反馈回路。今天，我们将用一点湍流的声音来结束节目。这是在新罕布什尔州华盛顿山天文台记录的，在东北部最高峰的山顶上记录的风声。

华盛顿山以拥有世界上一些最强烈的风和最恶劣的天气而臭名昭著。值得注意的是，这段录音实际上是在我的徒步旅行队和我在2025年6月到达山顶之前几个小时录制的。我们到达那里时，风小得多。

量子播客是量子杂志的播客，量子杂志是一个由西蒙斯基金会支持的编辑独立出版物。我是量子杂志的主编萨米尔·帕特尔。

西蒙斯基金会的资金决定不会影响本播客或量子杂志中主题、嘉宾或其他编辑决定的选择。量子播客是与PRX Productions合作制作的。制作团队是阿里·巴德纳、黛博拉·J·巴尔萨扎尔、吉妮维夫·斯庞斯勒和汤米·巴扎里安。PRX Productions的执行制片人是乔斯林·冈萨雷斯。

来自量子杂志，西蒙·弗朗斯和我在西蒙·卡尔斯特罗姆、萨缪尔·维拉斯科、西蒙妮·巴尔和迈克尔·肯永戈洛的支持下提供编辑指导。我们的主题音乐来自APM Music。如果你有任何问题或意见，请发送电子邮件至[email protected]。感谢收听。来自PR。