EP177 | 不要再覺得數學沒用了 ft. 賴以威教授
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哈囉各位聽眾大家好 歡迎收聽最新一集的博音今天我們要探討的是所有人最感興趣的一個主題也就是數學好那今天的來賓呢是賴以薇教授她目前任職於國立師範大學電機系同時也是數感實驗室的共同創辦人賴老師你好你好你好在一切開始之前我們要先做一件事情就是我們要分享一個我們最喜歡的數學悖論

哦 数学悖论吗没错然后我们完全没有要用非常生活化的方式切入来让大家跟上我们一开始就是要讲这个数学悖论然后你为什么喜欢它 OK 然后把它解释清楚然后活力全开好 一开始就很挑战对对对

我先开始好你先我最喜欢的数学悖论是罗素悖论那要讲罗素悖论到底在讲什么东西要先解释集合的概念嘛那集合概念就是我们可以说有两只脚的东西是一个集合所以我在这个集合里面赖老师也在这个集合里面 LeBron James 也在这个集合里面可能有些鸟如果你把它称为他的脚的话也在这个集合里面以前的定义是也可以包含自己假如说有一个集合它是所有集合的集合那它就会包含自己

那可是呢,这个时候就出现了一个悖论,是一个叫罗素的家伙想出来,然后他就说,那如果有个集合叫做所有不包含自己的集合的集合,那他到底包不包含自己?因为他如果包含自己的话,他就包含了自己,他不能包含自己,但他如果不包含自己,他需要包含自己,那他就会变成包含自己,他就不是不包含自己。

相信這個時候大家都很冒煙對但是這個它有一個生活應用我記得是高一數學的課的時候老師教給我們的你不要覺得這是跟現實生活無關的假如說今天有一個理髮師他就說我要幫所有不幫自己剪頭髮的人剪頭髮但是幫自己剪頭髮的人我就不幫他剪頭髮那他到底要不要幫自己剪頭髮然後我

我記得高中數學課的結論是不要開這種理髮店就是你沒有辦法解開這個悖論可能就要稍微請教一下賴老師在數學裡面他們是怎麼解決這個悖論這個我比較沒辦法到那麼專業去回答這個問題

但是我知道這個問題是很有趣的因為我記得我有看過類似的問題是說什麼這個村落裡人都不說謊然後有一個人說那我今天說了一句話然後他好像說謊了到底他是說謊還是不說謊類似這樣子的謎底其實是蠻多的

然後這種悖論會讓大家覺得很有趣喔對啊因為這確實也是我自己覺得更有趣的部分就是因為好像數學上最後我記得就是集合有什麼十幾個定義然後他們就把其中一個刪掉就是說只要把這個定義刪掉我們就不用處理這個問題然後就把它放在一邊可是後來我在網路上又看到一個人他就說用語言的方式去理解這個悖論會發現你不可以忽視這個悖論的存在

就是好像是那個句子裡面有主詞跟述詞嘛述詞是修飾主詞的然後有一個概念就是是述詞到底是不是述詞

然後他反正他會遇到羅素貝倫一樣的東西然後他說語言是我們思考這個世界的方式你不可以說我們不去想這件事情因為他是很自然很內建在我們這個好但等一下再討論這個東西因為我覺得今天我有很多的問題就是說在現實生活中好像不會碰到的這種數學我們還要去為什麼還要去討論它跟想它第一個

我自己其实我是电机系的背景所以我老实说刚刚讲的一些数学的哲学或者甚至回归很基本的那种 1+1=2 为什么会有这样的一个数学

其實我都不太能夠去回答因為我的背景就是我們把數學做一個應用的工具比方說我做的是無線通訊理論我說好那我們應用數學來去處理無線通訊這件事情我要怎樣把機器台蓋在哪裡然後我的手機功率要多大這些這個時候我覺得說數學是一個很好用的工具可是一直以來我也沒有很認真去了解說

这工具为什么会长成这个样子但是等到很后来之后才慢慢开始去看了数学教育啊投入数学之后才开始关心这些议题那所以像有些悖论我了解悖论可能就是更生活化的就是一些生活化啊然后是可解释的的一些悖论或者比较容易解释一些悖论那老师你最喜欢的悖论是哪一个像我蛮喜欢一个很生活悖论叫做新普森悖论对

提出的人不是辛普森家庭也不是跟他命运有关是一个说他说一个很近的意思是说有一个打者他连续两年打击率都比 Geter 好另外一个是 Geter 我确定所以他连续两年好像 95 年跟 96 年打击率都比 Geter 高可是把这两年的所有的安打数跟打击数加起来然后去相处结果 Geter 的表现还是比较好

就是一個很奇怪的事情就是說你看他 95 年表現比較好 96 年表現比較好但是平均起來卻是 GT 比較好這是個很奇怪的例子或者說在 COVID-19 的時候好像有說過這個類似某個國家他每個年齡層的死亡率都比較低可是最後的總死亡率卻比另外國家來得高

欸這個是就是寫一寫就會發現就是它是違反直覺的那種對對對它是違反直覺但是其實是直覺搞混了一些事情直覺跳過一些思考步驟喔等一下我第一個想要問的是會不會那個打者的名字就是辛普森啊

欸不是不是不是 因為我剛剛聽完整個東西好像還是不知道辛甫生是哪一來的喔是發現這個 應該是應該是喔不是達正的這個我好像也有聽過一個很類似的就是很反直覺的是什麼生日悖論然後他是說 我知道我知道我忘記人數是多少了但是一個很小的數字就是可能在 20 左右 對就是說當

某個數字的人我們就假設是 24 號 24 個人同處一次的時候同月同日升的機率高過一半然後你就蛤

為什麼對超級煩知覺會覺得是不是什麼 300 多然後除以 20 分之 20 不是他其實是用高中數學可以解釋的他就是那個一去扣掉完全沒有人同一天生日就發現這個機率還蠻高的對對對因為你現在是投入數學教育對於剛才這種開場的方式

你會打幾分的分數我剛剛一聽的時候我其實覺得說 哇 開始很有壓力覺得今天討論非常的嚴肅 非常的專業我覺得會有興趣就是我覺得一定應該說我覺得不管哪一個議題你在全世界一定可以找到一些人對它是有興趣的然後我相信剛剛那些討論羅素貝洛娜這件事情其實是會有一定程度的人有興趣 OK 對但是我們就要回到

数学教育这件事情你就会想说那他对多少人是有兴趣的比方说我们一间教室然后我们的对象是国中生好了不过国中生可能大部分对数学都比较没兴趣国小生国小生的情况下一个班级的学生里面这个议题对哪些国小生会有兴趣然后或者说讲一些比较生活的宝可梦里面的数学对多少小朋友会有兴趣然后我们就会选择说可能还是要找最多小朋友会有兴趣的题材去讲

假如說要探討主題就是悖論我其實可以想像一般網路的影片會想辦法用一個軟性的切入方式然後之後才去講那麼深的東西所以在編排上面你剛剛講的意思就是說可能比較多數人還是比較能接受這種先不要講那麼難然後慢慢的越來越難

我覺得這沒有一定不過我們自己經驗會覺得說大家對於一些好理解的具象化的東西像剛剛的打擊率這可能會好理解更好理解就是那種知諾悖論我知道一個門每次關一半關一半關一半關一半永遠關不完到底是關得起來關不起來知諾悖論我也是印象很深刻

我記得也是高一數學課然後我也不知道為什麼高一數學一直在講悖論但那個時候是用龜兔賽跑對老師就要證明那個兔子永遠追不上烏龜對所以這種悖論其實像那個門關一半關一半關一半因為他甚至可以演然後連小學生都可以去一起參與討論就等於說完全關不起來關起來大家就可以來討論事情然後就引起一些興趣但是我想補充一下我覺得像羅素悖論這樣子其實他雖然很深

但是他依然我相信所有的知识都会有一些深入浅出的方式可以讲到某一些人都听得懂像我记得有个数学家就有提过说如果你不能够把你的

得到的知识跟你出门之后遇到了任何一个平凡的人去讲出来让他听得懂的话那你就不算完全理解所以其实能够讲得很清楚我觉得是应该是要可以做到的那稍微回溯一点点到老师刚刚讲的就是棒球的那些悖论还有生日为什么我们的直觉会这样子运作因为我也觉得人类的直觉应该要

因为这是经验的累积嘛他应该要能跟数学最后是反应一样的答案有些书里面提到说人有两种思考系统系统一跟系统二这样系统一是比较快速的透过经验法则很快就得到一个答案那这个很有用可是其实很多事情它的结构会比较复杂你真的没办法一看就能够看出全貌

那这时候用直觉去想就会错可是你就需要说数学可以一步一步的去把每件事情都拆开然后去做推理所以有一个数学家叫 Jordan Allenberg 他就说过说数学是扩充直觉的手段他就说其实你人都有直觉直觉都很强可是你还是有些事情你必须要靠数学去帮助你把这个直觉扩充起来

而且我覺得說它其實是你擴充完之後你慢慢慢慢你的直覺會越來手臂範圍越來越大可以處理越複雜的一些問題好那再講到就是說這個教學方法上剛剛說要可能就是我們得取捨然後迎合大部分的人覺得這樣子激發興趣我想要問的是不同階段大家

會卡關跟感興趣的會怎麼變化因為你現在在教就在電機系是教大學生那數感實驗室大部分是針對哪個年齡區小學生最多到國中生那我想像是大家的教法應該差很遠差蠻多的那小學真的是要一直生活應用他們才會有興趣嗎其實我覺得反而不一定我覺得

小學生他的想像力最豐富所以有時候純粹是好玩的東西他就會覺得願意去試

他甚至覺得說這個謎題很好玩為什麼這樣解這樣解這樣解然後這個圖形往下面變成什麼圖形他就想去猜猜看他的那個好奇心是非常強烈的但是到了大學的時候到高中的時候其實大家會開始有一點被那個學習給壓迫到就覺得說這個沒有什麼好玩的反正就是要考試啊要會啊之類的這個我有想到一個我小學很愛

很愛做的事情然後也沒有人教我我也不知道我自己怎麼發現但小時候就有一台計算機嘛然後我就很喜歡自己按 111111 然後乘 111111 然後它最後就會變成 12345678987923 然後 然後

小 那麼小的小朋友根本不知道為什麼也不會想說我一定要證明為什麼是這樣子可是就自己發現了然後就覺得很有趣然後就跟同學就跟同學分享說你看這樣子所以這個應該就是一個蠻好的引起他們興趣然後就可以跟他們講說為什麼會這樣那小學階段的小朋友大部分會卡在哪裡

我覺得分數會是多數小朋友一個蠻困擾的地方因為前面都是四則運算都還可以等到分數中比較表示一個數字的時候然後或者是他到底什麼叫分數就有點難開始會有些小朋友會覺得比較困難

來之前有想過一件事情可能跟分數有關就是除以零的那個概念然後真的是已經忘記學校是怎麼說服我們說不要去想這個這個東西不存在或怎麼樣我覺得這又回到我們剛剛說很數學的部分那我自己的認知會覺得說其實分數或除法在小學的時候我們都教小朋友說就是分成幾堆的意思所以你可以說除以三就分成三堆除以十就分成十堆

小朋友這樣可以理解可是接下來下一個問題就是說那如果除以小數會怎樣雖然小學不會教啦可是除以小數或除以一個分數 2 除以 1/3 那要怎麼樣去解釋它就會變得比較複雜一點所以其實我會覺得說數學到後來你其實還是可以解釋可是就是大家有興趣的話可以想想看說 2 除以 1/3 那個到底要怎麼講怎麼會叫做分成 1/3 分這件事情大家可以去思考一下

那所以你会看到有老师专门在教案去讲这件事情他怎么样让小孩的直觉去理解他因为我觉得刚刚博文讲的一个很重要的事情就是说其实我们在教小孩的时候我们会希望他能够懂规则懂所有操作但是我们又希望他能够

用直覺去理解一切事情最後還是要能夠有一個常常是講那種 physical meaning 你要能夠去解釋它你要能夠好好解釋它那這件事情就是會是裡面最困難的一個問題 ok 所以就是比較抽象的東西對對對但是你還是要讓他理解甚至要讓他把不同的觀念把它串在一起像我剛剛提到小學生對於分數可能最困擾那是因為說小學我們把分數猜得非常非常細我們會講真分數假分數代分數最簡分數

大家還記不記得這件事情我現在已經全部不記得了他幾種名字喔 什麼叫真分數跟假分數真分數就是分子會比分母小的假分數就是分子比較大的然後你要把它換成代分數就是那個數字要跑下來然後還有最簡分數然後還有同分母的計算 異分母的計算就是對於大人現在大人在螢幕前聽了可能就說這不是同一件事情可是小學的時候如果

教的时候把它断裂的一层一个一个教那小孩就觉得很痛苦就说我怎么这么多对啊为什么要为什么要教他们加分数跟带分数啊

因為大家會覺得說知識是很細微就是它其實有些細微的差異性所以比較理想應該說我把每一個細節都告訴你喔它有這個這個這個但是最後全部是同一件事情那那個最後全部同一件事情把它收在一起這個動作很重要如果沒有收起來小孩子就開始喜歡說所以數學就是有 ABCDEFG 這麼多東西然後我以後每個題目就 A 題目 A 解法 B 題目 B 解法 C 題目 C 解法

那他这样的话后续去学到国中就会更困扰因为我刚刚在想这个东西像什么除三分之一这种东西好像直觉反应就是成倒数可是现在也讲不出为什么是成倒数所以我刚刚又自己在脑中想一下所以到底为什么是成倒数然后好像勉勉强强会想到一个原因就是说假如说 6 除以 2 等于 3 那你可以理解就是 3 乘以 2 等于 6 所以他一定可以用某一种

就這種掉過來掉過去的方式去解釋為什麼是成一島數但好像沒有很就是直覺或是生活化我也是用背的你其實一種想法會可以講成說二除以三分之一好了就我有兩塊餅然後每塊餅都把它切成三塊那我總共會加幾塊

就是六塊對就二除以三分之一大概這種可以用這種去解釋喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔喔阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿阿

這樣就二除以三分之一就可以去解釋哇好開心喔現在有一種小學生的喜悅我覺得它其實還是一種讓小朋友可以去比較好想像然後會去直覺上願意接受這件事情那接受之後我們就還是要回到這個規則上面去走那國高中呢他們感興趣的跟卡關的地方

我自己的經驗是我覺得在國高中遇到比較根本的可能會是他對於這個知識本身已經有一些抗拒就他不會限定他沒辦法很清楚跟你說我就是哪些數學內容特别不喜歡他就說我是不喜歡數學我可能對於學習數學這件事情本身就是有點排斥的

所以那这种时候我们就会讲一些很最有趣的生活例子也不一定跟他课程有做连接像可能辛普森悖论就会聊一聊芝诺悖论可以聊一聊那可能甚至会讲说全世界最容易被诈骗的星座是天蝎座

就是有調查出來的內政部公布台灣 台灣明星內政部公布台灣就容易被 差別的然後還有還有還有一個是是 base rate 的差別嗎就是因為天蠍座的人本來就比較多嗎欸對你很講欸沒錯開玩笑沒有啦

因為我有自己的星座理論對因為這個我們先講這個東西然後大家就天蠍座然後就說全世界國家領袖最多的也是天蠍座那請問同學為什麼然後他們就開始去猜測啊怎樣怎樣那些的但最後就告訴他們其實是天蠍座的人比較多

對這個就是一個簡單的統計因為大家跨年的時候很喜歡慶祝用某種某些方式慶祝然後那個寒假又很長之類的聖誕節慶祝過年慶祝

而且这个其实是有我记得是有硕士论文在研究这件事情因为他说这个现象在台湾早期的务农社会的时代特别明显因为现在科技时代所以并不会有什么特别人家庆祝的时候但是务农时代就是冬天啊然后休耕啊等等这些事情所以它的季节不同的人口分布是很明显的

其實我 我剛剛有說我自己的星座理論嘛就是我的我的理論就是說可能某一些月份出生的的確有某種個性的傾向但那不是因為他是那個座是因為假設那個軍公教他們就是暑假會休喔

爸媽都是老師的生出來就很多是五六月然後他們可能的某一種個性是一樣因為家庭的教育等等對 蠻有趣的耶沒想過這件事情所以我是相信某個月份可能個性是有一點相似是我自己覺得我小時候數學卡關就是我國小國中都沒有卡關我也沒有抗拒數學但是高中就卡住了

然後高中我覺得會卡住是因為比抽象還要更抽象就開始有一些什麼複數平面虛數啊還有那個什麼啊叫什麼圓錐曲線什麼一個圓然後切超物線雙曲線對對對對然後他的那個座標開始換所以以前這個就是 X 這個就是 X 這個就是 Y 然後後來跟你講極座標對這個叫做什麼 X 平方加 3X 你說喔會

No 我不会了那原本的一之二是哪里这个我就很困难但如果真的静下心来然后分步骤我们要先做这件事情再做这件事情再做这件事情分开来我都会但是一我不知道步骤是什么然后二当那个目标太遥远的时候你就会下意识的觉得这不可能算出来啦我运气比较好我比较没有卡到数学这件事情

但是老實說我在高中學複數平面學虛數的時候我第一開始有點不高興我想說以前不是說更好不能更好能不能有複數有複數嗎怎麼忽然現在又可以挨了那以前到底講那麼多是講什麼就是那時候會覺得有那種不開心那可是就還是學學學然後我也不知道它有什麼用但是我就去學然後背了然後記了理解了去考試都 OK

我自己真的覺得複數有用是到了增到電機系在電機系我們要去處理一些通訊的問題比方說我們要處理電磁波然後我們說電磁波你有時速軸 虛速軸其實用不同的波去把它載把信號載到那個波裡面去

等一下我跟不上再一次好就是到了电机系之后我做的是无线通讯那我们就说无线通讯里面你的信号你可以用某一种波形把你的信号给放进去就传资料你可以用两种不同的波去载这个资料但这样讲就很抽象所以我们就说一个是时步的时步的信号一个是虚步的信号你是用复数平面的概念去载这个信号的然后

然后那个时候是我第一次觉得说哦原来复数可以在这边用哦所以其实它真的是一个 imagining 的一个 number 这个虚的一个东西可是因为我们的科技发展的一个程度的时候我们会需要这样的工具帮助我们把科技给架起来把它做起来所以我后来就更认为说其实

你可以把数学想成是一套很严谨的思考的规则跟逻辑的方法其实当初数学家设计的时候他并不一定会觉得说这个有什么实际的用途可是后来科技在发展之后我们就发现说我们今天需要做通讯的系统我们需要一些工具这个东西可以拿来用可以变成我们的工具很好用或者说另外一个概念是图论图论这个概念当初发明的时候是数学家欧拉他看到一座城里面这座城里面大家

走來走去他一口氣走完七座橋嗯嗯他是一個很經典的故事歐拉就因為要解決這個問題就發展了一個數學觀念叫圖論那當初發展的就是他一定沒什麼用啊他就只是一個走路的一個問題怎麼可能會有什麼用嗯可是現在在非常非常多的這種科技裡面都需要 graph theory 這個東西兩個波對然後時時波跟時數跟敘述對所以他會互相影響到對方嗎

它會有些影響然後真的就是用我們以前那種復塑平面的加減層出去避開就是它其實就是再更進一步講的話它就是其實一個波就用 Sine Wave 用 Cosine Wave 去載然後載完之後就會傳遞可是傳遞之後空氣中會有各式各樣的干擾影響然後這個信號就會在整個復塑平面上開始有些旋轉啊或者其他變化

然後你的手機就把它接回來這樣才能完成通訊了解那因為我最近也是在教我的小朋友剛剛又跟老師講那個故事反正就是在教他說三個蘋果吃掉一個蘋果剩幾個蘋果他就說兩個蘋果然後我說好那一個蘋果吃掉一個蘋果剩幾個蘋果他說零個蘋果然後那天我就想要想要看他會有什麼反應我就故意說那沒有蘋果吃掉一個蘋果剩幾個蘋果他就這樣認一下他說沒有蘋果啊然後我就喔

我就這樣摸他頭說嗯沒錯所以-1 等於 0 但是我自己開始去思考說所以像負數的概念真的存在世界裡面嗎還是他也是就是後面我們有點類似科技到某個程度或是一些本來不存在的概念我們就硬是把它套一個概念像欠債那種然後負數就有一個實際的意義我覺得會是說

負數可能有點複雜我們先講到 0 好了其實 0 這個數字是比較晚出現的 123456789 什麼都有數字你說比-1 還晚出現有沒有比-1 晚我不太確定但它一定比正常

正整數完比一些 比方大家覺得說你擺在這邊一杯水就是一杯兩杯水就兩杯三杯就三杯然後沒有水那就沒有水那就不用數了我們就結束了所以大家一開始不會有零這個概念這等到很後來才有零這個概念出現數學的出現其實某一部分是人類的生活的需求

會出現這件事情然後接著某些思考特別敏銳的人他會基於這件事情發現某些規則然後說那這個數字可以一直往上數可不可以一直往下數呢雖然我在生活中沒看到可是我就很好奇可不可以往下數數到 1 數到 0 那 0 後面是什麼

他可能就開始去思考這件事情然後慢慢我們在數學裡面會有定義出複數這樣的概念那可能開始複數在生活中也沒人用到但後來大家開始說喔 欠錢 喔 複數所以又開始發現說喔 我可以跟生活中去做一些疊合然後慢慢就是你的抽象思考的這些規則會不斷地被一些很厲害的數學家給建構起來然後慢慢的我們的生活啊我們的文明越來越進步的時候他就發現說 欸 他有些用途我會覺得是這兩條線這樣子交錯出來的

我自己很喜歡看網路上就像有一個 YouTube 頻道叫 Number Phil 然後我發現說他觀看次數比較高的一些影片通常講到最後都會有點很哲學的感覺有些人就是喜歡天馬行空那樣子想數學是很常跟哲學有交集的嗎我自己理解就是數學它其實也分非常非常多不同的領域就可能像我們講的幾何跟代數但其實它可能可以細分很多東西

的确应该是有个跟数学哲学或数理哲学这个词可能来确定一下很接近的这个方面的领域那因为我自己就是从应用面出来所以我们就比较常去看说这个可以用在哪里这个东西比较好玩下一个阶段呢大学生大学生是不是因为科系是自己选的他们理论上应该要就是排除掉那些完全没兴趣的人还是实际接触还是有些人很抗拒毫无兴趣我自己觉得

大學究竟是不是真的有興趣的念這個系可能不一定像我自己當年好了我當年念電機系也並不是說我對於那個半導體啊超級有興趣或什麼我親自都不知道這件事情大概就是考到念到這種感覺對然後

我相信現在這樣的比例的學生可能會少一定比我們那年代再更少一些但是有沒有到全部都是說對某個領域充滿熱情我覺得不一定我覺得大學生學習動機至少以我們現在來說還是比較強一點點因為畢竟這件事情是就是工程以我講 我教工程數學工程數學就會是後面的很多的應用的基礎那你如果想要當一個好的 engineer 的話那你這件事是基礎是一定要會的了解所以我覺得大學生的學習動機因為他比較看得到真的會幹嘛用

所以會有一個很基本的學習動機在那邊但是國中生他常常就會問你說我幹嘛學開根號我開根號一點用都沒有生活中還有開根號就你講給我聽聽這樣子每個數學老師都會被被拷問的一個問題

真的很难想耶尤其是现在出社会之后我真的还蛮难想到开根号哪里用得到耶有一个很简单的例子就是我们后来这个老师们之间讨论这个例子是 A4 纸一张 A4 纸的长边跟短边的比是根号 2 比 1

然後呢然後這樣子這樣子是很重要因為為什麼它是根號 2 比它為什麼不是根號 3 比 1 或者是 1.5 比 1 它是根號 2 比 1 是個很精準的比例喔我記得這也不是那個黃金比例啊不是它不是黃金比例它當初設計的也是一個數學家他想要找到一張紙是我可以不斷地對折都維持固定比例的

的一张纸真的假的这张纸可以让我的图像去等比例的放大缩小因为你在物理世界里面你不能像电脑用拉的所以你好做法就是对折那我对折都要维持固定比例这件事情是重要的

我從來沒有想過 A4 紙這麼偉大 沒錯沒錯喔 好猛喔我同時又可以想像一個國中生說哇 那拍拍手那東西他找到了那除了這個之外你再講一個喔 那大學生假如說在課堂上表現不好的通常又是因為什麼假如說大家都已經知道很重要這跟我將來的好生活就是我的生活有關我覺得講趣味數學都很有趣可是正在精熟一個數學知識的話你

还是需要蛮用力去思考这些东西的然后蛮用力去学习去理解然后做一些题目等等的这些过程是必要的那这些过程就算我们知道说它可能是有用的可是过程还是会有些人觉得啊就是好累哦就不一定那么提得起性子去做这件事情假设说我们现在的社会有很多人就是很怕数学

嗯嗯这个现象有在变好吗从我们小时候到现在有研究调查调查全台湾的学生对于数学的兴趣跟信心一直以来至少这几年来这个可能八年以来吧就是全台湾的孩子四年级大概就有 40%以上的孩子不喜欢数学哦然后 40%以上的孩子对数学没有信心诶四年级而已哦小学四年级对但跟我的我会猜的是不太一样的嗯

因为感觉台湾的数学在全球还是很强的所以我以为会是倒过来因为研究其实也显示台湾的孩子的数学程度大概是全世界第二名或第三名可是兴趣跟信心就是超过四成然后这个比例是世界 OECD 平均大概是两成左右就高两倍哦

那我可以推論還是不要這樣亂猜就是因為高競爭就是有些 high performer 造成其他人壓力超大然後其他人說算了啦反正我再怎麼努力都他們都這樣啊他就三歲就在那邊那個四位數乘四位數我要怎麼跟他比我覺得具體的這個因素可能需要一些學術研究然後

而且我相信是蛮复杂的有好几好些因素像你说的竞争很强竞争强度非常高是一个原因然后我们的学生程度很好同时我们教的进度也蛮多的所以学习压力大也是一个原因家长的期待然后台湾的考试制度里面数学是一个很标准的考科所以

就其他科目可能不见得会差那么多但数学一颗网就把那个差距拉拉得很开所以这个考科对他的压力也是一件事情还有一个我觉得蛮特别就是很多人会认为数学跟天赋有关所以数学一学不好的时候那个压力就很大所以我是不够聪明吗

所以你常常看到那種班級上會有那種有些同學他就是其他科都考不好國文什麼都沒有很好可是數學很好老師就會說你那麼聰明你其他科再念一念你就考得更好了然後如果說數學考得比較沒有那麼好的其他科考得很好老師就會說你很認真就有這樣的評語是出現但其實並不一定是這樣子我們看那些研究是反過來天賦論其實反而會壓迫到學生的學習

他会有压力他会觉得说我还做一些我不擅长的事情然后这个刻板印象反而会导致他的学习会变得要比别人费更多力气的能学得好我刚才想因为我自己的人生也有遇过类似的情形就是都是发生在高中的时候我

呃 高二原本是選三類 然後高三轉一類然後後來考上一個一類的科系 可是後來又雙回一個三類的科系然後研究所就念三類那為什麼會有這樣的轉變 就是呃我自己的講法 高中的時候我就會說因為我對人文的東西很有興趣我專注不是因為我數學不好 是因為我對這個有興趣可是其他人就會一直說一類狗 一類狗

你數學就是那麼爛然後我就會就不太開心那後來我覺得雙回三壘有一點點也是為了要證明說我就是我就是可以離開數學兩年然後我還雙回去然後我還拿數學獎怎麼樣我不是數學不好但總是為了要證明一些什麼

包含到大學的時候就是那種文族離族鄉親的整個社會氛圍所以我剛剛已經我剛剛在想說到底為什麼文族離族就是為什麼占文離族在台灣會是那麼

火熱的一件事情然後是不是跟大家的那個就業結構有關啊就是那個我們科技產業很發達所以然後薪水也很高所以才會特別重視數學然後有哪些國家不是以這些為導向然後他們就比較沒那麼瞧不起文組的人一點點會不會整個倒過來然後就一路推大家就不那麼拍視數學嗯嗯嗯

我倒是沒有想過站文理組的背後跟就業這件事情有沒有關聯但是我覺得我自己也還蠻因為我自己是一手理工科系我自己可能還好對於站文理組這件事情

我们在看数学的时候就其实我自己开始从电机系然后做数学然后做数学的时候我其实最有兴趣的反而是数学家的故事就是我觉得说数学家的一些人文的故事比方说刚刚讲那个欧拉为什么会发现奇巧问题然后甚至他在发现奇巧问题的时候他还先去

就是有人问他说我们哥尼斯堡市的人在散步然后他们无法一次走完七座桥这件事情数学家怎么看然后欧拉反而回信跟他说这不是数学问题这个是一群人在散步的问题那你拿不是数学问题的问题去问数学家又希望他能够回答你那这个不是有点不合逻辑吗就开始在这边聊这件事情然后可是后面说但我还是想出来了我也很好奇数学家怎么会特别容易想出来这件事情

然后就把它解释出来好有趣啊这没有我只是觉得那当初提出来那个人也很猛因为他的直觉就发现这四个数学问题对对对所以其实就是我觉得然后我还有去看比方说像高斯的故事啊或者是笛卡儿的故事啊然后等等的一些

数学的演变的故事等等我觉得都非常有趣而我反而会觉得说这会不会是因为我们在以前教育的时候太过强调每一个科目的知识性本身的知识性数学就是计算计算计算计算

这个语文科系就怎样怎样的学习但其实它应该可以更被好好的整合因为你把它分得很明确最初开始大家就会这种占文历我是哪一派哪一派的这种感觉但其实我觉得数学里面有非常非常多的人文中文院的李国威老师就提过说他有写本书他有出本书他叫数学的文化就其他人认为说数学不仅是一个知识它是人类从最古早的时候开始就有的一系列的

伴隨著我們生活文明演進所以它其實是個文化哇 這個很酷欸對對對如果它是個文化它應該就是人類史上最悠久的文化對對對對對喔 這個很有趣欸那如果講到文化這一點的話我就很想要問說數學它的根本

是哪些能力嗯好比说是什么逻辑啊然后因为像刚刚图像的东西原本不觉得数是数学然后后来又觉得哦这是数学我觉得它应该是因为它的需要用到的根本能力是一样的我觉得我们现在会说数学是一个研究规律或辨识规律的一个学问嗯就是那个规律它不一定是数字的规律成长规律也可能是图像的规律但我会觉得就是数学的

能力的關鍵應該說你能夠如何去定義好問題之後從很多很複雜的表象裡面去萃取出真正關鍵的元素然後把它抽象化抽象化之後你可以把它形成一個用數學語言可以表達的一個問題然後再去解決這個問題那其實當你表達成數學問題之後後面東西你現在都可以用科技去用程式甚至用 AI 都可以把它處理掉但是如何從一個抽象現實生活中的問題

去辨识然后把它数学化这个过程数学建模是我自己觉得

以應用數學來說最重要的一個能力對啊 我也覺得很難因為我最近剛好在看一個影集魔鬼的計謀 老師有看嗎魔鬼的計謀第二季 對 剛上我昨天剛看十分鐘 然後就要去紅小孩睡覺他們這一季有一個謎題然後我還 因為還沒有播完嘛 現在只有四集不過大家都在猜想 跟上一季一樣是會用在最後一關的那它是那個

叫做骑士迷走还是怎么样就是西洋骑的那个骑士的走法有那个哦对这个你已经知道反正骑士的走法就是没有没有只讲规则应该没有到爆雷程度我觉得啦我刚刚我应该大家可以一起来想就是骑士的走法就是前进两格然后可以往左或右各一格嘛所以他就会一直有一个八角

這樣子在移動那他們要做的事情就是把歧視放在一張紙上然後他有五乘五六乘六七乘七的方格然後要想辦法不重複的把走完那個棋盤走完這是一個標準的一個很經典的數學問題沒錯就是我一看我就說這個我好想解這絕對可以用某個方式數學表達出來可是我就想

要怎麼表達然後就卡在那邊通常以前那個學生時期遇到這種就是我知道他可以表達但是我覺得我要想出那套表達很困難的時候就會就會直覺說來不及了突發煉鋼試試看對

因為以前考試時間壓力之下就是啊這個突發練剛最快嗯但但對所以我剛剛聽到說這個把一個很明顯的圖案的規則表示成數學嗯我剛好最近生活就遇到這個

但我覺得剛剛講的很有趣就是說其實我覺得大家也不用把他講說所以要會表達然後要很有系統想去數學家就是很多時候做事情是一步到位很厲害但其實我自己我自己的經驗是有時候一開始大家就嘗試錯誤就是試試試試這樣試一次那樣試一次試各式各樣方法之後然後最後再歸納出一些所以我可能可以整理出一個經驗法則或怎樣怎樣去表示

嗯啊这法则能不能 cover 到所有的问题好像可以那就会有你看我刚刚说的把它表现出来的结果嗯所以初步都还是除非那有某些很强的数学家我觉得他们还是可能一步就一眼就看到说啊这是什么规则嗯但至少像我自己以前做研究的时候我们都还是很多都尝试错误

就這種 heuristic 的方法去做好那這邊就有那個防雷一下因為我還是想講如果要剪掉就隨便好總之就是參賽者他們開始土法練鋼然後一直跳跳跳跳然後就發現說

5x5 跟 7x7 比較好完成而且那個碼的跳法比較有跡可循就是你什麼時候要轉彎什麼時候但是 6x6 他們覺得是完全沒有規則要預備 無解對 可是我那時候一看到就說那就代表他的規則一定就是他的那個偶數一定跟他的那個兒子有關 一定有關可是我還是想不到走碼不及正式行我們可以先不用講他最後到底長什麼樣子

但是我自己的经验就是我在尝试错误之后然后最后有个方法的时候我会做一件事情去检验我的方法是不是对的就是如果这个方法很漂亮

然後他走出來步數就是會形成一個很漂亮的幾何圖案封閉然後對稱等等我就覺得啊這就是答案了就他一定要是一個很多時候啦這個答案應該是漂亮的答案因為我們會相信說很多事情背後停留著規律那數學最後就是能夠把那規律給回答出來回到那個文化的內心就假如說一個社會大家每個人都很抗拒數學然後不發展一些核心能力的話

可能会有什么样的问题他可能可以分两个部分来讲就是说我们都会同意数学是个重要的东西因为刚刚讲数学是延伸你直觉的

的一个能力扩充你直觉能力如果你的思考能力能够更完备更全面的话你其实越运用数学越能够把你的科技文明给堆叠起来就现在这个社会其实你的所有的科技背后全部都数学虽然不一定人工智慧能够解释可是人工智慧的基本的原理也是演算法跟数学可以建构出来的

所以数学是个建构科技文明的基础你如果不去做这件事情的话那它应该会有个直接的影响再来就回到说我觉得社会对于数学学习的氛围

不喜歡我覺得對於教育是會有影響的就對於教育大家覺得說那數學就是一個考試的工具以台灣來說那就是數學是個考試工具然後並沒有去很珍惜他的這個知識的價值那會讓很多孩子在學習的時候很痛苦也有很多人就顯示你如果越沒有興趣去學這個東西的話你的好奇心沒有被點燃的情況下你去學這個知識你是痛苦的

然后你的学习效率是低落的当你学习效率低落的时候你就得更花更多时间学习做重复的事情更多次你就会更痛苦然后就进入一个恶性循环里面但是以实务面来说你还是得把它学好因为考试就是会考它就是一个竞争的一个指标之一所以我觉得

不喜欢学习这些不喜欢数学这件事情对现在正在学习的学生来说它是一个不好的一件事情甚至可以说不好的一个源头你如果能让大家知道说其实数学是有趣的然后遇到挫折的时候不会很快就归因于说所以我就是比较笨我就天赋比较不足而是会认为说这东西我不会但不代表我永远不会反而它是我一个

學習的起點如果我可以從這邊開始去突破懂了這東西之後我就再多學會一個數學知識用這種比較正面的態度去看待的話

那我覺得學習效率會比較好然後也許比較快樂甚至會比較願意去主動探索說那這些知識可以在哪些地方做哪些應用我自己我感覺也是小時候是蠻喜歡數學蠻有好奇心的一個但後來就被那個高中數學教育消磨殆盡然後同時也會覺得嗯我是不是說不定就是數學沒有天賦這樣但後來反而實際上在工作裡面

很多東西都是數學啊就尤其是我們那個新媒體然後假設你真的很想要知道每一集的觀看跟你的就是你操弄了哪些事情有出現什麼效果排除某些變異那全部都是數學沒錯沒錯然後反正在工作上面又蠻喜歡去挖一些數字來玩所以

应该是兴趣又被提出来了所以我也是蛮推荐大家可以找生活中你可以去证明然后可以得到成就感的东西来找回对数学的那个兴趣是那其实我觉得就是一个很好的例子就是讲我们讲到说数学是直觉的衍生因为你原本可能做一些测试或实验的时候可能直觉会想但看了数据应该会有不同的想法

那這更是數學幫助你或數據幫助你去強化你直覺思考然後另外一個我想起來就是天賦這件事情我覺得所有人啊如果你對於你的數學天賦感到質疑感到懷疑或者你在國中小就放棄數學的人

现在可以给自己这个两小时的时间去下载一份的国三会考数学考卷下载下来做做看然后你会发现说其实你现在题目都会你当年不会不代表真的不会我就可以做做看我觉得大家可以做做看我们根据我们经验多数的成人其实回到去看国中的数学题目的时候除非那种真的

很定義的問題很考數學技巧的那種題目你可能還是不太會因為那個是需要練習的但是現在很多那種邏輯的題目你去做你會發現說你其實都做得會你憑著你大人強大的邏輯經驗去做這些題目的時候你是可以做出來那就知道說你沒有數學天賦你最終還是會啦只是你在國中那個階段的時候因為某些學習的壓力等等的一些事情或者是那時候沒有掌握到好學習方法所以放棄了這個學科

好那今天非常非常感謝沒有沒有老師來跟我們分享這麼多數學相信大家聽了一定是聽得津津有味吧回到數學的擁抱那這一集播音都錄到這邊別鬆一秒點我們下集再見拜拜