Deep Dive
Shownotes Transcript
WNYC工作室由Zuckerman Spader支持。Zuckerman Spader在处理高风险法律事务近五十年后，在全国范围内被公认为首屈一指的诉讼和调查公司。他们的律师经常代表个人、组织和律师事务所处理商业纠纷、政府和内部调查以及审判。当您选择的律师至关重要时。
在线访问zuckerman.com。Radiolab由Apple Card支持。使用Apple Card重启您的信用卡。当您通过Apple Card开设储蓄账户时，您可以获得高达3%的每日现金返还，年百分比收益率 (APY) 为4.40%。
在iPhone上的Wallet应用程序中申请Apple Card。需经信用审核批准。储蓄服务适用于Apple Card持卡人。需符合条件。储蓄和Apple Card由美国盐湖城分行高盛银行提供。美国联邦存款保险公司成员。条款及更多信息请访问applecard.com。Radiolab由Progressive支持。你们大多数人现在不仅仅是在收听。你们在开车、锻炼、清洁。
如果您改用Progressive，还可以省钱怎么办？改用Progressive省钱的司机平均节省近750美元，汽车客户平均可获得七项折扣。现在就开始多任务处理。今天就在Progressive.com上报价，Progressive意外险公司及其关联公司。2022年6月至2023年5月期间，接受调查的新客户在Progressive省钱的全国平均12个月节省金额为744美元。
潜在节省金额会有所不同。并非所有州和情况都提供折扣。
详情请见Mint Mobile。
但这是什么，比利？是什么阻止了你？我不知道。我只是无法承诺。一想到要定期捐款，你是否会感到汗流浃背，当你考虑迈出成为每月捐款人的一大步时，是否会颤抖却冻结在恐惧中？好吧……
不用再担心了。因为从今天到12月31日，在Radiolab，您可以对您最喜欢的公共广播节目进行一次性捐款。当我在网上，某个地方让我订阅时，我总是先进行免费试用，因为超过七天感觉太多了。没关系。我总觉得我被要求维持一些事情。维持这个。维持那个。而我做不到。我做不到。没问题。在Radiolab，
您的一次性、非定期捐款将帮助我们继续进行您非常喜爱的工作。所以，我去哈萨克斯坦了。例如，在海外报道谁拥有知识产权。或者数千只小螃蟹。关于……其他发人深省的故事。我们想谈谈乌克兰战争。我们需要让人们更害怕气候变化吗？关于黑洞。或者我们需要让人们对气候变化更有希望吗？实际上撞击地球。没错。
您无需附加条件、不承诺的捐赠将使我们能够继续将此类工作延续到新年及以后。当然，您可能已经在向该节目捐款，加入数千名已经捐款和会员的行列，帮助我们度过经济低迷和逆风，就像我们现在正在经历的那样。
但您没有。不，您就坐在那里，现在正在收听这个节目，毫不关心，消费免费内容，随意享用。一切都是为了您，为了您而消费。咕咕，咕咕。咕咕，咕咕，咕咕，你这只小火鸡。咕咕，咕咕，咕咕。
来吧，加入乐趣。
那是来自我们天才的、疯狂的、略微患有承诺恐惧症的制作人Matt Kilty。我是Lou Miller。这是Radiolab。为了让您想起我们有时在这里会做的一些有趣的事情，我想播放我最喜欢的剧集之一。它叫做《数字》，这是一次穿越各种数字的过山车之旅。这些东西，你知道，有时看起来有点冷冰冰的。但在Radiolab的精心呵护下……
展现出真正的温暖。因此，不用多说，我们的剧集数字。享受旅程。再说一次，如果它让你发笑，让你感到温暖，并且你想支持我们所做的工作，如果你想往我们这象征性的箱子里扔几个硬币，你可以在Radiolab.org/donate上这样做。感谢您想到我们。我们开始了。等等，你在听吗？好的。好的。好的。好的。
您正在收听来自WNYC的Radiolab。倒带。查德？是的？听听这个，只有一秒钟。他们正在我的牢房外搭建绞刑架。我还有25分钟。
那是约翰尼·卡什吗？是的，是约翰尼·卡什，他正在唱一首关于数学在您生活中深远意义的歌。我还有24分钟。他们给了我一些豆子作为我的最后一餐。这里没有数学。你在说什么？不，这里有很多数学，因为你看，他正在走向他的灭亡，看来是这样，但他非常小心地进行校准。我还有22分钟。
好吧，我派人去找州长和所有那帮人，还有21分钟。
我派人去找市长，但他出去吃午饭了。我还有20分钟。哦，我的上帝，我们要一直走到1吗？我觉得我已经听了这首歌三个小时了。这些数字让人头疼。如果我是他，我会放弃这些数字。你会放弃这些数字？是的。你不能放弃这些数字。你不能放弃这些数字，因为数字会在你的生活中创造秩序。我可以放弃这些数字。我可以完全不用它们就能活下去，嗯，我的一生。
这完全是荒谬的。很容易。试试看。试试看。让我问你一个很简单的问题。你去买一些M&M巧克力豆，你手里有5美元的钞票，你把它交给卖方，卖方把M&M巧克力豆还给你……
什么？不需要数字。我把钞票给他，他给我一些零钱。我只是凭信任。你凭信任。是的。他问你几岁了。你怎么说？我说我中年了。听着。你听到了吗？假设你约会迟到了之类的事情。是的？所以你打电话说，我会迟三分钟，五分钟，十分钟。我通常在离开前才会接电话。是的。
我知道。你知道这是真的。我知道这是真的。所以是的，不要吃它们。不要吃它们。你是一个测试。你在学校参加考试。你得了98分。你得了52分。你不在乎？及格，不及格。杰德，你的车里还有多少汽油？我等到指示灯亮起来。你等到指示灯亮起来。假设你想打电话给我。而你记不起我的电话号码。两个字。速度拨号。多少个字？
哦，糟糕！你看你必须用数字！就是这样结束的吗？
这是一个很棒的结局。一个完全得益于对数字的严格使用的结局。是的。这将是我们的主题。数字对我们做了什么，为我们做了什么？或者没有为我们做什么。我们有什么？我们有……我们将有一个侦探故事，一个爱情故事，一些纳粹，以及大量的数字。我是查德·阿布姆拉德。我是罗伯特·克罗尔维奇。这是Radiolab。请继续收听。
查德，你想介绍这个人吗？这是小埃米尔。你好，埃米尔。他现在几岁了？他现在饿了。他大约30岁。卡拉，他几岁了？36岁？在录制这段录音时，他36天大。好吧，我的意思是，你一定想知道，你认为他是否对……
或数量或任何东西有任何感觉。你的意思是？他会数数吗？我不是问他是否会数数，但你认为他是否有一种，我不知道，数字感？我认为他有一种数字感吗？不。不，我认为他不知道那是他正在咀嚼的手。所以我认为里面没有任何数字。事实上，我很确定没有。好吧，
实际上……露露，你应该向埃米尔介绍一下自己。你好，埃米尔。埃米尔，这是我们的制作人露露·米勒。顺便说一句，杰德，在你休陪产假期间，我们派露露去执行一个小任务，询问数字感从何而来，以及它在一个人身上出现得有多快？哦，不妙。
你好？所以这是我第一个交谈的人。他的名字是斯坦尼斯拉斯·达恩。是的，我在说话。他是谁？他是巴黎的一位神经科学家。所以我们已经花了几分钟时间来复习我的英语。目前，他就像这项研究的教父。真的吗？他写了一整本书，叫做《数字感》，这本书讲述了婴儿理解什么。嗯，是的。他说，长期以来，人们认为婴儿来到这个世界时是空空如也的。
皮亚杰和许多其他思想家认为，人们称之为“白板”。只有教了他们数字，他们才能学习数字。是的，这就是我的想法。但现在我们知道这完全错了。他们是怎么知道的？好吧，实验。大量的婴儿实验。我们拥有的设备是一套小海绵，其中包含一个非常小的电极，您可以将其放置在婴儿的头上。这是一个小网。
这些婴儿多大？在这种情况下，是两三个月的婴儿。所以他把婴儿放在……格噜！
电脑屏幕前，屏幕上是一堆小图片。例如，小鸭子。总是一组八个相同的物体。所以你做八只鸭子，八只鸭子，八只鸭子，八只鸭子，八只鸭子。他看到的是，起初婴儿的大脑对看到鸭子有点兴奋，然后慢慢地神经元放电就逐渐消失了。另外八只鸭子，另外八只鸭子。然后在某个时刻，突然……他把它改成了……八辆卡车……
他看到大脑活动激增。在我们所说的颞叶中。这意味着婴儿可以注意到这种变化。是的，但这并不是数字。不，不，不，我知道。他才刚刚开始。因为斯坦再次运行整个过程，从一开始就一样。八只鸭子，八只鸭子，八只鸭子，八只鸭子。但是，他没有改成卡车，而是改变了数量。八只鸭子，八只鸭子，十六只鸭子。
再一次，婴儿注意到了变化。但现在，它在大脑的不同部位。我们所说的顶叶。所以，根据斯坦的说法，建议是他们注意到这是一种不同类型的变化。从某种意义上说，他们注意到这是数量的变化。这非常重要，因为它意味着即使在新生儿中，他们的头脑和大脑中也存在对数字的直觉。
他确定他们看到的是数字，还是仅仅看到模式的变化？一些，一些，一些，更多。是的。好吧，当然。他们擅长的是做出这些粗略的区分，比如8对16。或者说10和20。你知道，随着数字差异越来越小，他们就不那么擅长了。没有哪个婴儿会知道9和10的区别。这些数字太接近了。但这并不像你想象的那么简单。
根据斯坦的说法，他们实际体验数量的方式不仅仅是我们成年人所做事情的简化版本。这与成年人所做的事情完全不同。他们似乎关心的是数字的对数。
什么？数字的对数。他的意思是对数。是的。对不起，我的英语越来越差了。不，对数。我不知道这是否会吓到收听这个节目的听众。这有点吓到我了，但这实际上并没有那么糟糕。你可以用比率来考虑它。首先想想你。意思是？我们，我们如何看待数字。好的。想象一下你脑海中1和2之间的距离。好的。那是什么？
一。对。现在想象一下8和9之间的距离。一，也是。它们感觉彼此之间的距离相同。是的。但那是因为我们把数字看作这些离散的有序块。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。但是，如果你要对数地考虑它……就像婴儿一样。1到2之间的距离是巨大的！这是一个广阔的空间。
8到9之间的距离？哦，很小。为什么？好吧，因为1到2是翻倍的。但8到9……比率接近1，只有1点多一点。嗯。
现在，这里有一个关于这个事情的令人毛骨悚然的事情。你可能会认为，最终随着我们长大，我们会自然地从对数思维转变为我们现在都知道的数字。嗯哼。但事实并非如此。根据斯坦的说法，如果你听之任之，你永远也不会改变。你的意思是？你会永远停留在这个对数世界中。
所以我们在亚马逊做了一个非常有趣的实验，对象是亚马逊的那些不会计数的人。基本上，在他们的文化中，他们没有超过五的数词，他们也不会背诵这些数字。所以我们发现，即使是成年人，这些人仍然以对数的方式思考数字。
这意味着，如果你给他们一条线，在左边放一个物体，在右边放九个物体。你明白了？嗯哼。他问他们，哪个数字正好在1和9之间？好的。所以你会说……5。没错，但是……他们放在中间的是3。好的。
等等，帮我一下。对数的性质是，每次你乘以一个数字，你都会移动一个恒定的位移。好的，所以这有点棘手，但要点是，如果你在考虑比率，并且你从1开始，那么你乘以3得到3，然后，嘿，嘿，你再次乘以3得到9。我明白了，我明白了。
所以这些是在两侧的相等跳跃。3之于1，如同9之于3。
明白了吗？是的，这是一种如此复杂思考问题的方式。是的，对我们来说，但对他们来说不是。这感觉直觉上就像中间一样简单。数十人毫不犹豫地做了这件事。我的意思是，这个实验让我不寒而栗。这些是我们所有人，为了更好地表达，自然而然地感受到的数字。至少多年来我一直这样理论上声称。嗯。
而且我不太知道该如何表达这个问题，但是否有一些，这几乎就像我们用1、2、3、4、5、6、7之间相等距离来思考数字的方式是错误的吗？
你知道，我不会走得太远。但后来我和苏珊·凯里谈过话。我是哈佛大学的心理学教授。她说，我们今天所认为的数字肯定是编造出来的。这些是人类的构造。甚至与我们直觉上感受到的数字有点矛盾。没错，它们是。所以这就是问题所在。那么我们如何才能理解我们现在所知道的数字呢？这是一个价值64,000美元的问题。她说这是逐渐发生的。好的，不要碰麦克风。再见。
几年时间。你会数数吗？是的。让我们看看。再做一个快速的介绍。那是……米娜。你可能还记得她在《笑声秀》中的表现。是的，你以前见过米娜。我。
还有她的母亲，制作人阿曼达·阿隆奇克。她一周后就两岁了。是的，这是她的生日。我们今天打电话给他们是因为一个实验。苏珊告诉我的一系列非常简单的任务。如果你家里有一个两岁的孩子，你可以做这些任务。所以我们要玩一个游戏，好吗？所以你把一堆便士放在桌子上。我要给你一些便士，好吗？等一下。让妈妈帮你去拿。
你对孩子说，你能给我一个便士吗？我能有一个便士吗？
孩子非常小心地拿起一个递给你。没错，这是一个便士。谢谢你。两岁大的孩子，几乎所有孩子都能做到这一点。然后你要求两个便士。现在，我能有两个便士吗？不。不？请，我能有两个吗？你要求什么都没关系。他们只是拿起一把递给你。如果你有超过两个便士，你就有1、2、3、4。所以他们给了你四个便士，你说，那是两个吗？他们说，是的。
对吧？然后你说，你能数数你有多少便士吗？或者你能数数并确保吗？有多少便士？两个。
所以他们数1、2、3、4，你说，那是两个吗？他们说是的。有时他们会数数。有多少便士？1、2、2、2。所以这就像他们不知何故知道他们所有其他词语在意义上都与“一”形成对比。也就是说，他们给你一个数字，他们给你一个大于一的数字，但他们根本不知道。
什么是二，什么是三，什么是四，什么是五。他们不知道“二”是什么意思有九个月的时间。他们在这个阶段待了几个月，然后他们变成了“三知者”，然后他们变成了“四知者”。这个过程需要一年半的时间。换句话说，尽管听起来妮娜像我们一样理解数字，但她可能仍然生活在那个婴儿人的国度里。一，二，
但确实有一个时刻，他们最终会离开。当孩子大约三岁半的时候，这种情况就会发生。我认为他们所做的，这是推测性的，但是……在他们周围的人说了多年之后……数数。你能数数你有多少便士吗？这是父母经常做的事情。一，二……他们和孩子们一起练习数数。你能数数你有多少便士吗？
一，二，三，四，五，六。你能数四，五吗？七，八，九。最后一个是十。一，二，三，四，五，六。即使孩子对这些数字感到困惑，他们也不知道五、六、七是什么意思。四，五，六，七，九。最后一个是十。
在足够的压力之后，某个时候，数数，数数，他们只是数数。举起手来，数数，数数，相信这首歌。孩子们必须做出一个非常大胆的飞跃。所以现在五对孩子的意义是比四多一。六的意义是比五多一。
现在你有了整数。我们都依赖于这首歌。是的，一，二，三。我们只是有一天决定，好吧，这意味着什么。没错。所以这是一个技巧。她这是什么意思？技巧。听起来几乎像一个脏话。好吧，她没有把它当作脏话来用。她说这是一个很棒的技巧。关键是，一旦你掌握了这个技巧，
你就可以在此基础上构建。这为你打开了整个数学世界的大门，我们可以建造建筑物并将火箭发射到太空。没有其他动物发明过这个技巧。但我禁不住觉得，这件事有点悲伤。为什么？好吧，仅仅是因为为了进入这个数字世界，我们都必须留下一些东西。你与生俱来的东西。是的。但是，不，看看你在另一边得到了什么，尽管如此。你得到……
你可以玩，如果你喜欢数学，你可以玩一些非常有趣、非常抽象和美丽的思想。是的，是的，这很好。那么，当有人擅长空中飞人表演时，你会感到悲伤吗？不，这只是他们擅长的事情，他们练习它，他们学习它。就像不同的天赋一样，仅此而已。但是罗伯特，我认为我知道露露在说什么。我的意思是，知道我们每天使用的数字是编造出来的，这在某种程度上令人耳目一新。是的。
因为有时至少对我来说，数字感觉像是这些难以捉摸、繁琐、陌生的东西，感觉不真实。它们实际上感觉与真实相反。但是你确定真实不只是不熟悉或有点奇怪吗？陌生，是的，当然。因为在你能够走路之前，当你只是一个爬行者时，你知道，蹒跚而行有点不寻常。然后蹒跚而行变成了一种冒险，然后这变得有点平常，然后你学会了走路。是的，但最终你会走路。但是数字有一些让我感觉像……
就我个人而言，我从未学会走路。我认为现在有很多听众可能对数字也有这种感觉。所以也许我们只是对数人。来吧。露露？是的？非常感谢你的课。露露，坚持你对整数的反对。是的。我们马上回来。
Radio Lab由Apple Card支持。使用Apple Card重启您的信用卡。当您通过Apple Card开设储蓄账户时，您可以获得高达3%的每日现金返还，年百分比收益率 (APY) 为4.40%。
在iPhone上的Wallet应用程序中申请Apple Card。需经信用审核批准。储蓄服务适用于Apple Card持卡人。需符合条件。储蓄和Apple Card由美国盐湖城分行高盛银行提供。美国联邦存款保险公司成员。条款及更多信息请访问applecard.com。WNYC工作室由Zuckerman Spader支持。Zuckerman Spader在处理高风险法律事务近五十年后，在全国范围内被公认为首屈一指的诉讼和调查公司。
他们的律师经常代表个人、组织和律师事务所处理商业纠纷、政府和内部调查以及审判。当您选择的律师至关重要时。在线访问zuckerman.com。
♪♪
你好，我是贾德·阿布姆拉德。我是罗伯特·克雷尔维奇。这是Radiolab。我们仍在讨论数字。现在我们要切换了，尽管这可能会让一些人感到疲惫。如果你以不同的方式思考它们，如果你学会拥抱它们，给它们一点拥抱，就会发生美好的事情。我要向你介绍一个……
好吧，一个名叫马克·内格林的好奇心很强的人。我是新泽西学院商学院的副教授。有一个非常浓重的纽约口音。但他真正喜欢做的事情。那是什么样的口音？那是一种……我最初在南非开普敦长大。南非的，是的。他喜欢扮演侦探，他寻找的线索是数字。我无法走过一个数字而不去思考它。
这个数字包含了什么？它是如何到达那里的？例如，在我完成加油站加油后，有时我会四处走动，看看加油泵上的美元金额。所以他偷偷看了一下隔壁的加油泵。这相当惊人。你几乎可以分辨出之前是谁在那里。如果你看到一个像1.40美元这样的数字，那么你就知道，哦，一个没钱的青少年。为什么？等等，解释一下。因为那是孩子所能负担的全部。完全正确。所以。
有时我会看到10.04美元，我会说，啊，你是想付10美元，但你今天有点慢。所以你会去加油泵，它们会告诉你所有的小故事。是的。他最喜欢的数字故事实际上始于1938年。所以想象一下纽约州斯克内克塔迪的一间办公室，在通用电气研究实验室。
在那间办公室里，有一个人坐在他的办公桌旁。弗兰克·本福德先生。弗兰克·本福德先生是一位物理学家，所以他正在进行一些复杂的计算，并且他弯腰看着一本书。
实际上，可能是你能想象到的最无聊的书之一。这是一本对数表。什么是对数表？所以，对数表是上世纪初进行乘法的一种非常方便的方法。所以，记住，这是在计算器出现之前。所以，如果你想将145乘以3564，你可以查阅这本书。
所以它从你可能想要乘以的数字开始。第一页是1到100，然后是101、102，一直到200和300。这本书的后面是像900一样。你越往后翻，你用来乘法的数字就越高。没错。所以我们的本福德先生坐在那里进行计算，他正在查找数字。
翻阅这本书。他盯着这些页面……他注意到一些奇怪的事情。他注意到前几页比后几页磨损得更多。意思是更模糊、更暗、更油腻，好像他使用这本书的前部比后几页更多。他想知道，为什么会这样？奇怪。我不知道自己偏爱书的某一部分。我做的事情有点奇怪吗？或者也许是更大的事情。
就在那时，他突然想到，在这个世界上，首位数字较低的数字可能比首位数字较高的数字多。什么？以1或2开头的数字
比以7、8或9开头的数字多。仅仅因为他书中的数字多吗？好吧，这就是他开始思考的原因，所以他做了以下事情。他汇编了几万个统计数据。那是康奈尔大学的数学家史蒂夫·斯特罗加茨。任何他能想到的数字统计数据。不同化学物质的分子量、棒球统计数据、人口普查数据。美国主要证券交易所上市的所有公司的收入，以及每一个
在他查看的所有这些不同类别中，似乎确实有更多数字以1和2开头，而不是以8和9开头。等等，真的吗？哦，是的。这已经被反复检查过，而且是真的。河流的大小。地震之类的事件。战争中的人口或死亡人数。县的面积。河流流量数据。如果你说，把所有纽约人聚集在一起，看看他们的银行账户。银行。
银行账户余额几乎完美地遵循本福特定律。这意味着，如果你只看看人们拥有的钱数，事实上，在所有银行账户中，你会发现以1开头的数字比以2开头的数字多？是的，完全正确。所以实际上，它们有30.1%的概率以1开头。它们将以
2开头的概率为17.6%，以3开头的概率为12.5%，这是一个很大的差异，为什么3会……对不起，请继续，而可怜的9只会有4.6%的概率作为首位数字出现
这实际上会使1的概率大约是9的6倍，这真是太令人惊奇了。这不仅仅是令人惊奇，而是非常可疑。我的意思是，我告诉你的这件事太疯狂了，我无法给你一个很好的直觉解释为什么它是正确的。但是史蒂夫、马克和许多许多数学家会告诉你，尽管你可能认为并非如此，但世界上似乎确实更偏爱以1开头，然后是2，然后是3的数字序列。
嗯，罗伯特？嗯？那又怎样？好吧，这不仅仅是一个数学上的奇闻，杰德。不，不，不。你可以利用这些信息做一些事情。什么？好吧，当马克·内格雷亚尼第一次遇到本福特定律时，他认为，也许我可以利用这个定律。
来抓住那些作假的人。用于工资欺诈、纳税申报欺诈。你认为，嘿，我们可以用这个来抓住小偷？没错。哈？
怎么做？好吧，内格雷亚尼认为，如果你查看一堆数字，比如银行对账单或支出报告等等，并且你发现业务中的数字与本福特定律的自然模式不符，因此数字以1开头的次数多于以2开头，以2开头的次数多于以3开头，依此类推，那么你可以说，嘿，这不是自然的。这可能不是真的。这可能是欺诈。欺诈。
所以他开始就本福特定律是抓住小偷的一种方法这一想法进行讲座。唯一的问题是……他们不太相信本福特定律，这意味着我的其余演讲将无法进行。现在我很荣幸地向大家介绍一位我见过的最优秀的人。
达里尔·D·多雷尔。达里尔·D·多雷尔。达里尔·D·多雷尔。达里尔·D·多雷尔。达里尔·D·多雷尔。达里尔·D·多雷尔。达里尔·D·多雷尔。达里尔·D·多雷尔。这简直是押韵的天堂。就像回文一样。是的，是达里尔·D·多雷尔。啊。
达雷尔。达雷尔。达雷尔。但我应该说，达雷尔是，他称自己是什么？我是一名法医会计师。法医会计师。这意味着他的工作是检查数字和数据，看看是否有人在偷窃。这是一个调查过程。起初他对本福特定律并不确定，但有一天……我碰巧和一位……
退休的统计学教授邻居交谈。他说：“哦，本福特定律？我每年都让我的学生证明它。”他实际上为我写出了证明过程。它只是，它是不可改变的。这是一个数学定律。现在，它是他的最喜欢的工具之一。我们现在正在进行一个案件，一家规模较小的公司，家族股东，共有四个，
其中一个觉得她作为股东受到了不公平的待遇。意思是，她认为这三个家伙可能在偷东西？是的。我明白了。我知道你不能告诉我们这家公司在做什么，但它是一家公司吗？让我们假设它是一家受监管的商业公司。
这是一家你们每个人都通过当地政府机构定期购买服务的公司。垃圾收集或诉讼。当然。无论如何，这个女人认为自己受到了欺骗。所以她请了一位律师。律师要求提供数据。所以我们有七年的所得税申报表。这就是他所拥有的一切。
只有纳税申报表。嗯哼。是的。所以他把它们全部输入电脑。汇总它们，运行本福特定律，然后砰的一声。点击图表。我们立即看到，宾果，在争议开始的几年里，他们申报税款的方式违反了本福特定律。嗯。
非常可疑。是的，偏离了本福特定律的模式。你的意思是纳税申报单上有太多的9？意思是，如果你查看这家公司的纳税申报单，你会看到一种不自然的模式。1不够多，7、8和9太多了。
但是现在你必须让侦探、律师和法官相信这是违法行为的真实证据，但他们从未听说过这件事。本福特定律……你不知道它。作为一个实用的工具，它可能已经存在了大约10年，或者一开始是15年。欢迎达里尔·特雷尔。我现在正在参加一个有大约700人的会议。
很高兴在这里见到你们所有人。我已经讲了四次了，每次我都问过关于本福特定律的问题，谁听说过它？谁熟悉本福特定律？也许。
也许只有5%的人。你能看看便士吗？只是一些观察结果。对我来说，排除便士是没有意义的。你能使用本福特定律吗？他们问，法官是否允许将本福特定律作为有人犯罪的证据？是否有判例实际上引用了本福特定律的使用？达雷尔告诉他们，哦，是的，你可以在法庭上使用这个证据。是的，联邦、州和地方，根据我们的经验。然后他告诉他们一些故事。
比如首席执行官偷钱去买……汽车。枪支。艺术品。珠宝。运行本福特定律，然后……砰的一声。首席执行官仍在联邦监狱服刑。或者牙医和妻子的案子。她开始和一个后来证明是制毒贩子的男人有染。牙医怀疑她动了公款。运行本福特定律，然后……砰的一声。哦，被抓住了。她最终认罪了。或者那个有4000万美元庞氏骗局的家伙。运行本福特定律，然后……砰的一声。好吧，几乎是砰的一声。我的意思是……
本福特定律是所有这些案件中的一个因素。它不是决定性因素。但仍然……这是一个非常有说服力的论据。十年后，它将相当于指纹。
就是这样。哈。你仍然没有解决这里的主要谜团。为什么世界上1会比9多？它们不应该……等概率出现吗？是的。好吧，答案实际上非常复杂，而且是深奥的数学问题。简单的答案是……有答案吗？是的，有答案，它与……你理解答案吗？不。不。
我的意思是，我理解它与对数和倍增以及数字文化有关。但是如果你让我坐下，然后说，仔细而完整地向我解释一下，我的意思是，不，这对我来说太数字化了，我无法向你解释。
好吧，好吧。但我现在将稍微偏离一下，去见一群人，如果他们在这个房间里，他们就能向我们解释，但我们没有在这个房间里找到他们。我们在另一个房间里找到了他们。我们很少和他们在同一个房间。所以让我们和我们的记者本·卡尔霍恩一起去见一个
- 本？- 是的？- 你决定，我不知道，这是一种公务员的假期。你想去参加数学会议吗？- 我确实想，非常想。- 发生了什么？- 我去了纽约市立大学，我去参加了一个数学会议
这是一个名为组合和加性数论的数学会议。哦，大家都玩得很开心。是的，它有一个乐观的缩写CAN'T。所以我听说如果我去这个房间，就会有一群来自各地的数学家。他们会告诉我他们在哪里教书，他们的名字是什么。
但他们还有另一种识别自己的方式。为什么？他们有这个数字。我的数字是2。3。2。是的。3。3。2。我的实际上是3。哦，很好。是的，我真的很兴奋。这意味着什么，我是2，我是3？好吧，这是一个埃尔德什数。什么是埃尔德什数？埃尔德什是一个人。哦。所以你的埃尔德什数是你离这个人有多少步，对吧？
保罗·埃尔德什。所以你要告诉我他的故事？是的。你准备好了吗？好的。让我关掉我的手机，这样我们就不会破坏最佳拍摄效果。那是保罗·霍夫曼。他写了一本关于保罗·埃尔德什的书。所以我们从1913年的匈牙利布达佩斯开始。春天。两位数学老师有一个名叫保罗的儿子。他有两个姐姐。她们分别为三岁和五岁，她们患猩红热，在他出生的那天去世了。我的意思是，想象一下。他的母亲失去了两个女儿，又得到一个儿子。
是的，在那之后，她非常害怕保罗会患上致命疾病而死，所以在保罗生命的前十年里，她几乎不让保罗离开家。她不让保罗和其他孩子一起玩耍。不让保罗上学。不让保罗外出。此外，当保罗一岁半的时候，他的父亲被俘虏，并被关押在苏联战俘营六年。
所以这个孩子独自在家，身边没有其他孩子。他的母亲出去教数学。家里所有的书都是数学书，他基本上通过阅读这些数学书自学成才。他还告诉我，数字成了我最好的朋友。所以我的意思是，这是一个从一开始就全身心投入数学的孩子。但让我们快进一下。
保罗·埃尔德什在20多岁时获得了博士学位。这是在20世纪30年代初期。保罗·埃尔德什是犹太人，这意味着他知道他必须离开匈牙利。他设法去了美国。但他不得不留下他的家人。
当纳粹进入布达佩斯时，他母亲的五个兄弟姐妹中有四个被杀害。他的父亲在他们驱赶犹太人并试图将他们转移到犹太隔离区时去世了，他只剩下母亲了。但她还在匈牙利。1941年，保罗·埃尔德什在普林斯顿大学。他只有27岁，完全与家人隔绝。
他很孤独，也很想家。我的意思是，这个人没有传统的友谊。他没有性关系。他与世界的唯一联系是他与之共事的人。我的意思是，对我来说，令人惊奇的是，经历过这种生活经历的其他人可能最终会进入精神病院，或者更糟。但他没有。他把这种
这种内向变成了使数学成为一种快乐和社交的场合。他开始与人建立联系。我不明白。这是什么意思？好吧，他开始旅行。他会听说有人正在研究一些有趣的东西，他会想办法到达那里，出现在他们的门口，他会说一句他经常说的话，我的大脑是开放的。
他会在那里与他们一起研究他们正在研究的任何东西。他一直在移动。他走访了25个不同的国家。最终，他放弃了他几乎所有的财产，并且基本上无家可归。他没有家？他没有家。所以无论他走到哪里，人们都必须收留他。作为房客……
这个人是一种后天习得的品味。他不知道如何做基本的事情。他不会做饭，他甚至不会烧开水泡茶，他几乎不会换衣服。埃尔德什直到11岁才学会系鞋带。他患有某种皮肤病，所以他只穿丝绸。丝绸衣服需要清洗。我的意思是，他就是这样度过一生的。而且
还有时间表。他每天做20到22小时的数学。他会在凌晨4点在厨房里敲打锅碗瓢盆，因为他想让你下楼做更多的数学题。那么为什么任何人会想拜访这个人呢？这听起来像是一场噩梦。你必须为他做饭，和他住在一起，洗他的衣服，系他的鞋带。不管怎样，你都希望他来看你。为什么？因为他就是那么优秀。这就像上帝来拜访你一样。
他知道你的优势。他知道你是怎么想的。看着他很有趣。我的意思是，有时候我和他一起去参加数学会议。他就在他的酒店房间里。有一次，房间里有10或12位数学家。有些人躺在他的床上，有些人坐在地板上。他会和一个人一起工作几分钟。
然后他会转向另一个人。然后他会回到第三个人那里。他同时与所有这些人一起解决不同的问题。保罗·埃尔德什撰写的论文数量和与之合作的人数比历史上任何其他数学家都多。他与任何人一起做数学，即使这个人是数学界的一个笨蛋。
这是什么？这是保罗·埃尔德什80岁生日。你可以对一位老人说的唯一美好的祝愿是治愈生命中无法治愈的疾病。周围环绕着爱他并把他留在家里居住的数学家们。我们要向你表达我们所有深切而温暖的感情，我想为你举杯祝贺。谢谢。
他是一位圣人。圣人？圣人。那是乔尔·斯宾塞。他是一位数学家。他也是保罗·埃尔德什的朋友。现在他已经去世了，我有时会在宗教的背景下想起他，因为他给了我们这些做数学的人一种信念，毕竟，如果你从外部来看，这有点奇怪，你为什么
会付出如此巨大的努力去寻找这些陈述。数学家会花费他们生命中的数年时间试图证明这些事情，你知道，从外部看来，这些事情完全是晦涩难懂且毫无意义的。然而，与他一起工作很清楚，我们正在做的是试图找到真理，一个大写的T。一种
超越我们物理宇宙的真理。我认为这就是为什么我们喜欢谈论我们与保罗的联系的原因，因为我们对数学的感受，对我们希望数学成为什么的感受，保罗·埃尔德什是这种感受的体现。不知不觉中，数学家们开始追踪他们与保罗·埃尔德什的联系。
这就是埃尔德什数的实际含义。如果你与保罗·埃尔德什合著了一篇论文，你的埃尔德什数就是1。如果你与其他人合著了一篇论文，而他们又与保罗·埃尔德什合著了一篇论文，那么你的埃尔德什数就是2，依此类推。所以这就像所有保罗·埃尔德什以某种方式触及过的人。所有通过他们的想法与他联系在一起的人。有……
大约500人的埃尔德什数为1，大约8000人的埃尔德什数为2。这是杰里·格罗斯曼教授。他在密歇根州奥克兰大学任职。他所做的是，他取每个埃尔德什数环，并将其绘制出来。埃尔德什数为3的大约有34000人，埃尔德什数为4的大约有84000人。然后它们开始减少
84000。那是很多人。所以如果你一环又一环地进行下去，并完成整个过程，这个人最终影响了多少人？我认为大约有20万名数学家。20万？20万。想象一下。它就像一个太阳系，有超过20万名数学家围绕着保罗·埃尔德什运行。
你的埃尔德什数是多少？1。1。丹尼斯·艾希霍恩是2。你的埃尔德什数是多少？2。我和我的导师和其他学生一起写了一篇论文，她与一位与埃尔德什合著过论文的数学家合著过一篇论文。我的埃尔德什数是3。你的埃尔德什数是多少？1。每个埃尔德什数为1的人都知道他们有这个数。这个房间里的每个人都知道他们的数字。
如果有人不知道，我会非常惊讶。
本·卡尔霍恩的埃尔德什数是00.5778-b-1根号6。接下来，来自我们康奈尔大学数学家朋友史蒂夫·斯特罗加茨的一个故事，他讲述了他与他的数学老师之间非常珍贵的友谊。所以这都是关于数学家的，但这是一种非常不寻常的友谊。我是查德·阿布姆拉德。我是罗伯特·克鲁尔维奇。请继续收听。
Radio Lab由Apple Card支持。使用Apple Card重新启动您的信用卡。赚取高达3%的每日现金返还，当您通过Apple Card开设储蓄账户时，您可以获得4.40%的年百分比收益率（APY）。在iPhone上的Wallet应用程序中申请Apple Card。
需经信用审核批准。储蓄服务适用于Apple Card持卡人。需符合资格条件。储蓄和Apple Card由美国高盛银行盐湖城分行提供。美国联邦存款保险公司成员。条款及更多信息请访问applecard.com。WNYC Studios由Zuckerman Spader支持。Zuckerman Spader在处理高风险法律事务近五十年后，在全国范围内被公认为一家首屈一指的诉讼和调查公司。
如果你现在还没有准备好要孩子，没关系。如果你现在不想成为母亲，甚至永远不想，也没关系。
这完全取决于你自己的决定。但是你知道什么是不好的吗？不知道你的避孕措施有多有效。与你的医生谈谈有效的避孕措施，以便你能做出明智的决定。点击了解更多信息。
本周的《纽约客广播节目》中，以色列自1967年以来一直占领着西岸。这场占领会结束吗？这个制度的寿命取决于大量的以色列人，他们在日常生活中并没有感受到仅仅十几公里外的占领。这是我们在WNYC Studios播出的《纽约客广播节目》中的主题。在您收听播客的任何地方收听。
好的，我是贾德·阿布姆拉德。我是罗伯特·克罗尔维奇。这是Radiolab。我们今天的主题是……数学、数学和数学。我想这就是我们的主题。好的。
但实际上，我们现在确实有一个引人入胜的故事要从我们的制作人索伦·惠勒那里讲述。嘿，索伦。嘿。这是关于数学的，对吧？是的。好吧，实际上是数学和友谊。我从史蒂夫·斯特罗加茨那里听到的。他是康奈尔大学的一位数学家，他曾经一两次来过节目。好的。我们坐在演播室里，他告诉我……你能不能先退一步，告诉我一点关于高中和他的高中数学老师的事情？
唐·乔弗里。好吧，关于他有很多引人注目和奇特的事情。我的意思是，也许首先是他身材非常高大。当他用他巨大的手指握住粉笔在黑板上写字时，粉笔会随着每一次笔画而粉碎，以至于他的身上、他的大毛衣以及所有东西上都会有一团粉笔灰。
另一件关于他非常不寻常的事情是，他会站在黑板前进行计算，身上沾满了粉笔灰，一如既往。然后他会走神，他的眼睛里会有一种茫然的表情，然后他会低声说，哦，这让我想起了，哦，这让我想起了杰米·威廉姆斯计算斐波那契数列第n项公式的时候。杰米·威廉姆斯是谁？杰米·威廉姆斯是一位学生。哈哈哈。
他比史蒂夫在乔弗里先生的课堂上早几年。这就是神秘感的一部分，你知道，他现在已经毕业了，好像这个秘密已经失传了。但关键是他会谈论一个学生。带着敬畏。带着敬畏。这非常令人兴奋的是，我们现在正成为这个链条的一部分。♪
是的，然后我去了大学，这很早就开始了。我开始给他写信。这就像一年一度的趣闻。亲爱的乔弗里先生，这是我今年在数学课上学到的宝石。所以史蒂夫会给他写信，乔弗里先生会回信，添加一些内容，问他一个新问题，就这样持续了一段时间，史蒂夫仍然像一个学生，乔弗里先生仍然像一个老师。但是，有一刻……
发生了一些新的事情，他写信给我寻求帮助。他说，他班上出现了一个关于椭圆形游泳池的问题。
所以，你知道，想象一下一个游泳池。游泳池的边缘通常有一条小边框，就像一块混凝土，你站在上面跳入游泳池之前的那一部分。所以问题是，如果你有一个周围有一英尺边框的椭圆形游泳池，那么边框的外边缘也是椭圆形吗？关于这一点，我真的很感兴趣。这是一个非常好的数学问题。也许我有点炫耀，就像我认为如果我能做到这一点，他会
说一些好话。你会成为万神殿的一部分。是的，也许我会进入万神殿。他们会像以前谈论杰米·威廉姆斯那样谈论我。所以我停止了正在做的事情，努力解决了这个椭圆问题，我想出了两种或三种不同的方法……结果它永远不是椭圆形。它不可能是椭圆形。所以史蒂夫坐下来，给乔弗里先生写信谈论这个难题，但是……我没有只给他答案。
我以一种非常有爱和温柔的方式写下了答案，这是一种移情的方式。也就是说，我知道你的出发点，我将从头开始，引导你从你所在的地方到达你需要解决这个问题的地方。换句话说，史蒂夫表现得像老师一样。
乔弗里先生也配合着。事后看来，这是一件非常慷慨的事情。谦逊、谦虚、善良地扮演学生的角色。他好像知道这就是我需要的。我的天，我喜欢它。我迫不及待地想听到下一个问题。当史蒂夫去研究生院成为数学教授时，他和乔弗里先生继续互相写信。事实上，他们经常互相写信。在1989年3月有一段时间，我们几乎每天都互相写信。
他给我寄了一个谜题。我努力解决了它。我给他展示了一个非常漂亮的答案。他看到这个答案后表达了极大的喜悦。这是一种数学家的梦想通信，充满了谜题和方程式，史蒂夫非常喜欢它。但偶尔，乔弗里先生会……
打破常规。一点点。他会说他正在做一些爵士钢琴演奏。他有时会写到他有三个儿子。他会谈论他们一点。你知道，我觉得很尴尬。感觉很卑鄙。但我记得不喜欢信中的那些部分。我没有写那些。我的意思是，我会说。
也许我在打网球。但我信中的一些句子说，在那些句子之后，好吧，废话少说。这是一个数学问题。但在后来的几年里，他会几乎故意问我一些事情。就像有一次他说，有传言说你订婚了。如果这是真的，我们祝你一切顺利。你猜怎么着？在我回信给他时，我没有说什么。你还记得像……
想想是不是不想回复，或者……好吧，我可以告诉你当时发生了什么，那就是我已经和我的未婚夫开始了情侣疗法。你知道，在那段时间里，这些信件成了逃避这一切的避风港。我们可以进入这个数学的纯净世界，在这个世界里，一切都很简单、合乎逻辑、井然有序，也许我的一部分人会觉得，哦，拜托，这是唯一一个完美的地方。
但这些年来，那个完美的世界变得不那么完美了。因为他最大的儿子死了。马歇尔死了。马歇尔在他只有27岁的时候就去世了。而我没有问起这件事。你能相信吗？我现在想起这件事就觉得很难过。所以你只会回信说，哦，我又得到了一个谜题。又有一个数学问题给你。看看这个。是的。
然后，在这20多年的通信关系中，乔弗里先生退休了。现在他不能再教书了……他会写信给我。他会给我展示他为自己编造的这些美丽的数学问题，通常是关于老鹰飞过地球，你知道，如果老鹰在这样的高度，它能看到多少球形区域。
而此时此刻发生的事情是，我现在刚刚结婚，我们开始生孩子了。我再也不回复他的信了。它们就那样装在信封里堆积起来。他写信的速度比我回复的速度快得多，快得多。然后有一次，我收到乔弗里先生的另一封信。但当我看到信封时，我立刻就看出有什么地方非常不对劲。
他的笔迹看起来不正常。我的地址，我的名字，写得支离破碎……像颤抖一样……颤抖的。我知道那是什么样子，因为我爸爸患帕金森氏症时就是这样写的。所以我心想，这是什么？我打开信，第一句话是，“哎呀，我刚刚轻微中风了。”我没有马上回信给他。我没有打电话给他。然后仅仅几个月后……我的兄弟突然去世了……
他从别人那里听说这件事，立刻写信告诉我，他和他的妻子听说这件事了，他们非常难过地听到我的兄弟去世的消息。对我来说，你知道，我多年来从未说过我对马歇尔感到抱歉。它一直在继续。
困扰着我，“你为什么不和他说话？”召唤着，你显然关心他。这有点像数学中的分岔概念，它实际上意味着道路的分叉，一种分裂。当作用于系统的力量变得太大时，可能会出现系统动力学突然发生质变的时刻。这是一个分岔的时刻。我应该只是说我很抱歉听到马歇尔去世的消息。
所以我心想，我得去和他谈谈，问问他，我能去你家吗？你知道，他似乎有点犹豫。但是，你知道，好吧，很好。所以我买了一个小型的袖珍录音机。
只是一个便宜的东西。沿着95号公路开车到他在康涅狄格州海岸的房子。敲门，听到里面正在演奏的钢琴停了下来。他过来匆匆地来看我。我们互相拥抱，拿出一个大盘冷盘，说，让我们坐在门廊上吧。这有用吗？你好。所以我们正在吃饭。似乎正在录音。好的。
然后他拿出他的日记。我决定退休后要写日记。他画了各种各样的鸟的图画。这是一张我在康涅狄格河上观赏鹰的照片。还有很多关于我不认识的人的东西。这是一种从南方迁徙过来的鸟。你从未见过这些，嗯，有些人称之为秃鹰。是的。它们已经迁徙到这里来了……
这是我最喜欢的鸟之一。它是一种沼泽鹰，它在草地上低空飞行。更多关于这个。汉克说，我要带你去看看一只粗腿鹰。现在，他没有说，我们要看看能不能看到一只粗腿鹰。是的。他拿出来了。嗯哼。
我心想，我对此并不感兴趣。我想谈论他，谈论我们从未谈论过的事情，那些令人沮丧的、艰难的事情。比如，发生了什么事？你儿子是怎么死的？他们有很多工作要做。他们只是试图让员工加班来支付员工的加班费。我内心有一种不安的感觉。对，当然。然后停顿了一下。我的心跳很快。
我心想，我现在要问他。所以我想我们从未谈论过马歇尔，但我想要……我问了……我也不知道他，但我只知道他死得很年轻。我……发生了什么事？你知道，马歇尔发生了什么事？嗯，我们，你知道，这是我们不怎么……你想谈谈这个吗？好的。我想他会说，这是我们不谈论的事情。嗯，那是……我记得他像一颗星星。他……他确实。他度过了美好的27年。
音乐将会是什么样的。它是如此美丽。所以，嗯，所以他去了男人，如此令人振奋和甜蜜。他会待在家里，我们会围坐在钢琴旁，我会拿出科尔·波特歌曲集，翻到一页，一些他从未见过的东西。他可以引用、阅读、演奏和演唱，一次性与我们一起完成。我心想，这个人有一个多通道的大脑，我希望我也有。你知道，他谈论了他多么伟大，多么伟大的生活。
在他27年的时间里。在他生命的最后时刻，他会整夜不睡觉地弹钢琴。房子里充满了美丽的音乐。他计划在纽英格兰音乐学院找一份工作，诸如此类的事情，但命运对他很不利。哦，是的，我们想念他。
那是在那一刻，它改变了你对他的看法吗？好吧，改变了？我必须告诉你那天是怎么结束的，所以我们又聊了一会儿，我当时问他。你认为马歇尔有宗教信仰吗？他说，哦，是的，我认为他感到与某个存在很亲近。是的，这是一件好事，我认为他平静地离开了，
然后谈话实际上转向了更容易的事情，比如微积分问题。我们又谈了一些关于数学的事情，然后他说，“要不要游泳，或者我们去海滩吧？”你想去海滩放松一下吗？我想做一些户外活动。所以我们去了海滩，那是一个美丽的夜晚，长岛海峡的海浪涌来。
事实上，我们正在讨论一个关于波浪的数学问题，关于傅里叶分析。这实际上是关于，嗯，无穷大和这样一个事实：如果你取无限多个简单的波浪，你可以创造任何形状的波浪。只要它是一个重复的波浪。但后来乔弗里先生问，你怎么创造不重复的波浪，变化的波浪？有时波浪并不完全重复。它们可以增长或消失。
史蒂夫告诉他，要处理这类波浪，你需要一种不同的无穷大。不是那种你不断地加加加数字的无穷大，而是一种存在于两个数字之间的无穷大。这是一种比唐以前考虑过的更高层次的无穷大。感谢我们的制片人索伦·惠勒，他采访了史蒂夫并制作了那个故事。感谢史蒂夫·斯特罗加茨，他出了一本新书，讲述了这个故事，叫做《友谊的微积分》。
我是贾德·阿布拉姆拉德。还有三秒钟。你是？罗伯特·罗维奇。再见。《无线电实验室》是由贾德·阿布拉姆拉德创作的，由索伦·惠勒编辑。露露·米勒和拉特夫·纳塞尔是我们的联合主持人。
迪伦·基夫是我们的声音设计总监。我们的工作人员包括西蒙·阿德勒、杰里米·布鲁姆、贝卡·布雷斯勒、伊克迪·福斯特-基斯、W·哈里·福图纳、大卫·盖布尔、玛丽亚·帕兹·古铁雷斯、辛杜·尼亚娜·桑班丹、马特·基尔蒂、安妮·麦克尤恩、亚历克斯·尼森、萨拉·哈里、艾丽莎·荣·佩里、萨拉·桑德巴克、阿里安·瓦克，
是的。我一直想这么做。
嗨，我叫迈克尔·史密斯。我来自新泽西州的彭宁顿。《无线电实验室》的科学节目的领导支持由戈登和贝蒂·摩尔基金会、科学沙盒、西蒙斯基金会倡议和约翰·坦普尔顿基金会提供。《无线电实验室》的基础支持由阿尔弗雷德·斯隆基金会提供。
K-T-T-Y-L。
你来到《纽约客广播时间》是为了进行更深入的对话，与你真正想听到的人交谈，无论是布鲁斯·斯普林斯汀、奎斯特洛夫还是奥利维亚·罗德里戈、丽兹·切尼，还是人工智能教父杰弗里·欣顿，或者我一些在《纽约客》杂志上非常见多识广的同事。所以每周都加入我们收听《纽约客广播时间》，无论你在哪里收听播客。