The Language of the Universe with Grant Sanderson (3blue1brown)
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为什么不能被零除？尼尔·德格拉斯·泰森和查克·奈斯与数学 YouTuber 格兰特·桑德森（3blue1brown）讨论高维空间、被零除以及数学的未解之谜。注意：StarTalk+ 赞助者可以在这里收听完整无广告的剧集：https://startalkmedia.com/show/the-language-of-the-universe-with-grant-sanderson-3blue1brown/感谢我们的赞助者 Nicolas Alcayaga、Ryan Harris、Ken Carter、Ryan、Marine Mike USMC、VARD、Mile Milkovski、Gideon Grimm Gaming、Shams.Shafiei、Ben Goldman、Zayed Ahmed、Matt Nash、Stardust Detective、Leanice、morgoth7、Mary O'Hara、David TIlley、Eddie、Adam Isbell-Thorp、Armen Danielyan、Tavi、Matthew S Goodman、Jeremy Brownstein、Eric Springer、Viggo Edvard Hoff、Katie、Kate Snyder、Jamelith、Stanislaw、Ringo Nixon、Barbara Rothstein、Mike Kerklin、Wenis、Ron Sonntag、Susan Brown、Anti alluvion、Basel Dadsi、LoveliestDreams、Jenrose81、Raymond、David Burr、Shadi Al Abani、Bromopar、Zachary Sherwood、VP、Southwest Virginia accountability、Georgina Satchell、Nathan Arroyo、Jason Williams、Spencer Bladow、Sankalp Shinde、John Parker、Edward Clausen Jr、William Duncanson、Mark 和 Dalton Evans 本周对我们的支持。 订阅 SiriusXM Podcasts+，即可收听 StarTalk Radio 的新剧集，无广告，提前一周收听。现在就开始免费试用，方法是在 Apple Podcasts 上或访问 siriusxm.com/podcastsplus。</context> <raw_text>0 FeatherSnap 智能喂鸟器将野外带到您的窗前，巧妙地将科技与大自然的惊喜结合在一起。它内置摄像头，每次鸟儿光临都会拍摄照片和视频，并连接到您的手机，提供实时警报和鸟类识别功能。它采用太阳能供电，设计精美，使用方便。它是送给父母、祖父母或任何热爱自然的人的完美礼物。无需经验。请访问 FeatherSnap.com 查看 FeatherSnap 智能喂鸟器。

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这是 StarTalk 宇宙问答版。我和查克·奈斯在一起。查克，你好吗，伙计？我很好。是的，是的。这一期是关于数学的。哦，有人告诉我不会有数学。没有人告诉你不会有数学。没错。

我懂一些数学，但如果我们要把数学作为主题，我们就必须请来大人物。对。尤其。最懂数学的人。最懂数学的人。

我们请来了格兰特·桑德森，他并非第一次参加 StarTalk。格兰特，欢迎回来。嘿，再次感谢你们的邀请。第一次很有趣。让我们看看这次会怎样。太棒了。太棒了。所以你在数学和计算机科学方面都有学术造诣。好吧。在某些层面上，它们是相关的。你把它带到了路上。我的意思是，你把它带到了 YouTube 上。是的。拥有一个粉丝众多的频道。是的。

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总的来说，我认为喜欢数学的人比人们想象的要多。就像，它有点像弱者。每个人都认为人们讨厌它。我认为每个人都喜欢数学。

我只是认为大多数人会被它吓倒，没有人想感觉自己很愚蠢。我喜欢感觉自己很笨。这就是我参加这个节目的原因。我总是这个节目里最笨的人。但这就是格兰特存在的原因，这样他就可以扩大人们在遇到此类内容时感受到的舒适区。是的。所以让我来谈谈数学中一些广泛而深刻的主题。

在我们进入问答环节之前，我们偶尔会听到关于数学问题的讨论。不，他们说的不是八乘以七是多少。不，他们说的是该领域最顶尖的思想家们几个世纪以来一直在试图解决的问题，对吧？有没有一本关于

最新未解数学问题的书，然后这就是书呆子们应该首先从图书馆借阅的书？是的。是的，我的意思是，有很多。2000 年最著名的未解问题之一是，克莱数学研究所提出了七个问题，他们为这些问题提供了 100 万美元的奖金。所以这些问题在未解问题中算是名人。它们被称为克莱千年数学难题。

通常很难描述问题陈述的内容。所以非常经典。你甚至无法描述你应该解决的问题是什么。对。你必须解决问题，但你甚至无法描述。没有人能告诉你问题是什么。现在，对我来说。这就是你如何保住你的百万美元。是的。我本来想说这听起来很像结婚。对。

但我们开始解决的问题是什么呢？所以，但也有一些名人未解问题，从某种意义上说，它们的重要性较低，但更容易陈述。因此，对于公众来说，参与其中会更有趣。是的。

但这些问题没有奖金，对吧？就像没有某个特定的机构明确地为此提供支票一样。但是，如果你解决了这些问题中的任何一个，你绝对会在数学界获得一定的声誉。你可能是在学术界做这件事，这会极大地提升你的职业生涯。如果你能解决这些问题中的任何一个，你会获得很多好处，如果你想要经济奖励的话。但当然，这不是大多数人关心的问题。它们是纯粹在数学领域产生的，还是有一些科学原因

这些问题是什么，或者工程解决方案。是的。我将举一个纯粹在数学领域的问题，然后举一些来自外部世界的问题。这个问题对我来说非常重要，因为我记得当我大约 11 岁的时候，我的父亲从厨房对面喊过来。他说：“嘿，格兰特，你知道质数吗？”我说：“哦，是的，质数，就像你不能分成两个较小部分的数字一样，比如 6 等于 2 乘以 3，但 7 你不能把它分成两个较小部分。”

他说：“是的。你认为是否有无限多个质数只相差 2？”例如，11 和 13 是相差 2 的质数，或者 29 和 31 是一对相差 2 的质数。

他之所以问我这个问题，是因为他读到一篇新闻文章，文章提到：“嘿，这是一个未解的问题。”他爸爸在他 11 岁的时候问了他这个问题。哦，哇。所以你当时要么非常聪明，要么有一个非常糟糕的父亲。所以我当时想，哦，这是真的吗？最终，没过多久他就说：“哦，这是我在一本科学新闻杂志上读到的东西，上面提到这是一个问题，世界上没有人知道如何回答。”这让我着迷。就像，你可以问一个问题。就像，你教孩子们关于质数的知识。也许不是每个人长大后都记得它们，但这是一个常见的话题。你所问的只是：“嘿，是否有无限多个质数相差 2？”它们是否会停止以 2 为间隔出现？你知道质数会越来越稀疏。就像，当你变得越来越大的时候，质数就越少。但你可能会想知道，它们是否会停止以这种方式聚集？欧几里得在

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完全正确。好的。好的。我只是死记硬背，而不是因为我有一种感觉。你只需要知道很多次。是的。我从八年级就知道了。它进来了。好的。这是你应该感谢的事情。所以存在一个公式可以解任何三次方程，但是我们的老师从未让我们记住它。它长得多。是的。而且，它需要一首更长的歌来完成。如果他们认为二次公式是导致

死记硬背地学习数学而不是实质性地学习数学，那么强迫孩子们记住三次方程会更糟。但是，纯粹的数学家们曾经很好奇，好吧，嘿，我们能做到什么程度？我们可以有一个公式来解任何最高次幂为 X 的四次方程吗？你可以，这是一个更可怕的公式。如果你试图完整地写下来，它只会感觉像一整页，这个公式可以解四次方程。

很长一段时间，自然而然的问题是，好吧，我们可以解任何五次方程吗？从 16 世纪，当人们开始探索三次方程和所有其他东西时，到大约 19 世纪，人们尝试过，但没有人能找到答案。等等，你是说人们在 16 世纪就有这些想法吗？

而其他人则在剖腹处死异教徒。是的。这两件事同时存在。对比科学史是令人惊奇的。好吧，也许他们在 16 世纪就停止了。文艺复兴时期来临了。是的，没错。我想也许像黑暗时代一样。好吧，你去世界的正确部分。你知道，一个人在思考三次方程。你肯定可以在世界的另一个地方找到剖腹处死异教徒的地方。

直接跳到重点，我将讲述更多背后的故事。答案最终是，从适当的意义上说，这是不可能的。如果你试图用我们通常使用的符号来写一个公式，加减乘除，也许你允许使用根和其他东西。如果这些是你可用的运算，那么你将永远无法写出一个五次或更高次方程的公式。

两位非常年轻的数学家是迈出第一步的人。它适用于四阶多项式，但不适用于五阶多项式。然后突然五次方，它停止了。是的，它停止工作了。哇。

有一个深刻的原因。这一发现是促成现代数学一个巨大分支诞生的因素之一，这个分支被称为抽象代数。大多数人不知道它的存在，不知道 19 世纪数学领域发生了这场革命，改变了我们思考数学的方式。但它的开端源于试图解多项式方程并意识到：“嘿，也许一旦你超过某个点，它就不可能了。”原因是什么？

为什么，为什么对称性在四和五之间会破裂？尼尔，我非常希望能够给你一个简洁的答案。就像，“这是四次方程的真谛，五次方程不是这样。”嗯，

多年来我一直都在努力思考，这是否是我可以在 50 分钟的视频中做到的事情，或者像引人入胜地向公众描述它一样。我希望周一早上我的桌子上有一部完整的 YouTube 视频，你解释一下这个。这会让我和许多其他人感到非常高兴。好的。我将给出，我将给出答案，

这将毫无意义，但我保证在某种意义上这是正确的。它被称为伽罗瓦理论。而提出导致解释这一问题的论点的年轻数学家中的一位，他的名字叫埃瓦里斯特·伽罗瓦。他 20 岁时死于决斗。这是他的大新闻事实。他知道自己会输掉那场决斗。

所以在决斗的前一天晚上，他像在纸上进行了一次脑力激荡。哦。这就是故事。这是我们在讲堂上都会讲的经典故事。太疯狂了。是的，好的。等等，让这个人解释。继续。不，不。所以你所说的就是每个人在学习物理和数学时听到的。哦，那不是真的？他写下了所有……所以他……

他正在整理他之前尝试发表三到四次的东西。他之前已经写下了这些东西。他把它放在了像傅里叶、柯西和泊松这样非常著名的数学家面前。他们之前已经看过他作品的开端了。这不是他第一次写下这些东西，而是在疯狂的决斗前状态。但这是一个很好的故事，以这种方式讲述，对吧？说他他知道自己要死了，所以他必须以某种方式表达这些想法，这太好了。

他有一个关于决斗等等的经典故事。但他所做的数学，其中一件事情表明，不可能解五次或更高次方程。它还显示了其他不可能的事情。有一个

关于使用直尺和圆规三等分角的经典问题，即取任何角度并将其分成三个部分，他的理论，他的新数学可以证明这是不可能的……它在这里的播客上很难描述，但它催生了一个数学领域，这个领域既是数学的核心，也是当今粒子物理学的基础，哇，酷，伙计，好吧，数学是宇宙的语言，所以如果它有一些溢出到

宇宙发现中，我们不应该感到惊讶。是的，这是有道理的。那么，我们可以从我们的观众那里向你提出问题吗？是的，是的，是的。让我们开始吧。这是来自 Buck Rice 的第一个问题，他说，为什么我们不能被零除？为什么？我喜欢这个。这是一个很好的问题。我一生都带着这个问题。对。因为答案是，

好吧，它是未定义的。所以我的回答是，好吧，定义它。对。动动你的屁股，定义它。对。

是的，没错。定义它。你知道谁会定义它吗？数学家们，实际上。数学的某些部分，特别是其中一个被称为射影几何的部分，其中一个对象本质上是我们想要通过 1 除以 0 的概念来获得的。想法是，如果你有一条数轴，并且你无限远地向左或向右走，那么你正在接近一个统一的点，称为无穷远点。

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我们必须回到陈述的开头。我有一个纸杯蛋糕。这就是答案。答案是我吃了纸杯蛋糕。现在它被定义了。现在它被定义了。你知道什么东西是伟大的礼物吗？

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请访问，尼尔。你最喜欢的未解数学问题是什么？你会如何解释它？所以第一部分，从根本上改变我们对宇宙的看法。然后是 B 部分，你个人最喜欢的

最喜欢的不可解的。- 等等，等等，你不能说一，然后是 B 部分。要么是一和二，要么是 A 和 B。- 不，你看我在做什么是一种新的数学。- 我告诉你，我要把第一部分交给尼尔，因为我在这里会有一些谦逊。我不确定宇宙学中最重要的问题是什么。我不是一个宇宙学专家。所以我很想知道你会怎么说。

我们在宇宙中存在奇点问题。对。我们所有的方程都告诉我们，在黑洞的中心，

自然界正在被零除。对。好的？一切都会消失，分母会变成零。对。其他一切的值会发生什么？我们说密度是无限的，而且是无限的，这甚至没有任何意义。不，没有。所以我们不知道，但我们怀疑，这是我们宇宙理论应用的极限，而不是数学调用的极限。对。因为我们不是第一个责怪数学的人。我只是说说。明白了。因为数学很糟糕。

太棒了。我们不是。好的。所以我们将首先承担责任。但确实，数学中某些发现导致了天体物理学的发现。在我们这样做之前，我们不需要非欧几里得几何。

所以这是时空的曲率。它不是平的，而欧几里得几何是平的。谁提出了曲线几何？所以黎曼是那里的大人物。所以黎曼，那是什么时候，大约 19 世纪的某个时候？是的，那是 19 世纪，比如 50 年代，让我们这么说吧。好的，好的，所以 19 世纪，我们有工具来思考……

曲线几何。宇宙学家们立即接受了它，来思考宇宙的几何形状可能是什么。对。他们需要一种谈论它的方法。所以这就是我在这里得到的一切，但这是数学引导我们，而不是我们发现一个未解的数学问题。好吧，

我的意思是，你提到黎曼谈论非黎曼几何，但他也是我将如何回答该问题 B 部分的原因之一，这是我最喜欢的未解问题之一。它是第一部分，然后是 B 部分。是的，第一部分和 B 部分。所以黎曼，你知道，他做了很多几何学方面的工作。他也是复分析的创始人之一，基本上是用复数来解决数学中的其他问题。他有一篇关于数论的论文。所以这就是我之前描述的质数，比如孪生素数猜想。

他发表了这篇论文，我认为是 1857 年，关于质数。否则，他不做任何数论。它彻底改变了整个领域，因为他基本上说：“嘿，这是一个连续函数。它感觉不像它与所有离散的质数有关。它非常连续。它有复数。这使得它非常不同。如果你理解这个函数，你就会完全理解质数。”

如今我们称之为黎曼 zeta 函数，因为他使用了希腊字母 zeta。他基本上说：“嘿，如果我们了解这个函数的一些信息，我们就可以非常非常了解质数是如何分布的。”他提出了关于所有……如果你想解这个函数等于零时的情况，他提出了这个猜想。

他不知道该如何解决它。他猜测这些解在哪里。这被称为黎曼假设。他是在假设它。这是百万美元问题之一。很明显，这是一个非常非常美丽的问题，因为它有点像是在问素数在某种意义上是否构成和弦，因为它基于频率信息来研究它们，而没有人知道如何回答它。但是你越深入研究这个问题，它就会描绘出一幅非常非常美丽的图画。这是你最喜欢的未解之谜吗？

我认为这是我最喜欢的。是的。哇。好吧。听起来它也是。你把它描述得很优雅……你在谈论它的时候听起来有点兴奋。我喜欢它。是的。好吧。这是托尼·艾萨克，托尼说……

你好，Astro Nail和Lord Nice。这是来自澳大利亚墨尔本的托尼。墨尔本？墨尔本。他说，喜欢这个节目。来吧，查克，用澳大利亚口音说。好吧，这是个听节目很久的人。听得太久了。是的，是的。它完全把我出卖了。好吧。他说，我有一个复杂的问题。它是复数I。它是

负一的平方根，它不存在，但它被用于许多准确预测事物的数学中，包括量子力学。它让我头脑发热。我希望尼尔和格兰特能帮我解决。谢谢。所以。所以，格兰特，我要先说，你为什么把这些数字标记为虚数？是的。

我的天哪。这是数学中所有名称中最糟糕的。有史以来最糟糕的名字。高斯建议称它们为侧数，这本来是，你知道的。好一点。好一点。然后你给虚数添加另一个方面来得到复数。对。现在你称它为复数？

这些词完全让人扫兴。我责怪你。好吧，如果真是这样的话。我责怪你们这些人。我本来想说，如果真是这样的话，那么我们需要回到一开始，因为我们称它们为数学问题。谁想处理问题？很多人都在为此苦苦挣扎，对吧？因为你把它标记为虚数。你一开始就说，你知道，负数的平方根不存在，但假装它们存在，然后继续前进。

你可以完全不同的方式教授整个主题，你从谈论循环过程开始，试图对循环过程进行建模，并为此使用我们正常的数字系统。任何具有循环行为的东西，

都有一个自然的数字系统来描述它。随意称呼这个数字系统。哦，所以你可以把它们想象成时钟？把它们想象成时钟数字，对吧？任何时候你都在做时钟方面的事情，这些数字都会很棒。所以我们使用时钟数字。它们为什么与量子力学相关？你有一堆波，对吧？有些东西是循环的，嗯，

并且有一些相关的频率。你就像E=HF之类的东西。当有频率时，你应该怀疑复数在那里。它在电气工程中很有用。为什么？因为你正在处理一堆波。你有一堆循环过程和频率。因此，用这些类型的数字对它们进行建模是很自然的。因此，工程师采用了复平面模型。

事后才使用复数，对吧？他们没有说，哎呀，我们需要一种方法来做到这一点。让我们发明它。他们说，我们不知道如何做到这一点。一位数学家出现了，这里有一个方法。我的意思是，当然，我是在夸大其词。我的意思是，你想知道复数最初是从哪里来的吗？因为我认为我们在学校里讲的故事有点谎言，我们说，你知道，负数的平方根不存在，但就像假装存在一样。就像数学家喜欢假装事情一样。

它实际上与我们之前谈论的内容有关，那就是当人们求解三次方程时，他们写出了一个三次方程公式，谢天谢地，我们俩都不必记住它。我不感谢上帝。我对感谢上帝的事情非常挑剔。他就像，感谢数学。感谢教育体系。但是如果你问某人，嘿，解方程x²+1=0，他们会说，

没有解。很明显，我们不会编造一个什么也做不了的解，但是有一些三次方程，当你试图使用公式时，

你得到了一个实数答案。所以实数输入，实数输出，从来没有负数平方根的迹象。但是当你使用公式时，如果你认真对待公式内部某个地方存在负数平方根并且在某个时刻全部抵消的想法，你就可以找到那个实值答案。但是当你计算它的时候，你正在处理这些负数的平方根。

所以有一段时间，对于数学家来说，他们就像，哦，这是一个奇怪的技巧，它有点有效。我不知道这是什么意思，但它似乎适用于求解三次方程。我认为他们被称为虚数的原因之一是，人们花了很长时间才认真对待它们。他们只是认为这是一个符号技巧。而“虚数”这个词有点贬义。它不像，嘿，我们想教孩子们这个。我们应该叫它什么？它就像虚构的女朋友。但是然后……

人们花了更长的时间才意识到它们的有用性以及它们具有这些循环特性，这些特性使它们对于任何涉及波和循环的数学或物理学都非常有用。所以这就是我们坚持的东西。你好，泰森博士，奈斯先生，布朗先生。这是来自新泽西州的布兰登。共形几何和勾股定理之间有什么关系吗？最近，我了解了一些圆反演，在我看来，

这些反演正在利用勾股定理来保持曲线后跨线的点的对称性。这在共形几何中也有效吗？我完全糊涂了。哇。你从中学到了什么？看看吧，伙计。让我先回答布兰登一下，好吗？别炫耀了，伙计。

别炫耀了。这不是地方。好吧。如果这是一个演讲厅，这将是我说的时候，“布兰登，课后我们再谈。”如果我们现在不参与你想要参与的事情，对每个人来说，这节课都会更好。如果你愿意，我们可以尝试描述共形几何和圆反演是什么。好吧。你能在20秒内完成挑战吗？

如果我们理解了，谁在乎呢？如果没有，那么现在我们有一些东西可以去查找，这更有趣。继续。好吧，开始。当你照镜子时，你会看到自己的倒影。它就像你自己的不同版本。有时你可以用它来解决问题，比如解决你的发型等等。在数学中，有一种不同类型的镜子，有时他们会使用它，他们假装一个圆是一个镜子，并将所有东西从内部反射到外部，从外部反射到内部。这是空间的一种特殊变换。

并且有一些几何问题看起来很难，但是当你像这样通过一个圆反射它时，这是一个非常奇怪的令人头脑发胀的动作，它将难题变成了简单的问题。这叫做圆反演。关于这一点的一些方面，我无法描述共形几何，但这就是圆反演的氛围。我们不会在那里描述具体的问题，但是如果你对氛围感到好奇，那就是将圆视为镜子。酷。

这太迷人了。我的意思是，我不，我明白了圆反演，你在说什么。我不知道它有什么用，我不明白。是的，我必须给出实际的例子才能让它有意义，但是你知道，时间太长了。但他仍然在炫耀。是的，他毫无疑问地在炫耀。布兰登在炫耀。好吧。但猜猜怎么了？我很高兴，我很高兴，你知道，直到这一刻我才听说过共形几何。所以我很高兴布兰登在炫耀，因为现在这是查找的素材。

这很棒。伊森·斯泰普。伊森说，你好，泰森博士和格兰特先生。如果奈斯先生在那里，你好。我爱这些人，伙计。我他妈的爱这些人。他说，我叫伊森，来自北卡罗来纳州。我喜欢数学，但有时我想知道这些东西是如何被发现的。我的问题是，地球上的人是如何想出张量积的？

好吧，我认为最简单的描述方法是，它并没有完全捕捉到它的含义，但就像向量一样，我们有一个数字列表，你可以将其写成数字列。矩阵，你有一个二维数字网格，在计算机科学中一直使用。这就是机器学习的工作方式。但有时你想要一个三维数字网格作为保存你的数据的方式。想象一下一个三维网格。网格中的每个单元格都有一个数字。你可能会称之为张量。

这是计算机科学家回答张量是什么的方式。但在物理学中，可以使用某些可以用张量表示的对象，例如广义相对论和描述空间曲率。数学的其他领域也有

可以用类似的方式描述的对象，例如你可以为它们提供一个坐标系，你想要一个三维数字网格。为了回答这个问题，比如它从哪里来或者谁会想出它，我认为通常情况下，一旦你处理了一个非常具体的问题，你就会意识到表示这个数据的东西自然会组织成一个三维网格或更高维的数字网格。这只是尝试在你的脑海中保持这个想法的一种自然方式。

但是必须有人足够聪明才能看到这种需求，然后想出它。不是每个人都那么聪明。他们将成为当时已知数学的囚徒。你需要有人能够跳出这个圈子，说，我有一种新的方法来思考这个问题。

我的意思是，一些物理学家会开玩笑说，爱因斯坦对物理学的最大贡献之一是他对张量的表示法。他有一个非常好的表示法来写下它，这让你能够在黑板上清晰地思考它等等，这当然是一个笑话。但这确实说明了这样一个事实，即它们是一个中心对象，即使以一种有用且易于操作的方式来表示它，也需要一个聪明的大脑。这不是T-I-J。那是……

是的，这是当你使用爱因斯坦求和约定的时候，你想……是的。是的。是的，这是一个简化的事情。它使方程看起来比实际情况简单得多、温和得多。好吧，我要告诉你，你们刚刚让它对我来说简单多了，因为我不知道你们在说什么。好吗？我要说实话。我坐在那里，很少有我迷失的时候……

我们正在进行一场谈话，但这一个就像在那里一样，伙计，这非常酷。所以他……好吧，加上他在YouTube上有700万粉丝，所以他做得不错。他做得不错。好吧。是的。你好，格兰特。你好，泰森博士。我是阿基亚，我最初来自印度，但我住在旧金山。我听到了格兰特上次参加播客时的情况，当时我正在去死亡谷的路上

观星。不错。这是一次愉快的经历。不错。我们在路边的一家咖啡馆停了下来，喝了一杯美味的茶。我喝的是大吉岭茶。我的朋友玛丽喝的是……不，不。我编造了这部分。我就像，谢谢，阿基亚，感谢你提供关于你旅行的所有信息。我的问题是，格兰特……

为什么今天没有像微积分和代数那样革命性的数学范式被发现，而是在上个千年，当时从事数学问题的人少得多的时候？

非常感谢你们两位，感谢你们普及科学。听起来像是一种轻蔑。下一个数学分支在哪里？对。怎么回事？你们什么也没做。我的意思是，数学肯定有很多发展，新的领域也发展起来了。大多数现存的数学。所以，好吧，代数几何，在过去的一个世纪左右，甚至后半段，都发生了一种非常有趣的现象。

如果有人试图想出一个伟大的数学大统一理论，一些试图理解这些奇怪的联系的东西，这些联系出现在看似非常不同的部分，其中一个倾向于采取这种观点的领域，有点退后一步说，嘿，如果素数和函数真的生活在同一种世界中，我们对一个的了解告诉我们关于另一个的事实呢？许多从事代数几何的人，这都符合他们的想法。

你还有一个关于人们如何思考数学的相当大的革命，其中有一样东西叫做范畴论，这非常难以解释。而且是

有点像一种语言。它有点像一种新的语言，数学家用它来思考他们的工作，一百年前这种语言还不存在。这是一种非常不同的思维方式。它只是在这些圈子里悄悄地发生着。不是以一种非常普及的方式。它永远不会出现在你的高中微积分课上，但它绝对是一件新事物。好吧。但是你说它存在于数学中，但没有出现在我们的K到12教科书中。是的。

也不应该。就像，我认为你不应该把范畴论塞进K到12的教科书里。我必须说格兰特现在正在做的是，他正在暗讽阿基亚谈论的所有那些数学家。他就像，我们现在的东西太复杂了，是的，你甚至学不会。好吗？好吗？

全世界只有三个人能学会。就是这样，宝贝。不，我知道你在开玩笑。我知道你在开玩笑，但我讨厌事情就是这样出现的，哦，这太复杂了。更像是，所以你有一些人做着某种工作，比如研究数学家试图寻找证明。这是这项工作所需的工具。

它不是其他工作的很好工具，比如编写程序和使用数学建模来运行你正在运行的模拟。对于这项工作来说，它不是一个很好的工具。但对于他们编写证明的工作来说，它就像，这是一个新工具。它被发明出来了。一旦你想从事这项工作，嘿，我们可以让它尽可能地平易近人。但因为我不认为每个人都应该做这项工作……

就像我们不应该，我们不应该把它放到K-12中。而且有很多东西太复杂了，无法描述，这是职业性的，对吧？如果你想了解注塑成型的确切方式或类似的东西，它可能不适合播客，不是因为它像高深莫测的，你知道的，超级数学大脑。只是因为，嘿，对一项工作非常特殊的事情往往涉及很多假设的术语和学习者很多假设的背景。它只是不适合。阿基亚，猜猜

猜猜怎么了？它在那里，但对于……你处于需要知道的阶段。你处于需要知道的阶段，阿基亚。那就是……好了。这是吉娜。她说，你好，聪明人。我正在阅读……

我喜欢它。她说，吉娜·马丁说，我最近正在学习圆和π。我了解到圆的周长永远不可能是一个完整的有理数。我很难理解这一点，双关语，很难理解。好吧。你能否对此进行更详细的解释？谢谢，来自北卡罗来纳州的吉娜。是的。

等等，等等。她说的对吗？你不能让直径成为一个无理数，然后周长成为有理数吗？是的。所以要明确的是，如果你想要周长，周长可以是你想要的任何东西。它可以是数字5。

我认为短语的意图是周长与直径的比率永远不可能是。或者如果直径是一个整数，那么周长将永远不会是有理数。无论你想如何表达它。正是这两个之间的关系从根本上说是无理的。所以这就像打地鼠游戏。你让其中一个成为一个不错的数字，另一个看起来很丑。你让另一个变得漂亮，第一个就变得丑陋了。它变得无理了。它变得难以写下来了。

因此，这是一个非常深刻的问题，试图说明为什么π，圆的周长与其直径之间的比率，为什么这是一个无理数？我没有可以提供的适合播客的答案。这可能并不令人满意，但让我们不要谈论圆圈，让我们谈谈正方形，如果你有一个正方形，它的边长为1，你问从一个角到对角的距离是多少，结果是2的平方根。

这是勾股定理的结果。这是另一种情况，这种几何长度与我们绘制的第一个长度具有无理关系。因此，该对角线与正方形边长之间的比率是2的平方根。现在这是无理数。证明它必须是无理数也容易得多。如果你愿意，呃，

纵容我一下。我认为可以在45秒内做到这一点，我们可以看看情况如何。好吧，准备好了吗？开始了。证明2的平方根是无理数。假设你可以把它写成一个有理数，对吧？就像你可能认为，哦，也许2的平方根将是，我不知道，比如5除以3，或者可能更复杂的东西，比如153除以311。就像我肯定可以找到足够大的数字来做到这一点。

我说，无论你选择什么，我们都把它写成P/Q。我们说这与2的平方根相同。首先，这意味着我们假设它是完全简化的。所以如果你写下像4除以2这样的东西，你可以把它简化为2除以1。所以没有公因子。你可以把这个东西简化。

所以如果那是真的，P/Q与2的平方根相同。根据定义，你是在说P²/Q²等于2。这就是根据定义的意思。所以这意味着当你把所有东西都乘以底部的Q²时，P²将等于2倍的Q²。所以如果你能想出一些数字来证明它是正确的，你必须承认P²与2倍的Q²相同。

这意味着P是一个偶数，因为它等于2乘以某个数。P必须是一个偶数。

是的。所以你就像，好吧，我不知道，让我们称P为2倍的K或其他什么，对吧？它是一个偶数。如果你然后用代数写下它，并用2倍的K替换它，你将得出结论，Q也必须是一个偶数。因为当你取那个关键方程P²=2倍的Q²时，它最终看起来像4倍的K²=2倍的Q²。你除了一些东西，然后说，嘿，Q也必须是一个偶数。

所以你必须得出结论，P是偶数。你必须得出结论，Q是偶数。但是我们一开始就假设它是一个简化分数。这两个数字不可能都是偶数，否则它就不会被简化。所以不可能把它写成分数，因为否则你会陷入这种无限倒退，不知何故，它们都必须是偶数。但是如果你把它简化了，现在这两个都必须是偶数。你永远不会得到一个连贯的答案。这有点奇怪，要得到这个无理数……

你必须取两个数字的比率。这是一个奇怪的事实。所以这是常见的数学家工具。他们说，哦，你想证明某事是不可能的，对吧？他们怀疑他们就像，伙计，这个问题真的很困难。我认为这可能是无法解决的。就像他们有，他们有很大的自负。所以他们想说，嘿，这不是因为我笨而无法解决它，而是因为没有人能解决它。所以他们想证明这是不可能的。

经典策略。你要做的是说，我将从假设它是可能的开始，比如写一些符号来说，如果它是可能的会怎样？从那会得出什么？然后你得出某种矛盾。你说，所以你看，如果我们假设它是可能的，我们会得到这个永远不可能的东西。因此，我们的假设是错误的。这是一个非常常见的数学家做法。我喜欢你刚才做的。我喜欢从正方形开始。这很酷。

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你会选择什么形状，我的意思是，你会选择成为哪种形状，你会在那里做什么活动？谢谢你，StarTalk 的长期粉丝和你们两位。告诉我们关于平面国。我碰巧在我的桌子上有一本。

哦，真的吗？太好了。我这里架子上也有一本。所以这是一本非常经典的书，作者，你如何想象一个只有二维的世界？所以在这里，在三维空间中，你可以向左看，向右看，向上看，向下看，向内看，向外看。但他说道，如果你只是在这个二维世界中会怎样？这就是世界的全部。所以你那里有一群生物。

他是在打比方，说，向他们描述三维形状是不是很难？如果你有一个住在平面国的人，你想描述立方体、球体或甜甜圈是什么，这些形状，你真的无法向他们描述。然后这本书的目的就是说，嘿，如果四维空间中有几何形状，对我们来说描述它就像对平面国居民描述它一样困难。

但是对于，对于关于我在平面国中会是什么形状的问题，嗯，我的意思是，这可能有点基本，但是圆形似乎很有用。你可以四处滚动。嗯，一切都很对称。嗯，你可以做圆反演，嗯，你知道，只有其他赞助男孩才会欣赏。嗯，呃，这可能就是我所拥有的全部。据我记得这个故事，嗯，

你的边越多，你的贵族地位就越高。哦，看看你。对，所以三角形就像最低等的，地球上的渣滓。那些三角形，我真不敢相信。试图搬到这里来，他们知道得更好。然后是正方形，然后是五边形、六边形。所以我认为我会是一个六边形。好吧。我会是一个六边形。你想镶嵌平面吗？是的，我想。啊，看看那个。是的。虽然，任何形状都可以镶嵌，对吧？对。

好吧，不是任何形状。我的意思是，你有你的正方形，你有你的三角形。不，不，不。我的意思是，如果你看看埃舍尔的画作，他不是镶嵌吗？你让两个形状相交。对。所以区别在于，我所说的规则多边形，我的所有边都彼此相等。那么只有六边形。但我认为镶嵌是所有可以做到这一点的形状，这叫做镶嵌，对吧？是的。

好吧，不是任何形状都可以镶嵌。所以你说的对，埃舍尔向你展示了你有一个可以镶嵌的无限族。我同意。但是你有像天使和魔鬼这样的镶嵌。是的，是的，是的，是的。但是你可以测试，这叫做镶嵌，对吧？是的，100%。对，对。所以现在如果你要把自己限制在一个形状上，一个多边形上，一个所谓的规则多边形上，那么我们就受到限制了，对吧？对。

但是，我想成为一个六边形，因为你可以用六边形铺地板。是的，你可以。是的。并且让其他人和你一起铺瓷砖，你们可以依偎在一起，一切都完美契合。非常，非常舒适。舒适。非常酷。那么你会是什么形状呢？既然我们谈到了铺瓷砖，几年前发现了一种完整的瓷砖。这是一种可以非周期性地密铺的单一瓷砖，它不能周期性地密铺，但它只能非周期性地密铺。我听说过。是的。

但那是正多边形还是其他形状？不，不，不，不。这是一个奇特的形状。它并没有那么奇怪。它看起来有点像帽子，人们称之为。但很酷的是它是由一位业余爱好者发现的。所以人们不知道是否存在一种形状可以非周期性地密铺物体，或者非周期性地密铺物体而不具有任何周期性密铺，这是技术问题。但这就像……

一个有趣的铺瓷砖问题。一位业余爱好者发现了它，它在几个月前成为数学互联网上一个小小的有趣名人。那么周期性和非周期性模式有什么区别呢？很好。所以大多数你能想到的模式都是周期性的。这正是我们所说的模式的意思。几乎，是的。就像如果你移动整张图片，它看起来一模一样。所以你拿你的六边形瓷砖，然后你将你的视角移动一个六边形，它看起来一模一样。这就是我们所说的周期性密铺。

有一段时间甚至不知道你是否可以进行非周期性密铺，但是彭罗斯，他因物理学原因而非常著名，他找到了一种方法来使用这两种瓷砖，每种瓷砖看起来都像菱形，形成一种填充所有空间的图案，但它永远不会重复。所以这是一个

这是一个可描述的模式。你可以描述它应该是什么样子，但它永远不会重复。所以当你移动你的视角时，它永远不会看起来一模一样。- 所以没有办法移动它使其与之前的样子相同？- 是的，这有点像圆周率的数字或这些无理数，它们不会重复自身。它们只是以可预测的方式继续下去，但不会重复自身。这是几何上的等价物。- 好的，非常酷。

这是威廉·沃克。威廉·沃克说，先生们，您好，来自佛罗里达州狭长地带。我听说过这样一种说法，从数学上来说，我们知道高于我们观察到的维度的维度的一些或全部属性，我不确定。

您能否详细说明一下？我们能对这些维度说些什么？是的，你怎么到达那里？太好了，太好了，太好了，太好了。我认为这是人们的一个很大的误解。当数学家谈论更高维度时，人们认为他们谈论的是应该在物理上实现的东西。所以最终……

当你做数学时，有时你可能有一些可以用多个数字来描述的东西。你有一些系统，比如一个小粒子四处移动，你用一些数字列表来描述它的速度，用一些数字列表来描述它的位置。你经常发现将所有数字列在一起非常有用。

如果你有一个三个数字的列表，你可以把它看作是三维空间中的一个点。如果你有一个两个数字的列表，你可以把它看作是二维空间中的一个点。唯一地。唯一地，是的。数学家和物理学家意识到，嘿，有时我们正在解决一个问题，我们有一个像四个或五个数字的列表。当它是一个三个数字的列表时，能够将正在发生的事情可视化，通过将三元组数字与三维空间中的一个点建立这种独特的关联，这非常有用。

他们想，为什么我们不能这样做？为什么我们不能说存在一些抽象的四维空间，不是在物理现实中，而是仅仅用来表示我正在解决的任何问题，其中出现了一个四元组数字。或者在今天的机器学习中，当大型语言模型……

读取你的文本时，它首先要做的是将一个给定的单词转换成一个非常大的数字列表，比如数万个数字。研究人员通常将其视为一个非常高维空间中的一个点，并使用几何思想来描述它在模型中的变化。但当然，我们并不是说在物理现实中存在一个像12000维的空间。这仅仅是因为它是一种描述数字列表的好方法。

我这里架子上有一件。所以这些维度是占位符。我把它放在我的架子上。一个克莱因瓶，开瓶器。我喜欢它。所以这是试图在三维空间中表示。

一个四维物体。是的。是的。所以克莱因瓶是它们在四维空间中最舒适的东西。这是他们想要居住的地方。如果你试图让他们生活在三维空间中，他们必须不自然地穿过自身。没有办法把它放在三维空间中而不穿过自身。所以克莱因瓶是一个没有内侧的瓶子。

是的，我认为这是一个公平的说法。没有，你无法区分内侧和外侧。是的。我大学里的一些朋友因为非法侵入某栋建筑而惹上了麻烦，他们说，也许作为我们辩护的一部分，我们去建筑物外面的围栏，我们对其进行一次扭曲，这样整个围栏就是一个莫比乌斯带。

这是另一个没有明确内外概念的形状。这样我们就可以向当局争辩说我们不可能在非法入侵区域内，因为相关区域的内部没有连贯的概念。这些是无聊的斯坦福大学学生吗？

我不知道他们有多无聊，但他们是富有创造力的斯坦福大学学生。不够有创造力，不会进监狱。因为你仍然会倒霉。但这很聪明。你必须翻转围栏，然后重新连接它。重新连接它。是的，没错。是的，没错。所以半夜，你知道，当你正在做任何事情，在那里非法入侵时，只要确保当你离开时，你像，你剪断围栏，你扭曲围栏，你重新连接它，这样它就是一个莫比乌斯围栏，然后你的辩护就站得住了。是的。

所以克莱因瓶是莫比乌斯带的四维版本。有点像。

有点像，是的。我不喜欢这种描述。我的意思是，如果你试图取一个莫比乌斯带，然后你取另一个莫比乌斯带，然后你试图将它们的边缘粘合在一起，你将得到一个克莱因瓶。这是一个非常令人费解的事情。它类似于莫比乌斯带，因为它们都是不可定向的，这意味着你有一个没有明确内外概念的概念。但它们是不同的。克莱因瓶是一个封闭的形状。它没有边缘。莫比乌斯带有一个边缘。所以从拓扑学上来说，它们是截然不同的动物，但它们在同一水域中游泳。是的。

它没有一维边缘，但它有一个二维边缘，这将是一个表面。在四维空间中，表面是一个边缘，不是吗？以同样的方式……

莫比乌斯带的一维边缘是三维空间中的一个边缘。所以如果你生活在地球上，对吧？你试图行走以找到地球的边缘，它是一个球体。没有边缘。你永远不会像走到所有水都掉下来的边缘一样，对吧？如果，如果它是一个扁平的圆盘，你会，你可以走到边缘。如果你是一只小蚂蚁，你生活在一个莫比乌斯带上，你可以走到边缘，并在某个时刻向边缘张望。如果你在克莱因瓶周围行走，你永远不会以这种方式碰到边缘。它是，

从数学上来说，我们称之为封闭曲面。所以它们都是曲面。它们都是二维的。好的。所以有一个重要的区别。封闭曲面。这是关键。时间只够再问一个问题了。好的。好的。让我们去找我们老朋友凯文·德索梅利埃。哦，好的。凯文说- 那是他的姓，侍酒师。好的。他的中间名是“The”。姓是“Sommelier”。他说的是，嘿，尼尔在一个解释性剧集中谈到了三体问题，但是-

是否会有另一个尚未被发现的数学分支能够像牛顿对运动所做的那样解决它？为了纪念艾萨克·牛顿爵士，有一种西班牙葡萄酒叫做《数学原理》，这是一种用夏雷罗酿造的明亮白葡萄酒。

我要找到那种酒。是的。所以《原理》是他的伟大作品。它是自然哲学的数学原理。嗯哼。合理地缩写为《原理》。《原理》。是的，但如果你想给出完整的东西，它是《数学原理》。哦，好的。这是他的伟大作品。如果有一种酒叫这个名字，我会找到它的。谢谢。确实有一种酒叫这个名字。侍酒师。所以我喜欢这个问题，因为在什么点上你会说，

它是不可解的。在什么点上你会说，足够聪明来解决它的人还没有出生，也没有将他们的天才应用于它？

是的，我认为有两种不同的方法可以考虑一个问题是否难以回答。所以在牛顿对行星进行建模的情况下，甚至不知道应该使用什么数学方法来进行建模，应该使用什么数学模型来进行预测。他的重大贡献是发明了合适的数学领域，你可以用它来进行预测。你今天没有发明的一个数学分支。我只是想再次强调一下。好的。对。

我的意思是，三体问题感觉如此不同，因为我们不知道应该用什么数学来描述它。相反，它说，这是一个内在的数学问题。你说，给定这部分精确描述它的数学，它是牛顿微积分，什么

众所周知，如果你在初始预测中有一点误差，你就无法预测将会发生什么。所以这是混沌理论的一个重大惊喜，一开始你可能会认为，嘿，如果我知道如何解方程，或者如果我有一些方程，我有一个，我对此足够聪明。那么，如果我知道初始状态，我只是看看世界是如何根据该方程演变的，我就可以预测未来。然后

然后混沌理论说，存在这些情况，包括三体问题，即使你完全知道所有解是什么，如果你在测量中有一点误差，这个误差会迅速放大，以至于可能会受到该误差的影响，在相当短的时间后你最终可能处于的状态。嗯，

跨越如此广阔的可能性空间，以至于结果实际上是不可预测的。所以除非你有无限的精度，这只是，这根本不是科学或工程的工作方式。或者行星移动。所以结果表明，它不是未知的，就像答案将会是什么。众所周知，答案在某种程度上是不可知的，对吧？众所周知，它会在最终结果非常敏感的意义上是混沌的。

所以这不是那种容易产生这个问题的问题。对。是的，没错。我们只需要一个更聪明的人出现。不，因为这个想法是这样的。

答案是它是不可知的。这就是实际的解决方案。这就是答案。不是我们无法解决它。我们确实解决了它。解决方案是这是不可知的。你同意吗？这太棒了。是的，这是一个很好的总结。我认为这是对混沌的很好总结。我已经在这里尽职尽责了。

我现在可以回家了。勉强。我知道，现在几点了？真的，查克，关于最后一个问题？我最喜欢数学的一件事是，你可以在实际踏入那里之前提前窥视门道。因为数学作为现实的模型，作为一个科学家来说，它允许你在不离开椅子的情况下探索世界。如果数学是

物理宇宙的适当模型，那么你手中就拥有上帝的力量，可以做出预测。如果它们成真，这会让你更有信心，数学和宇宙是一体的。凭借这种力量，我热衷于思考更高维度，我们刚才讨论过的话题。

四维、五维、六维的东西是什么样的？你无法在脑海中想象出来。不。我们的大脑在塞伦盖蒂平原上进化，试图不被狮子吃掉。我们没有能力那样思考，但我们有能力以这种方式计算，并给我们提供我们所知道的所有关于更高维度和其他我们尚未访问的地方的信息。这就是宇宙视角。

所以，再次告诉我们你的YouTube频道。是的。所以YouTube频道，它的名字是3Blue1Brown，一个公认的奇怪名字。你也可以搜索3B1B。我们在这里讨论的许多主题，它们的风格都会出现在该频道上。优秀。我们还如何在社交媒体上找到你？

在当今你最喜欢的社交应用程序上搜索“Three blue and brown”。好的，现在三个和一个是数字，蓝色和棕色是单词。很难描述。数字与数字混合，是的。或者只是3B1B，如果你搜索它，你通常可以找到它。好的。好吧，祝贺你取得成功，正如他们所说，做上帝的工作。是的。因为上帝不能除以零。不。所以……

我们希望看到更多你。继续努力，我们需要在这个世界上拥有更多的数学素养。是的，我们确实需要。上帝，拜托，感染整个国家。你能吗？尽我所能。好的，查克，很高兴见到你，伙计。一直很荣幸。好的，这是StarTalk宇宙问题，数学版。尼尔·德格拉斯·泰森，继续仰望星空。我的名字是莉莉，多年来我一直患有HS（脓疱性毛囊炎）。

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