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EP02: 《导言》烧脑三重奏——哥德尔、艾舍尔与巴赫的跨界幻想

2024/6/21
logo of podcast 文理两开花

文理两开花

AI Deep Dive AI Chapters Transcript
People
主持人
专注于电动车和能源领域的播客主持人和内容创作者。
魏老师
Topics
主持人认为,《GEB》导言部分精彩独立,能打开读者思路,但很多人可能只读到此就放弃;书中巧妙融合哥德尔数学、艾舍尔画作和巴赫音乐,展现不同领域的共通规律。 魏老师认为,侯世达在导言中意图展现哥德尔不完全性定理的跨学科奇特性,并运用坡道模型的叙事方式,由浅入深地讲解复杂概念;他认为哥德尔不完全性定理不仅与数学相关,还与音乐、美术相关,这在数学定理中并不多见;他还分析了侯世达叙事逻辑中坡道模型与金字塔模型的不同,认为坡道模型更适合吸引读者,而金字塔模型更适合自顶向下论证。

Deep Dive

Chapters
本期节目探讨了《GEB》的导言部分,它将哥德尔的数学、埃舍尔的画作和巴赫的音乐巧妙地融合在一起。节目讨论了侯世达的博学和跨学科思维,并分析了其叙事逻辑和坡道模型。
  • 侯世达将数学、绘画和音乐融合于《GEB》中,体现跨学科思维。
  • 《GEB》的叙事逻辑采用坡道模型,由浅入深,层层递进。
  • 侯世达被认为是博学家,与罗素、赫伯特·西蒙等并列。
  • 文理分科是现代教育体制的产物,限制了联想能力的培养。

Shownotes Transcript

听众朋友们大家好欢迎来到新一期的文理两开花我们今天继续我们的 GB 的读书系列

前一集呢好像已经成功把大家拉下水了因为好多听众还给我发了一些照片就是他们听了之后新买的 GEB 的书决心要和我和魏友老师一起读那就 Welcome to GEBWelcome to 这个大的天坑和我们一起读吧但是无论后面发生了什么都不要怪我们就当大家给大脑来了一次铁三训练吧

不过说到这集大家也压力不要太大其实读起来还是挺有意思的我们今天呢想和大家一起聊一聊导演的部分

不知道魏老师的习惯是怎么样但实际上我读大部分书都会直接是从第一章开始我很少看导演几乎我从来都不看导演但是呢这一笔好像不太一样因为它的导演部分是最吸引人的至少是最吸引我的这也是一篇特别精彩的非常独立的一个提纲切领的制作也是可以让我们大家这个思路打开脑回路打开的章节

当然了也很有可能大家和 GB 的缘分也永远停留在这一章所以呢我们今天来读一下这一章那这一章呢其实是把戈德尔的数学艾舍尔的画作和巴赫的音乐丝滑地交织在了一起数学音乐和艺术这三个领域其实我觉得精通其中一个就已经很难但是像侯士达这样三个好像全都精通而且能串在一起发现他们的共同规律的还是挺惊奇的

魏老师是不是也挺喜欢导演部分的你觉得这个哥德尔艾设和巴赫他仨的共同特点是什么或者是可以先简单的总结一下我们后面还会仔细的聊一下他们仨 OK OK 好啊说到导演呢就咱们延续上一期的这个话题呗其实首先我记得啊就是我看那个简本的时候就是 GEB 的这个简本的时候应该是

我不记得有没有这个完整翻译的导演了也有可能有也有可能没有啊因为那个书现在不在手边上但是呢就是后来呢我看全本的时候呢对这个导演也觉得是挺有意思的然后呢怎么讲呢就是我觉得侯士达他写这个导演

就像上次咱们聊到的他这一本奇书他这个导演也是有意而为之或者说他这本书的总体思想在导演里边真的是也挺有体现我想说两个大的角度一个是说 G.E.B.这个书其实简单的讲他就是想把戈德尔埃舍尔巴赫这三个东西拉在一起其实就是为了启发大家说

其实哥德尔不完全性定理也不一定只是一个数学的东西对吧你看你在音乐当中也能发现好像有类似的也在绘画当中还发现有类似的就跟咱们上次说的这个奇书的这个角度是一样的换句话说如果 GEB 是本奇书的话呢其实在侯士达眼里呢这个哥德尔不完全性定理其实就是个奇定理对吧就是它不是光是数学相关它可能跟音乐跟美术都相关

其實這樣的數學定理並不多對吧就你說比如說不管你說哥德巴赫猜想還是費馬大定理你說這他雖然也很厲害但是你說跟音樂一定能掛上鉤跟美術能掛上鉤嗎這可能不一定但是哥德爾不完全是定理真的就有

这样一个特点就是它本身就有横跨很多领域的这个特征而且这里边呢还有一个特有意思的背景我想说一下就是其实在专业领域里呢可能大家有了解的就是说哥德尔不完全性定理呢和这个图灵的这个停机问题

其实是等价的或者说逻辑上概念上是等价的吧我们不能说它数学上绝对等价然后这里边还有一个东西大家不是特了解的就是 Tarski 就是卡斯基的语义学 Tarski 呢他是在他的语义学理论当中呢给出了一个论断就是真理或者真这个概念是不可定义的嗯

這個東西你聽著你就感覺這跟哥德爾不凡學院定理也很像對不對所以其實哥德爾不凡學院定理和圖靈的停機問題和塔斯基的真理與異學這三者之間也是橫跨了三個學科的關係對吧所以侯士達應該說他確實還是很厲害他就說這三個東西

有横跨性但是我讲这仨东西他也没人能听得懂啊对不对那么他就自己又发明了一个就是 GEB 就是说哥德尔不完全定理不光横跨数学计算机和语义学他还横跨数学音乐和绘画

这就是侯士达刻意发明出来的这么一个三个领域的一个体系你明白吗这是我的理解这是我的认知我想可能从来没有人这么说过这也是我对这个书的心得但很有道理对嘛就是说侯士达他就是想通过这个角度来告诉大家说哥德尔不完全定理有这种跨越性或者有这种奇特性只不过专业的领域的那个三个横跨它

它都是等價的大家都很難理解但是他創造了一個橫跨領域更大的一個東西就是音樂和美術和繪畫對吧所以我覺得應該說這也是侯士達算是致敬這個哥德爾不凡全性定理的這個神奇特點的這麼一個刻意的創作這這一點我認為確實是很有意思的對對然後我就想說另一個點我覺得有點扯遠了但是我覺得很好玩就是

侯士达他讲这个东西你看他这个序言他是先讲巴赫然后再讲埃舍尔然后再讲戈德尔也就是说他的叙事的逻辑啊

又要讲到叙事了就他叙事的逻辑是说我告诉大家巴赫的音乐是这样这样这样这样但是他里边有个什么什么什么特征他这里边提到了嘛铜构对吧铜构然后这个通过 Kano 这种还有复格这种结构来表达一个铜构循环自止反正都扔进去了反正他到底是不是自止呢这个等会咱们再说然后呢他又说 Azure 的绘画你看左手画右手

对吧然后这个无限的升降说这里边也有个这种东西好像很有意思自制然后说到哥德尔不完全敬礼说其实数学上也能够引入自制来证明这个东西当时我看到这个东西我觉得很有意思它这里边是暗合了一个什么逻辑呢就是叙事逻辑当中有个坡道模型我不知道小跑老师应该熟悉坡道就是我从一个低的起点开始往上走

这个东西呢它就特别吸引人一般是用于讲故事叙事或者演讲这样一种技术手段然后这个事情呢就让我很有感慨为啥呢我自己因为是搞数学的如果让我写一本介绍哥德尔不关系定理的书那我会怎么写呢我一定会上来就说哥德尔不关系定理是证明了一个什么什么什么然后呢底下会分三点第一数学上是怎么证明的

第二绘画中如何体现第三音乐当中是不是有类似的东西 GDP 是打法对但是这个顺序就是 GEB 然后他实际上把它扭转为 BEG 然后如果是我们这种人写这个的逻辑其实是另一个原理就是金字塔原理我想大家可能都知道金字塔原理就是说我首先给出一个论点

然后我底下来证明这个论点对吧所以如果你要是这么写呢那就得先讲哥德尔不关系定理是怎么怎么怎么回事然后底下我们衍生出来还有音乐还有美术但是这两种写法哪个更好呢

我感觉那肯定是侯世达这个写法更好有点文坤生的感觉这是很符合一个坡道原则就是说你得吸引读者一上来你得讲巴赫为啥呢我还真的反思过就是你想啊假设我讲五个人群比如说知道巴赫的人知道哥德尔的人知道埃舍尔的人

知道侯士达的人和知道 G1B 的人假设有这五类人的话那我估计知道巴赫的人可能比剩下那四个加起来最大可能还得多个好几百倍吧所以肯定是这个坡道原则我觉得用在这里是非常有意思的所以我就是

很早以前看这个的时候就有这个感触啊就是说这两个模型其实各自有不同的用法并没有对错就是如果你想自顶向下

从一个要论证一个东西的话你肯定是用君子塔原理但是如果你是讲故事你是叙事你是介绍一个大家不熟悉的逻辑你肯定是用坡道模式所以我觉得这个就是也是我对他这个序言的一个感悟吧因为你看他后边的这个

这个结构也并不完全是这样但是他特意用的序言来引这一块其实就像你刚才说的就是他这个序言其实本身是一个独立的文章就他光序言这篇文章发出去其实都是有吸引力的对吧就不是他这本书的序言这个文章应该也是很好的所以我觉得就是我对这个序言的两个角度吧分析一下嗯

对对特别有意思如果是按照魏老师刚才讲的实际上他的这种写法呢如果说从文科生来看的话他就觉得是非常精彩的因为这是一种文学手法就是往深了说因为你要先做一个铺垫就是说从浅的时候我就是为了吸引读者嘛或者说先做一个铺垫不管是怎么铺垫但是你读完了整章之后你又觉得完全没有这么简单他完全就是披着文科生的理科生因为

因为整个这个结构它之所以这么铺垫其实也都是有意而为之的有设计好的你读完之后想一想它铺垫的这个结构其实就是一个它想表述的这么一个结构那么这个结构呢在后面几章中其实也有反复的出现过只不过是用不同的方法比如说用对谈的方法或者说怎么引入它的一个概念的方法就是真的是一个披着文革生的

李克生啊还是正好也想跟魏老师聊一个概念就是说我其实对这样的思维或这样的人是特别上头的就是那种不只是专精某一个学科而是就是非常的博学就是所谓的博学可能就是像我们定义奇书的这个概念是一样的就是他可能不是从某一个领域深钻他深钻的东西广度也是非常大的就比如说像侯士达这样子数学音乐和艺术

他之所以能把这三件事放在一起如果你不精通任何一段的话不精通任何一学科的话其实你很难融会贯通因为后面我们讲这个巴赫的这个音乐的时候可能魏老师也会给大家解释到他中间的数学思想是什么或者说他怎么体现了这个格德尔不完美定律但是你首先要精通这个数学你要精通这个韵律你才能够想象得到所以我就觉得这样的人实际上其实还是挺少的

我觉得虽然有一个词来形容他们叫做博学家但是我觉得真正能被称为博学家的人其实不是很多

我印象最深的其实是两个就除了侯士达之外这个就稍微引出一点但我觉得挺有意思的就一个是罗素罗素后面可能魏老师也会来仔细谈到他因为罗素这个人他是拿下诺贝尔文学奖的研究数学的哲学家所以说我为什么对他印象深就是因为他获了诺贝尔文学奖而且他这个获奖的书也很有意思这个书名叫婚姻与道德就是是二几年的写的书

但这个书的那种尺度其实非常的大就从当时看来因为他主要的观点就是他认为清教徒对性的态度是人类不幸的根源所以他在书中其实他是倡导离婚就是说你想离婚就离然后呢还倡导这种试婚就是说咱先不结婚咱先试试

这其实也是跟他的私生活是非常相关的然后他还觉得这个互卖性行为啊这个同性恋现象都很正常大家应该宽容一点要知道这本书他是 1920 几年写的所以这本书的尺度非常大但你仔细想想他这些观点他之所以得出这些观点的逻辑我觉得这倒也是像一个逻辑思维很强的人提出的观点

简称直男观点吧然后另外一个就是我觉得印象非常深的就是斯马赫就是 Herbert Simon 我在这个牧羊人的哲学课之中有一张写到过就写到过斯马赫这个人因为他是一个如果你看他的背景看他的简历和经历是一个特别特别神奇的人他是唯一一个获得诺贝尔经济学奖和图灵奖以及世界人工智能终身成就奖的科学家

然后人家还有九个博士学位这个九个博士学位包括了人工智能认知心理学符号啊什么经济学管理学等等就简直是一个而且他 70 多岁开始学中文他是第一个中科院的外籍院士而且还会弹琴还会画画就真的是琴棋书画样样通我觉得这样的人是非常的特别的

我不知道富岳老师有没有见过类似的人或者你印象比较深的人你觉得他们应该算是博学家对我觉得其实我对这个的感觉就是觉得从西方或者说从这种欧洲的这种整体的思想史的角度来看其实人都应该是通才对吧就是你说要博学家或者要通才其实就是

咱们以前应该也聊过这个话题就是所谓文理科的这种分科对吧这是后来这个前苏联也好啊等等这种教育体制的这个产物其实从整体人类社会而言本身就应该是一个这个不需要分什么任何科的这个逻辑比如说历史上这些就是我们比较喜欢的啊就是理工直男比较喜欢的这些人确确实实都是同才比如最早

应该跟咱们这本书也比较有关系的其实就是这个毕达哥拉斯这就是最早的这种通财型的人物嘛对吧因为他们是整个是一套数学体系的创立者

然后同时呢实际上我们现在的音律在大概两三百年前其实还流行的差不多都是毕达哥拉斯时代发明的这个音律学只是到了近代就是后来才慢慢的因为这种乐器的制造水平

已经非常高了所以就全面导向了这个 12 平均率这个后边咱们肯定会聊到的这个啊因为这个 12 平均率 GB 里也有提到对吧就是整个音乐的这个发展过程然后包括这个你说美术包括这个

所谓几何雪当时不是也是所谓从丈量土地的这个角度来的吗其实跟经济肯定是有关系的所以确实就整体上来讲按理说一个人都应该是涉猎所有这些东西他的这种开脑洞的能力或者说归纳的能力才会提升我觉得这点倒是确确实实这样而且我本人也是很喜欢看到这些人而且自己肯定也是希望能成为这种人嘛对吧

对对我觉得还是最重要的是联想能力就举一反三的能力但是实际上我们从小的教育体系就是这种联想能力太强的孩子有的时候会被批评不专注就是我们老师经常就说你要专是吧专一门学歌要精通一门学歌但是其实联想能力举一反三的这种串联能力还是挺重要的

那这个就岔开了我们下面就来仔细聊一聊巴赫这个戈德尔还有这个艾舍尔嗯我们先聊聊巴赫的部分就是刚才魏老师也说了他是从音乐这个角度先切入的也是从大家最熟悉的这个人物开始的嗯其实他切入的方法呢我简单讲一下然后我们请魏老师给大家做精彩解读

其实巴赫的部分是非常非常有意思的他就是开头就开始讲这个故事那这个故事呢其实我觉得他讲的这个故事应该算是一段史上最高智商最高级的拍马屁的故事因为他讲的是当年的这个普鲁士的国王这个菲德烈大帝其实他是巴赫的超级粉丝所以他有一天就把他叫过来说你给我现场即兴创作一个有六个声部的副歌

就这个难度其实在当时还是蛮高的因为副歌就已经挺复杂然后是六个声部的副歌就比较复杂但是巴赫就轻轻松松的就现场就即兴创作了出来

然后呢就这次接见之后呢巴赫就回去回去之后呢就给国王创作了一个国王主题的乐章叫做《音乐的奉献》也是音乐史上非常有名的一部曲子而且呢我觉得这部《音乐的奉献》它自己本身就是一个最高智商最高级的马屁

嗯因为整个乐章它包括一个三声部的副歌一首六声部的副歌还有十首卡农曲和一首三重奏鸣曲我觉得就整个这个音乐奉献的这个乐章应该就是一场数学的表演和炫技而且

而且更烧脑的是它里边的很多卡农就后面魏老师可能会给大家详细解释它这个卡农其实它里边很多都没有写全它就是故意留白或者是以猜谜的形式留给大家去探求留给大家去听然后你会发现这些谜团就是嵌入在这个音乐中

而且他在卡农里边还用了就是真的是各种炫技手法比如什么逆行书里面写的倒影逆行增值减值各种变换副调的方法就简直就是炫技炫出了天际而且他还玩了一个文字双关语因为他的这个书名呢这个乐谱

他在首页上写了一句话这句话是奉旨成招将歌曲及余部以卡农技巧予以解决当然这句话是用英文写的然后里边呢这个 canonic 就是卡农的这个词是双关不仅是因为我这里边有很多卡农曲而且他还有一个意思说我是用了最好的我能想到的最好的方式而且这句话把每个词的首字母排在一起是一个意大利词 Returca

意思就是探求的意思所以它是有双关然后手字母拼在一起又是一个含义在里面所以说这篇乐章确实是反映了这个巴赫的一种非常高超的思想就是高超的甚至有很多高超的数学思想在里面而且这里面有很多东西可以深究读完这个故事就觉得这高智商的人炫技就是这么朴实无华且枯燥读起来非常非常有意思

那么魏老师就帮我们解读一下就是如果是从数学的视角的话你是怎么看待这一章呢看待这个巴赫的这一章 OK OK 我觉得小跑老师刚才说的这段挺有意思它引发了我先想介绍一些历史背景对然后再讨论这个数学的这个内容我觉得可能这个也会成为咱们这个 GEB 节目的一个特点吧就是其实就像刚才我

我想说那个坡道模型和金字塔原理一样就我们可以从很多侧面的角度先去点评一下这些内容或者是介绍一些历史背景然后再来聊聊这个内容历史背景我觉得是这样就是你刚才说到这个巴赫相当于是一个经典的拍马屁的一个故事其实当时整个的欧洲应该说或者说整个全世界就是对于这种

各种技能比如说包括数学包括绘画包括音乐他们有一个特点就是说这些人往往都是比如说王公贵族啊这些人来养活着他们来炫技用的

真的是这样,那个时候不要说音乐家,就是数学家都是这样,比如说著名的这个历史上著名的这个本努利兄弟这样一些数学大家,他们当时是什么状况呢?就是各自被这个一些王公贵族所养着,然后定期出来斗争,比如说我出一道题你能不能解出来,然后你又出一道题我能不能解出来,

所以你刚才说的巴赫的这段背景就很有意思也有点这个状况的意思就是说巴赫也是我弄出非常高超的这种音乐的技法对吧你们能不能听出来呀对不对这个我致敬国王的然后我给国王听那国王他肯定高兴啊为啥呢

这个说到人性啊就是说国王肯定不能说哎你这不好听或者说我没听懂那国王就太丢人了对吧国王一定得说哇去太好了国王自己还演奏了一段就是感觉国王有点玄机对他自己真的喜欢不喜欢这个不重要重要的是他得表达出来说我是非常专业的理解音乐的我一下子就知道哦

巴赫这个 Kanon 这个里边对位怎么对的然后还有正着反着的还有这个跨越无限无数所有阴阶的对吧这个 Protonus 这个东西然后呢

就这么一个过程所以我觉得这个历史背景挺有意思其实当时全世界也有很类似的地方比如说日本这个围棋为什么后来那么厉害呢也就是日本的幕府时期那些大将军每个人都养着一个自己的御用棋手然后定期就出来打比赛用这个胜负来表达自己的这个荣耀就其实都很像所以这个里边说完这个背景我就回到咱们的正题其实

巴赫这个东西他的技法确实是很厉害就是这个 Kanon 的这个逻辑也就是所谓的对位法这个对位法可以说是当初这个

就那个年代欧洲音乐的一个核心的一个创作法就是我一个曲子比如说演奏了三个小节之后那么在第四个小节引入第二声部的时候它的内容它的旋律是跟上一个声部的第一小节是重复的对吧这个其实就是 Kanon 的最基本的一个原理也就是说他们这些音乐本身客观的说我觉得必须要大放厥词

就是为了炫技用的就是在我直白的点评而言就是一句话不好听

简单的说就是这样就因为它作为一个纯数学的一个构造法就是一个炫技的用处但是其实你说真正有好听的音乐吗其实也没多少我给大家来放两真的是决词了对我给大家来放一个曲子就是这是巴赫做的一个曲子你听一下很简单

OK 这个放完了就是很简单这个是巴赫的一个 C 大调前奏曲也是他特别有名的一个前奏曲这个曲子就是你一听就感觉非常的优美反正我每次听的时候就有这种大清晨起来旭日东升的那种感觉这个后边以后再说了但是这个曲子它其实就是一个很简单的一个前奏曲它不是卡农

它就只有一个主旋律而且就四个音在所有的声调上不断地转来转去就是跟卡农啊跟这些东西一点关系都没有但是这个曲子就是比较好听

然后卡农的那些曲子呢你就会发现它是什么呢就是它是用这种技巧的方式编了各种的曲子出来就是所谓的这种对位法但是它在主旋律上其实并没有一个能够让人一听就记得住的那么一个旋律你知道吧其实你反过来想就是我们接触音乐我们其实也有两个

两个角度一个角度就是我们这些普通人就是非专业音乐人士音乐最能打动你的是啥其实还是那个主旋律对不对其实还是那个旋律那个调调然后但是对于专业人士而言就是像巴赫这种人

他们就在欧洲那个时代炫技用的他们是强调的啥就是我这个曲子的构成以及我对音的使用以及我这个多声部之间的这种配合以及我这种严谨的这种调性之间的这种升降他们比拼的是这个东西所以这其实就引申到我们以前文理两开化聊到过一个核心的概念就是模音与结构

就是取调能在人们之间传播能够流传百世其实是靠的那个旋律那个东西就像人的魔音一样就像一个叙事的故事一样对吧就你听完了你能哼哼你哼哼或者你也放别人也愿意听这其实就是个魔音

而音乐的结构呢就是那种就巴赫的那种比如你的结构是卡农你是复格你是什么什么什么什么这些甚至还出现了就是所谓什么螃蟹卡农对吧逆行卡农无穷升降这些都是音乐演奏或者谱曲的技巧他们其实是音乐的结构所以其实音乐也是由这两部分构成的

就是取掉和它的结构而侯士达他在这个书当中他当然只能强调结构那一部分因为只有结构那一部分才能跟哥德尔不完全性定理才能挂上钩对不对取掉的那个东西它的那个模因是另一个故事那个故事是什么呢就好像我们说比如说哥德巴赫猜想是 1 加 1 等于 2 大家一听都知道了对吧

或者说哥德尔不完善定理相当于是什么呢相当于是这个怪圈自止对吧但是实际上

巴赫的音乐结构当中的所谓怪圈和字指其实不是完全匹配哥德尔不完全性定理那个数学的怪圈和字指在这里不得不说我们要点评一下就是说巴赫的音乐与哥德尔不完全性定理的关系是这就是 GEB 这三者当中离得最远的

但是它是最简单的,就像咱们刚才说,我一上来肯定要讲巴赫,因为音乐是被大家知道的最多的,所以其实你看侯士达所讲的巴赫的当中比如说无穷的循环,其实它不是真的无穷循环,它是音阶不断升高不断升高,然后升高到第八度的时候你会听起来像是一个循环,但它其实音阶是升高了八度的。

而不是一个真的循环对吧真的循环就是它那个螃蟹卡农那个那是真的循环就从头到尾又从尾巴到头了但是你但是你想一想那东西我大放厥词了那东西能叫音乐吗你会觉得那个东西好听吗你会觉得那个东西叫音乐吗所以客观的说就是

真正的是音乐当中它这两部分只有结构那一部分是可以跟比如说数学公式对吧那些东西匹配的但是别忘了音乐这个东西之所以出来它的核心其实还是为了好听然后关于音乐为什么会好听跟数学的关系那就是另外一个故事咱们就后边再讲这就从毕达格拉斯那个时代就开始对就到了认知领域了

对对对所以我是觉得就是他的这个故事很有意思就是用巴赫的音乐来

引出这个里边几个重点就是铜构然后循环这些东西它都映射出来就用结构这个东西映射出来但是其实对于一般的对于音乐理论或者说这种谱曲法不是特别了解的人其实稍微还是有一点点难因为我们平时接触音乐并不接触这些东西

对吧就是你接我们接触的都是曲调都是好听所以不接触这些所以其实就啊把他这个也就当听个故事那么讲你说真正我们每一个人能了解了卡农和富格这些总体结构然后还能够通过他来体会出哥德尔不安全性定理跟他有什么共通之处这个确实是有点难所以反而客观说就是用这个来做引子嗯

铺垫的是挺好但是其实想引出戈德尔不完全的定理其实差的还蛮远你知道吗它是有这么一个特点这是我自己的感觉对对对而且我就明白了很多的就是因为我读这一段的时候就这三段相对比来讲我最容易理解的还是艾舍尔的画儿

就是巴赫我确实是觉得他非常的引人入胜就是从巴赫引进来但是就是你从巴赫开始读然后最后读到哥德尔确实是你的感觉是爱手好像更近然后后面你终于就到了哥德尔就是但我没想明白为什么就刚才为老师解释我我就突然间叮了一声我想明白了他确实是嗯

就是不是严格意义上的对称它就更真的是更像一个影子那如果是这样的话我们就紧接着到这个艾舍尔的画那如果说巴赫稍微有点远的话那这个艾舍尔的画是怎么和这个哥德尔波威定理是离得更近吗或者是怎么对上的对这个就得先把这个我觉得艾舍尔的画因为客观说艾舍尔这个人绝对是他就是真的理解

这个跟哥德尔不完全定理相关的这种逻辑或者哲学思想他才能画出这个画他不是数学不及格确实就是但没关系嘛这个哲学可以就行对这个就必须要我觉得可能就得先铺垫一下这个关于语义学悖论或者说谎者悖论这样的这些内容了其实我觉得这个应该也 OK 因为哥德尔不完全定理反而其实可能来不及铺垫这些内容了就是

归根结底 搁地儿不完先定理其实最早就是来自于我们所谓的这个语义学悖论或者说谎者悖论或者罗素悖论嘛 对吧

那这些东西其实现在我们都很清楚了比如说这是一种关于自治这样一种逻辑但是实际上在历史当中大家对于这个事情认知是有很多的不同观点的就是说历史上大家发现了这种说谎者悖论的这种语言现象之后

会提出各种各样的观点来就是说这是为什么会这样对吧然后呢那我们如何避免就几乎整个人类的这种逻辑思想史都是围绕着就是说我们这个出现的原因是什么然后我们怎么解决那这里边呢就有很多种的流派比如我举这么两三个例子第一个呢就比如说最精确的说谎者悖论呢其实大概是这样就是说

这句话是假的对吧大家知道或者呢呃有另一个相对而言更好一点的模式呢就是两句话第一句话写的下面这句是假的然后第二句话写着上面那句话是真的对吧类似于这个意思这反过来也一样那其实呢很多人就说呢说呃你说这句话是假的

这句话没有什么意义为啥呢是因为当你说到这句话的时候你这个句子一共六个字当你说到这句话的时候这句话还没完你能理解这意思吧就是你写到这句话三个字其实你不是这句话还有后三个字没有写完吗然后你在没有写完的时候你这出现的这句话到底指的是哪一句呢

你指的是这个有六个字的这个句子嘛那其实这就是一种信息不完整也就是说你这个句子还没写完的时候呢你里面的一部分能够指代这个整体对吧这是什么这其实是一个整体与部分的一个错乱不然的话你你写完了它才是这句话吗你这句话还没写完你写了这句话它就指代这句话其实这是一个整体与部分的错乱这是一种逻辑然后另一个呢比如说这个

罗素的这个逻辑罗素这个逻辑呢是说什么呢就是我给自己理发和不给自己理发对不对那么这个逻辑呢它引入悖论的原因呢大概是相当于是说它引入了这个主体与客体的这种混乱

什么意思呢就是一个人给自己理发他不就是既是理发师又是个被理发的人吗那这种现象呢其实就是语言当中主体与客体同一化了其实就是一种自制对吧那么也就是说只要是出现主体与客体的这种同一化那么其实就是自制比如说我吃苹果我是主体苹果是客体那没有这种同一化那就不存在自制所以说呢

就是大家分析这种语义学悖论呢就有很多的这种流派或者很多的原因就比如说信息不完整就是这个部分与整体的混淆或者说主体与客体的同一就类似于这样的一些东西就出现那么大家就在讨论说那这个东西我如果能够避免它那么就可以解决语义学悖论这就是整个语义学悖论的一个发展脉络吧那么实际上呢

这件事情呢,就出个问题,就是比如说主体与客体的同一化,那在这个现实世界中它本来是存在的,一个人真的是可以给自己理发,你不能说我人类干一切事情,主体与客体必须不是同一个才行,那我真的想给自己理发难道就不行吗?因为实际上我在中学的时候就经常给自己理发,

真的是我不知道是不是小学时候看了理发师悖论产生的这个毛病啊开玩笑但真的是这样我上中学的时候老给自己理发 anyway 这个不重要也就是说实际上呢有时候我们又排除不掉这些导致于医学悖论出现的原因这个恰恰就是于医学悖论就是既违背于常理但是又无法被彻底赶出去的原因嘛对吧那么这个时候呢

埃舍尔的画呢就精确的体现了大家的这些发现比如说左手画右手

你左手画右手呢你就会发现这是一种什么呢这其实类似于主体与客体的一种混淆就是说按理说一只手在画画那么就是这只手是主体那被画的那个东西呢是客体结果呢画上一看哎这那个被我画出来的手还在画我对吧所以呢他就通过绘画的方式呢就体现了这种语意学悖论的这个产生的原因的这个形态对吧这是一个模式

然后还有呢比如说这个整体与部分就是我们说整体与部分混淆那么其实就有点像那个画廊那个东西你看到吧就是我这个画廊画出来的画

结果这个画是放着我们这个画廊的那个城市这个呢就是混淆这个整体与部分的这个关系也就是说整体与部分可以互相隶属这其实就是这个罗素悖论啊或者是语义学悖论的这个特征也就是说实际上埃舍尔他是通过绘画的方式真的就是画出来了语义学悖论的种种形态

产生的原因那包括这个拿着这个水晶球的这个画家嘛对不对这其实也是无穷循环的一种整体部分的一种无穷循环无穷圈套所以其实从这个角度来讲你就看出来就是埃舍尔的画他就跟巴赫的音乐就不一样他就是真的用画的方式来直指这个我们思维当中

所产生的那种其实在现实世界当中不会出现的那种怪圈就大概是这么一个逻辑所以其实埃舍尔的画呢应该说他真的就是有意而为之否则的话他也不会那么巧就真的画出这个东西来当然了埃舍尔的画这个

還有一個證據當然就是說埃什爾實際上是個現代人就是他畫很多畫的時候這個哥德爾不完全定理早都已經產生了嘛他其實是個現代人所以你說他是因為看了這些語意學的成果哥德爾不完全定理的成果以及這種

逻辑的成果来去画这个画的也是大概率的事所以他的这个画就跟哥德尔不完全性定理和《俗医学悖论》的这个关系就特别直接了当然这里边我还最后再补充一句就是他的画也不止于此比如说他画的那种黑夜与白昼包括这个瀑布那又是另外的一些逻辑了也是很有意思的跟《俗医学悖论》有那么一点点关系但是也不一定完全这个我估计后边

聊到很多章的时候可能都能够都能够聊到这个事嗯嗯

对对这么一解释就非常非常有意思了这是不是其实也可以从一个侧面来证明实际上艺术反而是能够把这种抽象思维最容易让大家理解的一种表达方式对就是魏老师其实你是把很多的悖论就是艾舍尔的画中表现的悖论的背后的原因因为从这个画上的感觉其实你一看你就能够看出来就是艾舍尔画的是他在画悖论

就是我不知道魏老师玩过一个游戏叫做这个 Monument Valley 就它是一个手游它的这个灵感就来自于这个艾舍尔就整个它这个游戏的画面就是那个城堡上升与下降的那幅画就是一个一个队伍往上走然后拐了四个弯又回到原处然后它就是一个楼梯既往上又往下是吧就是它从质感上你就能看出来然后包括像画手画两只手然后包括就是那幅最著名的就是书里边和是大家用大篇幅写的那个画廊

就是一个看画的人看的画就是这个人在看画然后看的画呢里边又是这个人在看画所以他就是一个无限循环在里边的的的这么这么一种感觉画廊那幅画

但是呢这些话他用视觉的方式表达出来让你一看你就知道他在画悖论我不知道别人呢但是我从直观上我一看我就知道他在描述一种就是正常理性就是在现实生活中很难看到的东西就是他在描述一种悖论但是从视觉的感觉呢比

我就相对于更容易理解就比你跟我讲什么是罗素悖论是吧大多数集合不会包含他们自己有些集合包含自己然后这样的集合导致逻辑上的矛盾然后我得想半天就是我得想一个有一个集合然后它包含所有的集合

然后他自己事业也包含他自己呢然后就是如果你跟我讲罗素悖论或者甚至用一些数学方法证明我感觉就更加的抽象包括这个说谎者悖论因为戈德尔他也是用数学的方法来把这个说谎者悖论变成了一个用数学公理来证明他不可能证明的一个东西吧

所以说我的意思就是说我不知道是不是文科生思维还是怎么样但是我觉得相比较于音乐还有这些数学这些悖论的表达方法来讲就是从艺术从直观从视觉上反而是最容易理解这些悖论的一个方法

所以我才刚才说就是这三个人中如果说大家是在侯士达试图在表达同一个这个逻辑的话或是表达同一个与这个哥德尔相关性的话那我觉得对我来讲艾舍尔我是通过看他的画我其实是相对来讲更容易的理解一些这个哥德尔不完美定理的一些内容对其实说实话就是

我觉得绘画这个东西啊因为绘画其实是视觉嘛对吧然后呢这个音乐其实是听觉从视觉的角度来讲

它体现的这个信息量应该说比音乐还是大一些就音乐你基本上相当于是个线性的你可以认为是个一一维的东西因为它就是个时间先后嘛不同的发音对吧你最多可以认为说多声部可能有点立体性但其实还是个一维的东西但是绘画其实已经是个二维的东西

二维的东西呢第一它本身表现力就会强很多就我们说这个左手画右手你说在音乐里你能表达这种自制性吗表达不了对它信息量更大然后还有一个更有意思的事情就是当它提升了一个维度的时候呢

它就会去跟三维产生一个关系对吧就是我们把三维的东西画在二维上所以呢你就会看到埃舍尔的那些稀奇古怪的比如上升与下降啊比如瀑布啊它的这种矛盾点这种所谓的怪圈其实不就是把三维的东西画到二维上才会导致的这种矛盾吗

对吧其实这个东西呢也是应该说更深层次的哲学理念是存在的就是说其实整个包括哥德尔不安心的定理啊其实他们都有这种特征就是我们想用更简单的东西去表达更复杂的东西的时候其实它的表现力是不足的这种表现力不足可能会可能本身就是

悖论产生的一个原因这是个很有意思的事可能等会我们就会聊到这个话题那我们就现在就聊吧就开始到了戈德尔巴赫和艾舍尔讲完了然后我们就到了魏老师的精神图腾戈德尔就为什么说他是魏老师精神图腾呢因为你不止一次提到过他而且还把自己的头像换成了他但是当然微信头像好像又换回来了

所以我觉得戈德尔好像是一个对魏尔老师非常重要的人但是就我们一会请魏尔老师来仔细给大家讲一讲这个戈德尔但我觉得就是说到戈德尔呢我看过没看完我看了一半因为我上次写了一篇文章写完之后有人给我推荐这本书我就看了大概三分之一就是戈德尔的自传

然后其实我觉得说到戈德尔他的伟大之处呢可能就不能不提到这个数学曾经出现过的危机一会儿我们会聊到这个话题就是我就觉得 30 年代以前的这个数理逻辑史还有这个数学基础的大厦都曾经被他推翻过所以我觉得这是一个非常不得了的事情就因为准备这个节目或者是为了让我更方便的读懂这一批我读了一些相关的这个数理逻辑史的内容我就觉得非常非常有意思

我觉得 30 年代以前的这个数理逻辑史仔细琢磨就非常非常的有意思还有很多的细节甚至可以和现在的某些比如说 AI 人工智能的发展联系起来我觉得整个这个数理逻辑史当然我说的可能不对啊外行不是理科生不要老是指正

我觉得一切都是从一件事就是从一个努力就是大家试图把这个推理的思维过程变成机械化就这个努力开始的我觉得这个甚至是也许可以作为整本书就 GEB 这本书整个计算机人工智能使的一个不能说中心思想吧但可能是一个脉络就是大家试图把思维变成一个机械化的方法

但是问题就在于中间为什么之所以出现了很多起伏或者是矛盾就是在于整个这个思维过程它到底能不能真的被机械化出来或者它能不能真的是写成算法甚至是这个有可能跑偏了这个为老师指正就是

甚至是有可能涉及到现在的最近比较火的话题那个 scaling law 之争嘛就是 scaling law 现在是最 hot 的信仰大家觉得因为 openAI 的成功只要把这个模型做得更大他们就能够发挥更好的作用如果我们有一个非常大巨大巨深的神经网络我们有大量的数据在上面训练我们就是大力出袭击就可以解决任何模式识别的问题

嗯但是最近嗯就开始出现很多不太一样的声音但这个声音一直都有那最近有一篇刷屏的文章就是香港大学那个马俊博士嗯他那篇文章就说如果你相信只靠 scaling law 就可以实现 AGI 那你就该改行了就是

就这篇文章是比较火所以呢就是这种不一样的声音就是说如果我们把未来压住在 scaling law 的话呢它是一种盲从就是现在的深度学习的网络本质上都是低位结构它就是做压缩各种压缩所以它是试图找到数据之间的相关性和规律

但是它压缩了天量的知识且现在面临一个问题就是人类留下来的信息和知识很快就要被用光了那么甚至现在大家开始想是不是能够用 AI 自己制造知识和信息做原材料但是呢就是知识它是不等于智能的只靠大力出奇迹扩大模型可能不是正路所以呢现在大家在讨论需要探索一种新的方法

但这种新的探索呢似乎又回到了侯士达那个问题他一直是在问到底什么是人类的思维到底是什么智能我们到底搞清楚了没有我们到底就是理解透了没有好像还没有那这个时候现在的这些人工智能应该都不是真正的人工智能就是这个扯远了就是我觉得这一切呢因为

读这段数理逻辑史然后读戈德尔还是觉得一切还是跟他非常相关的因为他我不知道理解对不对他好像应该是颠覆了一种一切思维推理都能被形式化公理化机械化出来的这种理念颠覆了整个原来 30 年代前后建立起来的数学大厦的这种基础的理念

对所以呢就是问问魏老师为什么魏老师这么欣赏戈德尔以及就是戈德尔是不是他的最伟大之处是在于推翻了这种数学大厦的基础那背景又是什么呢嗯

先简单说说戈德尔吧,然后我们就讨论整个这个背景呗。其实我喜欢戈德尔这个主要原因,我觉得其实比较简单,就是因为从小看他的东西,就是小孩嘛,你懂的,就是那追星族也都是小孩的时候才追星,对吧,长大了可能也就不追星了。就是说从小就看到这个东西就觉得非常的,

奇特,因为那个时候多多少少数学啊什么这些东西也懂了,就像上一期聊的,对吧,就包括说还跟初中同学一起聊这个话题,那个时候就能够理解到说感觉上这应该是人类思维领域最巅峰的一个成果了,当时就是其实就是这种感觉。

所以就一直所以就一直喜欢这个东西就是因为我因为后边也看了 GEB 包括我包括学习数理逻辑公理集合论数学基础所有这些东西有些是在学校学的有些很多都是自学的本质上就是喜欢可能跟

有些人喜欢音乐有些人喜欢绘画一样就是你可能本质上就是喜欢这个东西就是喜欢这种逻辑思考然后喜欢这种不管叫数学基础啊或者叫哲学底层的逻辑或者第一性原理就 whatever 什么东西其实本质上还是因为喜欢这种思考的方式

所以当然就对于在这个领域里具有这种思考方式的人并且是做出过这么神奇的这个作品或者说成果的人当然还就是比较钦佩其实倒没有什么其他的领域其他的什么特征当然不是以前你还记得我原来在

这个听友见面会上还开过玩笑吗我说这个我是不是有可能是哥德尔转世灵虫啊对吧对开玩笑这大概都是小时候的一些一些想法对对对那所以我觉得大概就是这样所以也就会变成自己的一种追求吧

当然这种追求确实在现实世界并不一定很好对吧这个因为某种意义上讲你要做这种事情的话可能还是得

专门的去做,然后没有任何的这种不管是经济上的压力还是社会的影响,专注于一个这样子的一个思维领域的推进,我觉得这可能是我追求的一个目标嘛。当然现在也不可能变成那样一个专业工作者了,但是就是这种思考的思维模式可能就一直这么带下来了。

所以这样的话也就比较喜欢没事经常用用哥德尔的头像作为自己的头像就类似于这样的意思对这个倒还好吧你就可以理解为一个追星的一个行为对

呃魏老师追星哥德尔的过程那我刚才问的那个问题呢我前面还铺垫了一大段就是说他的特别之处或者他的伟大之处因为说到他的伟大之处其实我的角度是觉得如果我们只是说啊他发明了哥德尔不外义的理念嗯

这句话听起来就没有特别的对我来讲就不能够太体现他的伟大的伟大之处反而是从他的这种思想或是他提出的这个定理究竟是为什么这么颠覆或者说在当时他提出来的时候为什么大家觉得这么这么 shock 我觉得这个才更显示出他的伟大之处对所以我就铺垫一大段是本来是想让魏老师跟我们讲讲这个三十年代前后这些数理逻辑史还有到底是出了啥危机

没错,这个话题确实就是比较典型的数学史的话题了。我先讲一下所谓的第三次数学危机,其实本质上都是这么一个话题。就是数学历史上一共有三次危机,

可能大家要了解第一次其实还是毕达格拉斯学派发现无理数的时间点那个东西也很有意思后边我们讲到音乐的时候就是会发现历史又闭环了很好玩

然后第二次数学危机当然就是牛顿来做他物理学的时候他使用微积分的过程当中有很多不严谨的地方什么无穷大无穷小一大堆然后后来才被分析学给搞定不然就会出现那种各种奇异的结论就跟语义学悖论似的随便乱用无穷大无穷小就会出现各种问题就第二次数学危机

那两次危机呢它的性质还是有点差异就第一次危机其实是通过扩大人们的认知领域解决的也就是说你觉得无理数很无理对吧就是很奇怪但是最后人们认知就说我接受了无理数就是这样一种特殊的数就把它扩大了就解决了

然后第二次呢就有点反过来就是说你不能天天扩大呀对吧你又接受无穷大又接受无穷小然后随便乱用这肯定不行所以呢第二次数学危机呢其实是用缩窄的方式解决的也就是说我们要把无穷大无穷小这样的概念用现有的其实就是极限的方式通过一个数列极限的方式

用一套逻辑给它定义出来在这种状况下呢就把这个无穷大无穷小可以说就关进笼子里了类似于这个意思啊就是我们用一种严格的数学语言来关进笼子里那么到了第三次数学危机的时候呢恰恰呢就是这么个情况就是人们

以为说可能像无穷大无穷小所有这些乱七八糟的现象都已经被关在笼子里了那么我们只要把这个笼子建设好其实就是所谓数学基础你也可以叫地基把它建设好之后呢那整个的数学不就完全就清晰化了吗也就是说我们全世界我们要保证全世界的数学家讨论的都是一个东西我说一个什么数学定理的时候呢你也能完整理解它的意思

所以到了那个时候大家就以为说我们的数学基础比如说那时候的就是康特发明的这个朴素集合论然后还掺杂着一些也是比较朴素的数理逻辑就那个时候数理逻辑也没有成为一个单独的学科反正就这些东西大家觉得不错了就可以了然后所谓当时第三次数学危机的引发

他写了一本叫算术基础的书其实意思呢就是说

我们认为数学的基础已经很完备了其实就是集合论用集合导出 12345678 这个自然数那么就把整个数学基础奠定了已经很好了这就是跟当年同一个时代不是物理学也是这么讲的吗就是说物理学的所有的理论都已经完善了以后我们只能小数点后第六位去寻找真理了就那个时代就是整个 1900 年代大家都是

对于数学对于物理学都是这么个认知嘛结果罗素呢不就搞出了一个理发师悖论就说 Frag 这个东西呢

是不错集合论看着很强但是呢我给来一个这个所有的不属于自己集合的集合对吧就是理发师悖论年轻的罗素同志 1901 年的时候干出这么一个玩意来然后呢就让弗雷格同志痛苦的说哎呀我这刚建好的数学大厦就被你给摧毁了

就是这样所以实际上呢第三次数学危机就是一个结论就是说当时人们以为数学已经很清晰了已经很明确了那么结果一发现不是被罗素给干翻了那大家就又在讨论啊就像我刚才介绍这个语义学悖论似的就是那大家在想啊这个问题出在哪儿对吧语义学悖论不就是什么信息不完整啊什么主主课题混淆啊等等等等这些东西

然后呢那么数学危机第三次数学危机呢就诞生所谓三大流派我想小跑老师可能听过就是我们要解决这个类似于罗素悖论这样的东西就出现三大流派就是所谓逻辑主义形式主义和直觉主义

逻辑主义呢就是罗素本人啊他是逻辑主义的坚定支持者因为是他在发现了逻辑悖论嘛那你这个不能不能不负责任对吧就是你你自己挖的坑你自己得填就是罗素同志呢就是说哎我认为这个逻辑学这个东西是

绝对不会有问题的就是罗素贝论只是说这个集合论还不太完整但是逻辑学就是我们说的这个命题逻辑为词逻辑这个以后有机会再解释吧我就先讲这个背景就是说命题演算为词演算这套东西是完整的他认为呢如果这套东西是完整的并且无矛盾的并且是绝对完备的那么我们只要用它来推出数学那么数学也就

完备了也就是说我不把数学建立在这个集合论的基础上我就直接挖到更根上第一性原理就是逻辑对吧因为我们人类几千年来也是用逻辑思考的嘛既然我们人类用逻辑思考而且人类发明了数学那数学显然就是奠基在逻辑基础上的这么个东西嘛这个其实是很容易理解的一种学派了

所以罗素就写了一个数学原理,还比照先贤,特意把牛顿的自然哲学之数学原理,后边的数学原理给他取出来,管自己名字叫这个,英国人嘛,就喜欢干这事。然后这本书论证的就是我用逻辑,就是用命题演算、位置演算,一定能导出数学。于是乎就诞生了著名的论证,

在这个数学原理这个第一版的时候呢他在第 379 页啊这这数因为好比较好比较好记啊就不是比较好记就是记历史的可能都会记住这个数就是在他第一版的第一卷第 379 页里边终于写出来说如上所述啊根据这些结论证明出 1 加 1 等于 2

这就是罗素同志的逻辑主义的一个著名的论证然后呢那你想这东西拿出来之后数学家一看这哪行啊对吧这个据说有数学家我忘了是庞加莱还是外尔因为我后来没查到这个信息就是说给他酸酸的点评了一句说这是一部伟大的著作献给那些不知道 1+1=2 的人

就是讽刺他对吧就是但这就是历史背景了这先说完了等会再说到戈德尔然后第二个就是所谓形式主义形式主义呢就是代表人物当然就是希尔伯特了大卫希尔伯特这个实际上在侯士达的这个序言当中明确提到了

就是说希尔伯特说呢说这个东西啊有个问题说其实数学的这些证明不就是一堆符号的操作吗对不对你这个就是因为所以什么第一个公式推出第二个公式这样证明就是一套逻辑规则如果我们不要考虑这个数学的意义就不要考虑什么 1 是代表什么一个苹果还是一张桌子没有必要考虑这些事

我们也不用考虑微积分是什么什么什么你是气墙用的还是酸导弹用的用不着我把所有公理都确定好了就行了就是一堆形式符号那么公理的意思就是我就给 6 个或者 5 个公式这就是初始的形式符号然后用这些形式符号推出所有的数学定理

那这事不就齐合了吗你先不要着急说它的底层意义是什么因为罗素就等于说我追求数的底层意义是人类的思维是怎么产生 1+1=2 的希尔伯特说不用我们就是一套符号的规则这套符号的规则其实

也有点像现在的计算机吧类似这个意思总之呢希尔伯特的意思呢就是说我有一个形式的系统呢我推出这个所有的定理这事就了了但是呢这里边就有个严重的问题就是其实侯士达在这个序言当中讲就是说你如果不去看数学的这些符号都代表什么意义的话那么你的这个一套形式符号你怎么保证自己

既一致又晚辈也就是说你怎么能保证自己里边不会出矛盾又保证自己是所有的命题所有的定理都能证明出来呢对不对这就像是你揪着头发把自己往上拎吧就是你证明不了自己的正确性你光说这套符号它就是正确的那有啥意义呢你不还得诉诸于它的实际的意义吗对吧

就像比如说罗素就诉诸于逻辑的思维或者说呢你就是说比如说对于物理学而言那我诉诸于说我这个数学符号其实还是跟现实世界有对应关系我才计算这些东西所以希尔伯特呢他遇到最大的问题就是我摆弄出一堆形式符号我怎么能说明自己这套形式符号就是对的所以呢希尔伯特就提出了一个所谓的纲领就是说这没关系我们大家不都知道公理的意义吗对吧就是有五个公理就能推出一切

那我们有没有办法说我们同样用这五个公理用点什么招数能够证明自己是一致且完备的他就提出这么个东西那这个东西大家一看这就不靠谱这就纯粹是循环论证出来对呀循环论证你这就循环论证就是揪着自己的头发拉上去所以这个事情他就变得也不太行就大家觉得这个也不行

那么于是乎呢还有第三派的人第三派的人呢其实就是这个所谓的

直觉主义这个直觉主义呢客观说就是绝大部分数学家的观点因为数学家就是我们就是做数学的对吧我们拿了数学还能干别的还能做物理还能做什么工程我管你这个数学底层是怎么来的对吧你不要瞎讲说一会儿又是从逻辑思维来的一会儿又是什么纯粹一套形式符号不用管意义我们不关心直觉主义的这个著名论断应该是庞加来做的就是说

自然数是上帝创造的其他都是人为的也就是说他不认为说数学还有什么根源自然数就是自然数它就是自己的根源不能再追根源了再追根源就是罗素这种对吧连 1+1=2 都不知道的人还得先读 379 页书才能知道 1+1=2 吗不可能的所以说数学家们普遍其实是直觉主义的支持者

那这里边问题就来了但是直觉主义这个事儿好像它没有论点就是说它没有体系你理解吧因为形式主义和逻辑主义都有体系啊对吧说的都很头头是道逻辑主义说你看我写这么厚一本书证明数学是从逻辑来的然后希尔伯特呢说你看你们再怎么折腾呢你不过也都是在操作这堆形式符号吗那我把形式符号搞利索不就行了

直觉主义的意思就是说你们说的都不对那个数就是数那但是他们呢就显得好像没有什么特别成套的体系就不如前两者高大上你知道那这个时候呢戈德尔就横空出世了他自己怎么想的客观说我也不知道上次咱们聊到过就是说他受到逻辑实证主义的一些影响这是肯定的因为他参加维也纳小组嘛

但是按理说你说逻辑实证主义是不是应该偏向逻辑主义呢这种可能性是比较大的因为罗素就是逻辑主义的这个奠基人嘛然后维特根斯坦写的这个逻辑哲学论其实简单的说就是一个初等的一个数理逻辑的这么一个论述所以按理说他偏逻辑是应该的因为他自己就是个数理逻辑学家嘛但是呢他本人确实

更倾向于说就是逻辑实证主义这点就是这个特征就是说

你们说的这些都是一些哲学观点对吧这个包括罗素的这个逻辑主义你别看你写了这么鸿篇句质你就论述个一加一等于二这听起来这好像也不太靠谱说我们不要去老谈论这些哲学观点这也是维特根斯坦的想法嘛就是说不要空谈那你们说的这些都有没有精确定义啊能不能事实证明啊所以戈德尔呢

他就另辟蹊径我相信从这个角度来讲呢他是支持直觉主义的也就是说我们不能再去假定一这个东西是基于别的东西那么我反过来理解就是说

你罗素既然认为逻辑能诞生数学 OK 没问题 我假定你是对的那么我有了数学这个工具之后那我就可以做所有事了吧所以戈德尔就发明了他的著名的所谓戈德尔数的这套体系也就是说他把所有的逻辑的语句能够编成数学运算也就是说

它的最核心是说把语句变成数这是第一步第二步是把整个一个证明过程变成一个计算方法这其实就是现代计算机的前身了可以这么说它做了这个东西之后就直接得出了一个

结论就是所谓哥德尔不完全性定理哥德尔不完全性定理的原始论文就是说罗素的数学原理构造出这套体系当中会存在这么样一个命题就是见风直指罗素的数学原理说白了就是用出来挑战罗素的数学原理的所以他这么一搞之后呢大家就发现了一个问题就是说假定

逻辑能够导出数学的话那么数学就一定反过来导出逻辑上的一个既不可证伪也不可证实但是又是真的命题而这件事情是逻辑上自己导不出来的然后它也很难接受

对吧就是你从逻辑思维的角度你很难接受这样东西的存在而且你从逻辑的角度呢自己导不出来这个等会儿我说一下啊这里面其实就隐藏着哥德尔不完全性定理的一个最核心的一个一个结论其实可能大部分都不太了解就是说我们先说完这个事啊就是说从这个角度来讲呢

罗素就会发现说,哎,说那照这么个角度来看的话,那我这个关于所有的东西都能够从逻辑导出,并且还既是一致的无矛盾的,而且也能够完备的这个理论就站不住脚了,对吧?因为我一旦导出数学,那数学就会当中存在的这样一个不完备的东西,在这个角度看呢,OK,那我这个逻辑导出数学的这个大厦也是刚建好就,

崩塌了就像是我当年看 Frag 写的那个算术基础之后就抛出了一个朴素集合论当中解决不了的问题把人家搞塌了一样现在这个报应了就是我搞出这么大大东西也被人家给搞塌了所以呢从这个角度来讲呢就是其实逻辑主义就被哥德尔不完全性定理给否定了然后呢紧接着这个事还没完

就回到下一个话题就是哥德尔不完全性定理既然引出了这么一个命题之后呢它就存在另一个形式就是说所谓的哥德尔第二不完全性定理其实这是一个形式上或者哲学上的一个元数学上的一个定理就是等于是说任何一个形式系统它也不可能就是任何一个可以导出

数学的形式系统它也不能证明自己是一致且完备的因为这就很简单了嘛如果你能证明自己是一致且完备的那你就是一致且完备的咯那你怎么会包含戈德尔的这个不完全性定理当中存在的这个命题呢所以其实所谓的戈德尔第二不完全性定理就是把形式主义也干趴下了

就是希尔伯特说的我想用一套公理还能够导出所有的定理不说我还能证明我既是无矛盾的也是完备的这件事也搞不定了呀对吧因为你如果能证明自己你跟戈德尔不完全定理也是矛盾的所以等于戈德尔就用他的这一套东西就是同时把逻辑主义跟形式主义给干趴下了那我们只能说结论就是

那数学是属于直接主义的也就是说直觉主义是对的也就是说 123 上帝造对 123 这个东西它不依赖于其他的东西而存在它就是人类本身的直觉

好的,刚才魏老师整个的数理逻辑,还有就整个这一段一二三次的数学危机的这个过程讲得非常有意思,我都听入迷了,其实这么听,就用这个魏老师这种评书的方式一讲,反而是比看书是更清晰了,而且非常非常的生动,我觉得实际上因为我的理解不如魏老师这种专业的学数学的这个专业人士这么清晰,但是我

我在读的整个过程中从我的这种文科生的头脑的理解我就觉得整个这个过程是非常有意思的整个一二三的危机然后最后联系到我们想跟大家讨论的哥德尔我有这么一种感觉我是觉得自从人类发现就是自己和其他动物最大的不同就在于咱们有推理的能力

自从人类发现这一点之后呢好像这个历史上就许多聪明的头脑就突然间开始大家都在想那既然我们跟动物有这种不同有逻辑思维逻辑推理的能力的不同那我们能不能把这种推理过程机械化呢或者是把它形式化呢我不明白为什么聪明的人都喜欢把东西形式化

我觉得刚才魏老师也提到这个比如说从几何非欧几何就是一个挺好的开头他就是我觉得我感觉他就是世俗在挑战原来的几何学世俗在挑战形式化但他也只是一个很小的开头

在后面就是各种更聪明的人与更聪明的方式更严密的方式各种形式化的反扑好像李科生和数学家们都很迷一种试图可控的机械化的方法总觉得人类语言或者是思维还是不够清晰不够严峻反正我们一定要更清晰更准确更机械化

然后才出现了刚才魏老师提到这个希尔伯特他说那句话就是自然科学不可能存在不可知一切都是可知的所以我们必须知道我们必将知道就不是他特别有名的一句话吗所以好像刚才也就像魏老师说的好像只有我们把这个数学中的所有公理都确定好了然后后面的事就代他修修补补就行了肯定没有大问题反正我这个数学体系建好了至少在数学里我就没有我不知道的事了

但是呢还是戈德尔横空出世刚才魏老师给大家详细介绍了戈德尔不完美定义一和二就基本上是一个在当时的这种试图形式化的努力中我自己感觉是一个非常大的颠覆

而且呢就是如果从后来我们又转到了这个直觉论所以说如果我们真的是用戈德尔的眼睛来看世界呢就好像把这个整个世界画一大圈就不管有多大即使是你把整个宇宙都包括其实你也没有办法把所有的真理都包进来里边总会有一些人类数理逻辑思维没有办法解释的内容

那圈外是什么呢那一定是人类理性思维局限之外的存在就是所有的数理逻辑自然规律人类我们已知的已知中所有的不可知那是圈外的所以呢那是什么呢那可能只能是上帝或者是神所以说这圈可以花的无穷大但是这种不可知的东西我们所谓的这个上帝呀等等这个数到底是怎么来的等等可能永远在圈外所以我觉得整个过程非常非常的有意思

对其实这个正好刚才我补充一下刚才有一个话题没有说到的很关键的一点其实人类的这种思维逻辑还真是一个怎么说真的是一个晚辈的东西也就是说整个的人的逻辑思维就是我们所期望的那种一致且晚辈的东西

也就是说逻辑思维真的就是第一自身可以做到完全无矛盾第二所有的逻辑上的真的命题一定都会被我们证明这是逻辑的一个特征这个特征呢其实也是戈德尔证明的这就是特别神奇的一个地方就是戈德尔在证明所谓的戈德尔不完备性定理之前的

大概两三年的时间还证明过一个戈德尔晚辈性定理这个定理大部分人是不了解的因为这个定理不是特别

有名的原因是因为它基本上就是在前人的成果上很简单的就证明出来了但是这个完备性定理讲的是什么呢讲的就是我们的这种一阶逻辑也就是所谓命题演算为此演算这套系统就是一致且完备的也就是说既不会出现矛盾也能保证所有真的命题是完全都能证明出来也就是说不会出现

逻辑悖论不会出现这种怪圈那这个定理出来以后再加上不完备性定理它们两个加起来才能够得到刚才说的那个直觉主义的结论也就是说 12345 这样的东西它是不能被逻辑所包含的

就是这两个定理加起来才能得出来因为逻辑本身是一致且完备的但是包含了自然数之后就不能做到一致且完备了那就是这个自然数就一定不能被逻辑所推出来对吧其实是这么回事所以刚才

小跑老师说的这个事就很有意思就是人类其实还没有特别狂妄人类对于自己的逻辑思维的认知还是挺厉害的他真的就是对的就是没毛病的但是问题就来了因为自然数是个人类逻辑思维之外的东西它是上帝植入我们的大脑当中的是我们本性当中

超越逻辑的那一部分是这个点才让这件事情变得最有意思所以从这个角度来讲呢那就是个最有意思的事对可能就是个怪圈也就是说怪圈其实是存在于数学当中而不是存在于我们逻辑当中这是个非常神奇的东西就是戈德尔揭示的这个不完备性定理的最根本的哲学意义其实在这里

对的对的这个就非常非常有意思因为我们刚才也聊到过就是其实戈德尔是受这个说恒者悖论的这个启发他是把这种自制的方法用到数学的引述中就相当于是他把这些我们平常说的这个什么脑筋急转弯啊悖论啊他转化为数学的形式他就构造一个特殊的数

这个树就哥德尔树但它这个树是个自然树然后呢就是所有的定理公理就刚魏老师说的还有命题都包括整个的证明过程都用一个树自然树来表示只要一个自然树能够用来代表就是一句话或者是用来代表语言陈述那么这种树论陈述就可以是关于一个

就是它本身的你就可以用这个数来代表就有一种指涉就是这种陈述数论的陈述就可以是关于一个数论陈述的陈述这个说的太绕了不知道表达清楚没有然后呢就用这种方法就是把说谎者悖论就转换成数的表示方法数论形式的方法

那么他就能够找出一个就是在这个刚才魏老师说数学原理中不可证但是却是真的东西然后就说明了这数学原理中的系统是不完全的就是这种真的是像魏老师说因为你把数引进来了那么在一个形式中也许人类的思维人类的形式它本来是一个严谨的逻辑但是由于我们需要用这个数来证明一些内部为证且不可证明的命题我现在已经说晕了

不知道魏老师还能不能就是理解我的意思就是所以说他接触了这个数学基础的不完备性

所以这种方法呢我现在已经把自己说晕了但是总而言之就是戈德尔定理对当时这些建立这种数学基础的这种逻辑学家数学家甚至包括哲学家他们产生的影响我可以感觉到是相当的震撼的还是非常的就甚至是所以说很多人把它拿跟量子力学来相比就是他们的革命性是基本是一致的就是是能够理解的

对其实从这个角度来看戈德尔他只不过证明了一件事就是其实数学是严格强于逻辑的就用数学语言的表达来讲就是这样就是数学其实是可以导出逻辑的对吧因为戈德尔不安全性定理就是这么一个证明过程就是我把所有的逻辑符号编成数然后让他们相互运算就可以把整个逻辑当中导出来但是逻辑却导不出数学来

因为逻辑本身是自洽的但是数学却是存在着这种看上去不自洽的东西所以从这个角度来讲就是数学才是怎么讲数学有可能才是万物之灵的一个特征就是逻辑有可能不是这个其实我们后面还可以再仔细聊一点我其实还是真对就是这个就是这个直觉主义必须要比较了解

对比较了解这个哥德尔不完全性定理的特征以及直觉主义的这种观点对才能够对我们可以深入对是的是的我我写过一篇特别短的文章就是跟直觉主义其实是有点关系的也就是我刚才论述的那一段就是这个圈之外的东西到底是什么其实我非常想听听魏老师的逻辑就是说甚至是包括我们怎么证明上帝是存在的还是不存在的

那么它跟直接主义是一个什么样的相关我觉得那个讨论是会更有意思的那我们可以把它放在这个后面未来的几期

我们今天本来还是还留了一个话题就是讨论一下哥德尔不完美定理和图灵机就刚才魏老师提到过他们之间的就是相关性以及想聊一聊人工智能的极限但是我这眼看就俩小时了然后我觉得大家经过今天的讨论也开始有点意识到就是读这本书的难度至少是对非理科生来讲但是没关系我们可以把这些有趣的话题在未来的集中慢慢跟大家讲

要不我们今天就先到这让大家消化一下这个哥德尔 OKOK 我这正好那这里补充一个点啊也作为以后的一个引子吧就是今天其实看这个就是侯世达的这个序言其实他在里边已经提到了所谓同构的概念这个同构的概念呢客观说啊可能

其实才是贯穿本书的始终的最核心的概念我想有可能得后面找一期专门来聊这个话题也许结合某一章或者结合某个话题对那这个事情为什么重要呢其实跟小泡老师刚才提的那个问题其实是很相关的正好就用这个同构的概念来解释一下其实数学家们

他们也不是特别就是嫌疾无聊就是说我为什么非得把那个整个这套计算方式给它逻辑化就是变成计算机那样子你知道就是说因为特简单的机械化就行而是说就是因为历史上这几次数学危机当然也包括物理学危机让这个人类呢也有点不自信

就是说我们讨论这些数学问题会不会是因为我们相互之间有什么误解就比如说我们说的这个词不是一个含义对吧就像语义学悖论当中的各种各样的原因似的其实都是莫衷一事也就是说大家这种机械化的倾向主要的还是为了让大家能够理解起来

更方便就是至少能够让两个数学家在聊天的时候知道他们所有的话都是一样的表达的是一个意思那这个方案最简单的就是那我们就不要依赖于人嘛因为你要不然你说中文我说英文这个东西搞不好翻译给我们翻译错了那咋办呢所以其实就是追求这种形式系统是啊就很迷的一点就是大家对这个准确性

嗯的追求理科生是非常这个明显的就是尤其是数学家理科生包括威尔老师在聊天的过程中也可以感觉到

对不然的话我们就非常担心因为我们产生误解导致这个数学当中或者其他的学科因为绝大部分学科都会用到数学嘛如果我们这根本产生了误解这个定理其实我说证明了你一看可能也不是那么回事然后你认为我没证明对结果发现是翻译的错误那咋办呢所以其实最后大家就想说我们这套形式符号这套整个推算的过程

根本不依赖于人就不像是当年牛顿那样我弄出个无穷大无穷小然后随便用这种模式从这个角度来讲呢其实这就是不管叫数学家还是理科生用来希望这件事能够 work 的一个根本的动机而这个东西其实就反映了背后一个底层的逻辑就是能够就是希望我们两个人之间的

交流其实是在我们各自脑子里产生的这个结论是一样的这实际上是同构的一种类型这个咱们就以后可以再聊一聊

好的可以聊但是这种我就再加最后一点就是那么这种理念呢实际上反而是被文科生比较抵触的或是比较抵制的因为刚才 Will 老师讲的这套逻辑实际上我觉得是在某些学科内或者是在某些范围内大家是需要这样的需要一定程度的准确性和统构性以及不依赖于人但是如果说我们在

这方面取得了飞速的进展那么觉得把这方面的理念或逻辑可以扩展到人类社会的其他方面我觉得就会产生一些混乱就是最明显的例子就是经济学

对吧如果我们这个其实已经造成了一些问题就是因为这个模型化或者是数理逻辑的这个威力太大或者是它的进展太快以至于大家这个我们的野心越来越大就觉得这个人类社会中的一切东西一切现象都可以用这种非常严密的逻辑或数理化的方式或者模型化的方式来理解那么作为这个更多是文科生思维的我来讲我觉得肯定会有一部分东西

相当一部分东西是没有办法进入到这个体系中的但这个我们可以未来再慢慢的讨论对这个是另一个话题了对就是说数学家追求的是数学本身的基础的一致性他其实不关心数学的应用你说的是数学的应用可以

随意这个没有关系其实跟数学家的想法不矛盾对包括这个这本书里面的很多逻辑我读的时候我的强烈的感觉就是它是在一定的限定的体系内数学的体系内是非常惊叹是应用的非常好

但是它并不一定能够延伸到就是我们这个人类社会中或者说这个其他的学科或者是其他的这个数学以外的这些逻辑它都适用如果觉得那个也适用可能会产生一些问题我的感觉是这样我是觉得它是有一定限定的这个范围的就好像是这个我们下一期再跟魏老师聊吧当然这个完全正确因为所有的东西都有范围对

这个哥德尔不完全性定理它是一个数学定理对

是的那我们就只要不带过多解读或者说一切的理论或应用或逻辑它是有一些先天范围的就可以对你的意思是你听到有些观点认为这套东西可以适用于世间万物吗对是的这个具体例子我们下一期我会给魏老师讲一下或者说列出来就是我觉得这也是一个人类经常会犯错的地方他经常会误用

那么其实在一个相当完备的封闭的体系或者是它有一定高度限定的范围应用的东西反而大家会把它作为这个 general law 来应用到其他的地方就觉得就不太合逻辑了就它相当于是不是一个层面的逻辑但是这个越讲越多要下次再给他讲这个 case 我总结一句就知道因为我们刚才

结论其实就是连 1 这个东西

都是没有一个严格的定义的都是来自于人的直觉所以你说的这个问题其实在数学家就是真正理解数学的数学家眼里它根本就不是个问题也就是说真正理解哥德尔不完全性定理的数学家是不会追求把逻辑推广到这个世界的所有领域的因为他们把逻辑推广到一上面都不成功

对吧所以其实是不会有这个问题的恰恰是不懂数学或者没有学习好戈德尔不完全性定理的人他们可能容易犯这样的错误就像罗素同志那样希望把数把逻辑推广到一切这个是很正常的对所以这就是戈德尔的最伟大的贡献就在这对好那我们今天先折磨大家折磨到这里我们下期再见

好谢谢魏老师谢谢大家那我们下期再继续解读拜拜拜拜