GEB中的DeepSeek之问：“生成性”与“判定性”是不是智能的本质区别？（GEB ep05）
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听众朋友们大家好欢迎大家收听新一期的 GEB 我们这个 GEB 第二季终于回归了在大家不断的这个催更声中终于回来了但实际上我发现其实爱听 GEB 或者说催更的小伙伴们或者说我们整个文力两开花的听众们其实还是有两个极端的

就说可能有一些是比较喜欢听我们聊热点尤其是科技领域相关的但有些人呢我觉得我们的听众中有一部分是硬核就理科的硬核硬核的理科生

他们就非常喜欢听这种就是越干越绕然后越跟这个数学啊底层逻辑相关的大家就越喜欢所以基本上催更的都是这些幼儿的理科生但是也有一部分小伙伴其实是因为确实是很想很想读这一笔这本书但是自己确实确实又是读不下去

所以就有很多留言就说完全就靠我们了就这本书我读还是不读完全就靠你们所以我觉得我们还是一定要把这个本书完全勾完所以大家其实不用担心因为这个 GB 都是我和魏老师非常非常感兴趣的肯定是会把它勾完的只不过是为了调和一下我们文林两开花的听众们有些时候这个热点聊起来也挺有意思但我们穿插着来吧

那我们今天呢就回归了回归呢我们今天这一期其实我们到了第三章是开始我们开始讲这个图形和称底但是这一章实际上是非常非常的

我现在还没想好有什么形容词来形容它但我预感到我们聊的这一期会是一个脑洞盛宴就是大家如果喜欢开脑洞的话应该会比较享受这一期那么这一期的主题呢我甚至是在这个魏老师因为之前也想了一些提纲然后有一个提纲甚至是启发了我一下然后这两天不正好是在过年期间 DeepSick 这个新闻非常的火吗然后我甚至是在看 DeepSick

相关新闻的时候我也在想这个图形和占底的这个概念就有一些我们甚至看看今天能不能聊到嘛甚至今天的聊到的这些内容中有可能都会涉及到这些热点比如说创新和追随啊开源和闭源啊甚至是 deep learning 和这个 reinforcement learning 啊等等我觉得都可以跟它擦点边那我们就开始这场这个脑洞盛宴吧那么

我们这样子我们还是按照之前的几期的顺序先大概讲一下这张的内容或者是说我们从因为大家知道 G1B 的逻辑呢就是说他在每一张开始之前他都会先用要不就是乌龟要不就是螃蟹要不就是阿基里斯他会先来一段对话

但是这个对话呢是一个隐含的内容非常非常多的这段对话还不能小看这段对话所以说由对话可以引出来基本上他这一章中所有涵盖的概念都会都会都涵盖出来那这样子我觉得因为这一章的这个对话非常非常特别我先给大家复述一下就是这个对话大概讲了什么然后我们请魏老师给我们解读一下这个对话有什么特别

那么这个对话呢叫做这个无伴奏阿基里斯奏鸣曲这是 GP 第三章前面的对话这个对话实在是非常特别因为虽然说是对话但是实际上从头到尾只有阿基里斯一个人在叨叨可以说他的这个

隐喻各种隐喻它的浓度是超标的基本上呢就是一个阿基里斯有一天接到一个电话那是乌龟打来的于是呢就跟乌龟开展了很多话题的讨论包括这个什么肩周炎呢还是颈椎病啊然后还有一些字迷还有一些艺术画啊音乐等等都混在一起的一些非常奇怪的独白

那我给大家先讲一下这段独白啊就首先是一幅画的讨论就阿基里斯接到电话他老朋友乌龟乌龟好像身体哪里不舒服然后最后才发现他可能是因为长期固定在某个姿势上所以他患了一种叫做窝井症的病我怀疑这窝井症是侯士达老师自创的病

我没听说过这个兵但实际上他其实也是有一个暗喻就是说我觉得他是不是在暗示这乌龟思想僵化因为他里面有句话说啊就难怪你都变得僵硬了然后呢这个乌龟就说哎呀我这个脖子不舒服为什么呢因为我看一种叫做这个一幅画

这个画里面有很多魔幻般的动物因为我看这个画盯得太久了我就搞得我这个脖子都疼了那他说的这个魔幻般的各种动物这个画呢就是艾舍尔在 1957 年的一幅画叫做《镶嵌画二》

说到这我也没找到相间画一是哪个那这幅画呢实际上就是大家可以搜一下看一看它其实就是一个黑白的颜色的石板画石刻板画那里边呢就是黑白的动物它有很多很多的动物但是你可以看出就是黑色呢也是动物但如果你转到白色呢它也是动物所以说黑色和白色的动物它互为图形和称底这就引出了这一张最重要的概念就是图形和称底这个概念

然后乌龟说我看了很久因为我看到我的朋友螃蟹然后我还看到了一把吉他然后阿基里斯就说啊那我买到了一张唱片这个唱片是巴赫的无伴奏小提琴曲然后这又把这个巴赫引出来了然后

然后呢乌龟那边就突然间停电了然后就又引出了字迷然后乌龟说哎停电也没有用我也睡不着因为我失眠那为啥失眠呢因为我有几个字迷我怎么猜都猜不出来那什么字迷呢就是一个寻找内涵就是里边含有吸和火结构的词这个吸就是那个昔日的吸那个火就是水火的火

然后他就猜什么词居中的两个部首意思是熄和火呢然后阿基里斯猜的一个答案然后好像都不对因为这里边要有一个前后顺序的问题

然后后面又引出一个字迷说什么词以不守虫为开头又以不守虫虫就是那个虫字的虫为结尾就是开头结尾都是虫的这个词是什么词紧接着阿兹里斯就开始自言自语然后我们可以从他这个自言自语中大概可以看得出来就是说乌龟停电时候突然间迸发出灵感然后给了一个很妙的答案就把这个字迷给猜出来了

但是整篇对话其实也没告诉你他这个谜底是什么所以我现在其实我也不知道他的字谜的谜底是什么有听听魏尔老师解读那么他只是在这个字谜中暗示出了艾舍尔前面那张画就是图形和称底呢是破解这个字谜的秘要

就好像是这幅画里面大家可以看到它这个白色的比如说白天鹅的黑色的羽毛就是黑色蝙蝠的这个轮廓所以这个字名你必须要与同样的逻辑和这个思维来结构这个确实有点烧脑所以呢它最后是一个开放式的结尾所以我非常建议大家读这段的时候可以把这个相间话打开最好还放一点巴赫的这个奏鸣曲的音乐然后同时读我觉得感觉会很奇妙的

那所以这段独白我们以它为开端然后魏老师给我们解读一下为什么这段对话这么奇怪那这段奇怪的对话应该怎么解释呢他为什么用一个一个人独白的对话形式来开始这一章 OKOK 好对确实这一章挺有意思的其实侯士达他用这段内容一上来就是想告诉大家一件事就是他说的这个图形和称底的一件事

我们看阿基里斯跟乌龟的这段对话但是我们其实只看到阿基里斯这部分对吧就是无伴奏阿基里斯奏鸣曲其实就是没有对话的那半部分但是我们会发现个问题就是其实我们一点也几乎可以说没有丢失这个对话的全部内容也就是说我们看阿基里斯的话我们肯定知道乌龟在对面说的啥

也就是说其实我们只看这个对话的一半却几乎可以说能够看到这个对话的全部信息我们不可能说猜不出来乌龟说的啥比如阿基里斯说你得了窝井症

那肯定就是乌龟在对面说我得了卧槿症嘛对吧就是这么一个逻辑所以他一上来就用首先是用这个对话的形式就告诉大家说其实我们要想掌握一部分信息的话其实可能我们有他一半的内容也可能能掌握这个信息的全部或者几乎全部嗯

这就像他画的这个画一样他讲图形和衬底嘛也就是说你看到白的那部分全是动物但是空下的那一部分就是你不把它黑的那部分当作画而是把它当作这个图形的背景但是你也能从这个图形的背景当中能够看到它也是个动物的形状换句话说这个动物的形状其实是那白的动物全放在那之间剩下的那空的那部分

但它其实也是动物的形状就有点类似于说你没听见乌龟说的话但你也大概知道乌龟说的是什么内容

他首先就是用这个东西来讲了这个图形与衬底换句话就是说想告诉我们的一个所谓逻辑的或者哲学的理念就是信息和它的空余的部分或者说我们叫集合和它补集的部分或者有时候我们说信号和它的噪声的这个部分其实很可能也是可以互换的或者说都是有价值的对吧

那这个里边呢等于就是用这个东西来引入图形与称敌这一章的内容我觉得这个是比较很自然的吧就也算是侯士达的这个写作风格的一个典型对但是这里边呢这段内容除此之外还非常有意思的地方还有很多

第一个有意思的地方呢就是他又开始使用字谜这是第一第二一旦使用字谜就会出现另一个很有意思的问题就是中文字谜和英文字谜他

它不是一个东西所以这个里边呢如果大家去看中文版和英文版就会发现除了他俩的对话和窝井症之外当然还有一些巴赫和埃舍尔的话因为他们是在这个对话之外的文字之外嘛所以他们是一样的除此之外他们对话当中的中文部分和英文部分的字迷部分是完全不一样的就是等于是用中文把这个故事重新写了一遍

然后刚才小宝老师介绍的就是这个吸和火呀这个东西其实就是他的中文版他的英文版是另一个内容叫做 ADAC 也就是说它的结构是一样的乌龟问他说你知不知道吸和火的一个中文词然后英文当中其实用的是 ADAC 也就是说乌龟应该是在问阿基里斯说你知不知道有哪个英文单词它中间包含着 ADAC

是这样一个结构然后那个阿基里斯呢就死活猜不出来嘛就跟他猜不出来那个西和火是哪个中文词一样他猜不出来但是他非常有意思的他在中文版章他说他说我也知道一个字名是开头是虫结尾也是虫对吧嗯然后呢其实他在英文版中说的是我也知道一个英文字名是开头是 he

也就是 he 结尾也是 he 也是 he 然后呢这个阿基里斯就在这里扮演了一个笨笨的人设就搞笑的人设因为其实侯士达给出的答案就是这两个字迷其实恰好都用同一个词能够解答中文这个西和火前面出西后面出火然后呢开头是虫结尾是虫这个词呢正好就是蜡烛

而这个蜡烛的这个两个字没加起来对是加起来那么正好是个蜡烛蜡烛这个词呢又正好跟这个故事的内容又重叠因为他就是讲说停电了对吧没电了然后说我点了个蜡烛所以我一下子就发现了这个蜡烛这个词实际上既是乌龟的那个谜底也是阿基里斯的这个谜底他俩正好是一个谜底但是呢这里边阿基里斯就出了一个笨笨的人设就是他

他其实知道这个谜底知道这个谜和乌龟那个谜但他仍然没猜出来然后英文当中呢这个词就是 headache 就是头疼就是开头是 he 结尾是 he 然后呢中间是 adac 就是 headache 然后呢他在英文版当中呢正好就是乌龟其实提示了他

乌龟说我这两天正在头疼然后他说你是头疼你为什么头疼然后乌龟就说我正天天在琢磨哪个英文单词中间是 ADAC 就跟中文版是一模一样的一个结构中文版就变成了停电了停电我也睡不着我点个蜡烛我为啥睡不着因为我猜字迷

没错没错所以就是说这里边体现这本书的一个特色就是有大量的这种凡是涉及文字的内容其实全都是用中文重写的否则你完全没法去得到它原本的这个含义对吧你中文讲头疼这就猜不出字迷来了

对所以这是一个特点然后这件事还没完还有一个更有意思的事就是这两个问答当中呢当阿基里斯说开头以虫结尾以虫的一个中文词是什么的时候和这个开头是 he 结尾是 he 的词分别是什么的时候呢还有另一种答案类型就是阿基里斯说哇真厉害你怎么一下就想到了很显然如果是中文的话

乌龟大概率说的是另一个答案就是比如说虫虫因为虫虫其实也是个词嘛对不对但是开头是虫结尾是虫然后如果是英文呢也许乌龟说的就是呵呵呵呵

所以当时我看这个觉得很有意思乌龟在很多年前就侯世达在 1970 年代就发明了呵呵但是它是个英文词了对吧但是为什么这么说呢就是说其实这个问题本身就是这个字迷本身它往往它就是答案对吧比如说开头和结尾都是虫虫虫也是个词嘛但是呢这种我们一般叫什么呢我们一般叫平反答

或者叫无聊答案就是你把它拼出来就是跟字面意思一样它也是个答案那这个显然不是大家真正追求的那个答案就是也没错但是也没那么有意思的答案对对对所以这个一般其实数学当中是有专有名词的一般我们叫平凡答案或者叫无聊答案就这个意思对所以这个是它这里面揭示的第二个有意思的点就是整个把这个字迷这块东西串起来了

然后还有一个有意思的点呢等会儿咱们可以说就其实你说这段话你真能推测出乌龟百分之百说的是什么吗其实不行对吧就你只能大概知道乌龟说的意思是什么你不可能用这段话去还原乌龟的

百分之百的原话因为你毕竟是丢失了这个信息但是实际上在数学当中你肯定不能这样对吧因为数学逻辑都要求是精确的对吧你不能说我通过比如说数学的这个错误的比如说戈德尔不完全性定理的反面对吧我能不能得出它的正面它是个精确的就我不能说我在数学当中也是我大致可以模糊的可以去得到一些

不精确的结论这个又是它的第三个层次这个里边有一个很有意思的点就我刚才回到乌龟刚才说的那个答案就是呵呵和虫虫你其实还有第三个答案

就是重重还可以变成一个重字就是如果乌龟的答案是一个重字其实严格意义上说它也是开头是重结尾是重对吧所以呵呵也是一样就是如果是 he 就是 he 那你从单词的角度来讲它也是开头是 he 结尾是 he 所以在这个情况下你会发现一个问题就是我问你乌龟它给出的那个答案也就是

也就是阿基里斯说的这个太精彩了但是这个过于简单这个答案到底是虫虫还是虫或者是呵呵还是 HE 呢其实你都猜不出来也就从这个角度来讲其实你单纯从阿基里斯的所有的话当中是不足以决定性的知道乌龟说的话的精确内容的对吧你只能猜个大概那这件事其实在数学当中

它就不成立对吧就是因为你不能够从比如说我们等会所讲到的比如说一个集合如果能够精确定义到它的补给说我只能猜个大概那这个东西数学当中肯定就不成立所以从这个角度来讲其实它这里边也

暗含着一个反面的意思就是说你虽然知道图形与称底你虽然知道这个对话的另一半内容但是如果你不掌握全部的信息你其实也不能够完全知道整个这个不管叫真理还叫正确与错误这样的关系所以整个这段内容就是写的也是比较有意思其实是很短但是它最大特点就是中英文其实是两段完全不同的内容嗯嗯嗯

哦天哪我现在这个魏老师解读完之后我才把他跟这个第三章的全部内容差不多全部内容联系起来他确实是基本上他后面讲的所有东西图形与称底啊什么那个地规什么被流传地规叫什么可美举地规可美举集的补集基本上都牵涉到了哇但这个确实需要人来解读啊不解读的话是看不出那么多的

所以这也是真的是侯世达这个炫技的一个就是你真的不能低估他写任何内容的隐含的这个意图就是你不能觉得我就是一个简单的一幅对话因为我只看到了这个猜谜这一层我没有看到后面那一层就是说他的集合补给这一层

这个确实是太有意思了是的那这一张里边一个我觉得最重要的传真引线除了这篇对话还有艾舍尔的这幅画我们来讨论一下这幅画就刚才魏老师基本上大概给大家描述一下这幅画大家可以看一下就是艾舍尔的《香仙画 2》还有另外一幅叫做《以鸟作瓦》就这两幅画呢就是非常的典型的艾舍尔的一个风格所以说它

基本上呢你看这两幅画的时候大家可以回想一下就是小时候有没有玩过那种看那种 3D 图就是你看一眼看去就啥也不是但是你这个眼睛在对眼一下你大概就能看出它里面有个 3D 的图形在里面但是这个不完全一样啊就是说我只是说它的这两幅图的感觉就是说你必须得是第一眼看然后再看第二眼就是一眼和两眼之间你看到的是不同的东西嘛就你比如说这个相片画

或者是银鸟作丸你一眼看上去你看到的是黑色的动物它里面有很多什么螃蟹啊什么牛啊什么蛇啊那些八道的就是你第一眼看上去是黑色的动物那是因为你把白色 by default 就是天然你把白色当成底称底那你看到的是黑色的东西那是黑色的动物但是你

再闭眼然后再睁眼再看第二眼这个时候呢你看到的是白色的动物就是你这个时候呢是把这个黑色当成衬底然后呢你可以看出它其实白色的空当其实它也都是一个非常完美的一些动物的图案

那么所以黑色呢是正空间就是它是图形白色是负空间是称底当然你可以倒过来黑色是称底负空间白色是图形正空间所以说它俩是可以相互转化的这点要记住

那么侯士达呢把艾舍尔的这种把前景和背景啊图形和衬底啊都能够流畅画出来就是说不管你第一眼看到的黑动物它也是非常顺畅的它就是一个动物的形状或者你第二眼看到的白动物它也是非常顺畅的这个动物的形状他把这种画呢给了一个词下了个定义叫做被流畅图形

我怀疑这个就有点天经口语就倍儿流畅倍儿流畅图形我是这么理解那么也就是说他的意思就是说这个图形和称底呢每道界线都是一个双刃剑它的界线不是很分明的所以到现在为止都挺好理解的对我来说啊就是因为一图胜千言嘛你看 OK 这个倍儿流畅图形呢它就是这么一个概念这个很好理解再往下读就晕了

因为这个时候侯士达老师他又把图形和称体这个概念带到了数学的形式系统中他说这个概念地规地规这个概念如果大家还记得的话前几章我们讨论过就是地规这个概念它指的是就比如说计算机科学中指的是这个用函数函数它调用自身的这么一个过程这个叫做地规那么他说这个地规呢就像是艾舍尔的画它就是一个倍流畅图形

被流畅图形然后图形和称底是相互应称的所以这个时候我就已经开始脑洞不太够用了就是如果把地归和艾舍尔的话做类比那他的意思就是说那图形和称底的互动大概就是像探讨地归呀字指啊无限循环等等这些概念在这个

艺术视觉中的表现吗那么这个被流畅图形就是艾瑟尔的画中互相嵌入这无限循环的结果因为你看这个黑色和白色其实它是一个无限的就是循环你看成黑的也好看成白的也好那么他在这个艾瑟尔的画中相互转换没有主次之分那他在地归中又是怎么反映出来怎么解释的呢所以魏老师给我们解读一下就为什么了

侯士达管这个艾舍尔的话叫做被流畅图形那么如果真的数学体系是一幅画那我们怎么理解呢这两个的联系是怎么联系起来的呢 OK 对首先解释这个画我们现在说一下就像刚才

小跑在开头讲的其实侯士达这一张它是有点发散性或者说畅想性的也就是说它的这些类比可能没有那么精确但是就是想通过这个画的内容来给大家产生一个直观感受就是数学当中当然也包括音乐当中其实也有这种前景跟背景或者说图形跟衬底这样的观想有时候我想说前景和背景它其实这个比喻是这个意思就是说

在数学当中啊就是我们核心不是想讨论哥德尔不完全性定理吗那这个哥德尔不完全性定理他比较反直觉吗就是要告诉你说哎你有一个明明是真的但是又不能证明的东西对吧那这个东西呢从数学的角度来讲呢我们可以把一个不管叫形式系统吧或者叫一套数学体系呢做个分类也就是说我们可以知道它为定理的那部分啊

就像或者说我们叫真的那一部分对吧然后那对应的呢就是假的那一部分就是真与假或者定理与非定理呢在这个侯士达看来呢其实就可以你把它理解为一个图形和它的衬底对吧就比如说

数学家整天做的工作是什么呢数学家整天做的工作不就是证明定理吗一个一个定理一个一个定理在那不断的证明所以那如果你把数学家当作画家那整个的数学体系就是一幅画

那如果这样的话那数学家整天干的是什么呢就是天天画这幅画那数学家画出来的那个东西那显然就是定理嘛对吧因为数学家你不会说数学家整天画的是无意义的那部分就是他的非定理或者错误的那部分所以其实数学家干的事就很像是画家干的事就是我们天天在这个画上去一笔一笔的画那画出一笔这可能就是一个定理又画出一笔它就又是一个定理

对吧那从这个角度来讲呢这事就很奇怪了那如果从这个角度来讲数学家画完了的东西它就是定理那剩下的那部分也就是画布上可能没有被画上笔的那部分那它就是非定理嘛它俩就是界限分明的那要从这个角度来讲那戈德尔不完全性定理就很奇怪了

因为一个东西要么是定理要么是非定理也就是说要么我画在这块布上了要么它就是圣贤那部分的空档对吧就是那部分背景那怎么会出现一个说这个东西它又是真的又不是定理呢那就是像戈德尔不完全性定理这句话也就是戈德尔的这个语句那句话就是我不是定理对吧那你说这句话它出现在这个数学的这个画布上

它是出现在前景还是出现在背景上这就很奇怪了它就既不是出现在前景上它也不是出现在背景上就从我们朴素的来理解对吧因为你出现在前景上那它就是定理了嘛那肯定不对了嘛那你如果说出现在背景上那出现在背景上我怎么理解这个事呢它是错的

还是它是个什么东西对吧所以就会让人觉得说很奇怪说这个图形这个图画为什么会出现这种给人感觉就是

它既不是前景也不是背景的东西那这个东西就比较奇怪其实侯士达在这里边并没有说我非得要精确解答这个问题侯士达呢他是用了另一个角度他说我们可以这么来理解这个画有两类一类呢叫所谓流畅图形一类所谓叫被流畅图形

什么意思呢就是说其实它也是一个文字游戏吧流畅图形呢在英文当中叫 cursive figurecursive figure 呢其实就是手绘图形的意思就 cursive 其实就是曲线嘛所谓流畅的曲线就是你一笔一笔画出来的流畅的曲线然后呢侯士达自己发明了一个词叫 recursive figure 哦这是他自己发明的这个 recursive figure 其实就是双关椅就是因为 recursive 就是地规的意思对吧

对吧但是你在中文当中你不能翻译成地归图形因为地归图形大家是完全不理解这什么意思然后呢英文当中呢又是把 cursive 加上了一个 re 就是类似于有这种双倍的对吧或者是重复的流畅图形所以他就把它中文当中就只能翻译成叫倍流畅图形

其实侯士达的意思就是说 recursive figure 的意思就是说我的前景也是画出来的但我的背景也是画出来所以他就把它叫做流畅图形和被流畅图形但实际上从数学的角度来讲非常有意思地归这个概念就是 recursive 这个概念恰好就跟侯士达说的被流畅图形的含义是一样的也就是说地归

这个等会我们再讲啊现在就先简单说就是所谓的地规的集合它的补给也是地规的集合换句话就是说如果一个地规集合是一个图形的一幅画的图形部分的话那么它的补给呢就恰好是这个图形的衬底部分那么这个图形呢这个图就是所谓被流畅图形也就是说正面你也能画反面你也能画

就类似于这个意思那实际上很显然有大量的图形并不是这种所谓被流畅图形对吧就有些图你随便画画完了一看它的衬底部分就是乱的对吧就是混乱的就不是也能画出来的不像这个埃舍尔的相间画和以鸟作瓦这样说前景背景都是图它可能就是一个乱的一个图这个就是其实反而是我们正常见到的画当中的绝大部分

对吧因为我们正常画的绝大部分其实不是被流畅图形它只能成为流畅图形就是 cursive figure 对然后呢实际上侯士达用这件事情来隐喻就是说你其实不能够通过一个非定理的部分去概括定理或者说数学当中的这个非定理的部分它其实过于复杂

你通过它其实是得不出什么有意义的结论的也就是说定理或者数学当中的定理或者逻辑学当中的定理它其实是一个你只能叫它非被流畅图形就是它其实就是个普通图形对所以呢我们在看这个图的时候呢我们会发现说你其实很难讲说哥德尔不完全性定理这样的东西它

不能够出现在所谓前景或者图形当中它出现在衬底部分当中和你所认为的说它出现在衬底部分当中它就是错的这其实是两回事这其实是两回事也就是说只有被流畅图形它的图形和衬底都是有意义的

而普通的图形它的图形部分和它的称底部分它的称底部分其实是没有任何意义的是完全杂乱无章是不能被人所把握的所以在这种情况下你不能说一个东西如果它出现在称底部分它就会如何如何就是这个结论是得不到的

所以他从这个角度呢其实是想告诉大家说就是哥德尔不完全性定理这种东西的存在表面上看起来违反人类的直觉但其实它很可能恰恰是这个世界的真相或者说这个世界上更正常的那一部分的状况而这种 recursive 也就是埃舍尔刻意画出来的这种前景和背景都是图的其实反而是这个世界的少数有点类似于这个意思嗯

哇这个

这个嵌套也太深了他的这个我们说回到这个画吧就刚才魏老师讲的过程中我就在想这个莫娜丽莎还有艾舍尔的画这个镶嵌画它的区别类似于你把这个莫娜丽莎他莫娜丽莎虽然也有这个前景和背景是吧前景就是这个莫娜丽莎这个女士然后背景就是一些山川啊河流等等但是呢你如果倒过来你把莫娜丽莎抠掉的话然后你是这个背景他就

不能够成为一个独立的或者你就不能管它也叫一幅画但是反而呢你把这个爱瑟尔的这个相间画你不论是你把黑的抠掉还是白的抠掉它都是一幅画就它你抠掉黑的黑的没了但它那个黑的形状它也是一个画

然后你把白的扣掉都是一样的所以说我刚才就在想当然了它跟这个数学连起来的逻辑会比较深我估计大家也可能没有完全完全的听明白但是是不是可以这么想就是说那么这个被流畅图形呢我们就把它看作是艾舍尔的画它就是一个不断能够在画中表示不断自行环系统的这么一个在视觉上的感触

就比如说我们如果在想哥德尔不完备定理的时候如果你把它视觉化你就像艾舍尔的这个相间化它是一个它的前景和背景它都是一个独立的画的东西或者是说我们比如说我们这个回顾一下哥德尔不完备定理的基本内容就是说

你存在一个在这个公理系统中你存在一个不能够被证明也不能够被证伪的命题那么也就是如果大家想想前几期我们他的证明是用这种自制的方法就是说谎者悖论嘛就说我说我这句话是说谎那我是不是说谎呢他就是构建了一个命题就是说你这件事我说的这句话我在说谎你是没有办法被证明的

那么如果说我们想如果想到哥德尔定理上呢其实哥德尔定理呢就像是一个我建了一个机器然后呢这个机器里面有个这是一个系统然后呢我以这个系统自身为材料我创造了一把刀然后这个刀的作用就是刺穿这个系统就相当于是我建了一个系统然后这个系统呢是刺穿我自己的这么一个系统

这个说的有点晕也就是说那么在这种情况下呢如果说我们想证明就是像刚才的这个魏老师说的这个集合它的补给就定理和它非定理也就是说我们如果想哥德尔定义它不是真的它是假的我就要反证它但是呢我如果反证它的话我必须得在系统内部来反证我但是我这个哥德尔定义的证明

我本身已经包含了反对我自己的证明就是说我想反对你但是我自己的体内就已经包含了反对我的东西那你怎么反对自己

它就是一个那么那么在自身内包含反对自己的其实就很像这个艾舍尔的画那我既包含了我自己我又包含了我的背景然后我的背景呢它也是相当于也是我的画中的一部分它也是我自己那就像在艾舍尔的画中我要证明这个黑色衬底的图形不是白鸟但是黑鸟白鸟是它俩是互相你中有我我中有你的我要证明我不是白鸟我得先证明我不是黑鸟因为我有了白色的衬底我才有了黑鸟就是

就是我觉得当然了就除非我跳出整张图我用另外一个系统来绕过整个图但是这样的话好像又不是原来的系统了所以说我觉得用这种方法来解释虽然说很绕但是你可以你在这个内心是说你可以 get 到它的那个点在哪里还是挺烧脑的嗯

对对这个确实这个讲为什么我一开始就是想说其实侯士达他用这个比喻他其实是一种畅想型的其实就像刚才小泡老师讲的就是我们如果不去讨论那些具体的数学的细节的话我们就是大概能产生一个这样的一个感觉对就是说一个所谓的定理或者它的反面就像一幅镶嵌画那样它们两个镶嵌在一起

但有时候其实这个东西你有时候只能有一个直观的感觉就是他就像这么一幅相线画但是他们之间的真正的关系到底是啥确实是有点复杂对这里边包含各种字制啊等等等等地归这样的东西确实是很有意思对

嗯对但如果我们要再深一步了解这个概念的话刚才听着有点晕但我们就可能得仔细聊聊它中间提到的两个概念就是地归可没举集还有地归集它俩的集合和补集之间的关系但是在此之前我想先再问各位老师一个小问题那我们刚才讨论了数学和画的图形和称底那音乐呢这一壁不能少了音乐呀这一环那音乐的图形和称底是什么呢啊

对对对差点忘了这个事非常有意思就是其实音乐当中这个跟画其实有点我觉得可能有一点点像但又不完全是

就是说音乐可能更体现了侯士达所谓的这个被流畅图形的这个特色我先举个例子吧比如说弹钢琴当中一般大家可能都知道就是他左右手有分工一般右手呢往往是弹主旋律然后呢左手呢往往是弹和声这是一个最基本的一个结构然后因为钢琴还有一个特点就是从左到右是从低到高嘛

所以左手在左边右手在右边所以一般来讲右手会弹比较偏高的声部然后左手会弹比较偏低的声部然后这样的话呢从人的这个听力的感觉他一般就会听到那个主旋律然后呢剩下的那部分和弦呢往往是给他做一个搭配对吧所以呢如果你单纯去听左手的那一部分的声音它就没有什么意义就你听不出来它是个音乐

这就很像是我们所谓普通的流畅图形也就是说右手好像就是那个图的那个图形而左手弹的那个音呢它就有点像是这个衬底就它只是起到一个陪衬的作用

但是呢也有一些特殊的曲子应该是这个开始的那个乌龟阿基里斯也提到了就是因为大家都知道这个 GEB 嘛讲巴赫嘛就是巴赫音乐大师他就喜欢构造这个东西就是他不光是构造那种所谓什么卡农啊那种无限升高啊或者循环的卡农他还喜欢构造这种左右手各自都是独立的音乐的这样的曲子嗯

然后就是你光听左手它也是一个曲调或者说你光听这个曲子的和声它也是一个独立的曲子但是他俩放在一起弹的时候呢你又仍然还是能感觉到说主旋律还是主旋律和声还是和声也就是他俩不会说因为同时演奏两个曲子不就冲突了这个就听乱了吗也不会他又合在一起又是一首完整的曲子

所以他就用这个角度来讲说其实你看音乐当中也有类似的模式就是有那种单纯作为背景的声音和主旋律但是也有两个都是

旋律的但是他们又搭配在一起又成了一个曲子就像这个背流传图形一样就是前景和背景都是一幅画但是他们搭配在一起呢又是各自作为前景和背景呢又同时可以构成一幅画的整体他就从这个角度来讲其实音乐当中也是普遍存在这个现象就回到了他这个 GEB 的这个类比当中对这下就全了

那么如果说上面的内容大家有点听晕的话那是因为我们还要解释一些数学概念我们还是要把上面的其实大家大概的 get 到一些隐隐的感觉就是说这些事情都是相互关联的且可以互相解释的或者互相隐喻吧

那么我们中间其实刚才魏老师也提到了几个概念包括像地归集还有地归可媒举集那么在书中呢其实何时达有说就是说这种流畅可化出的这种概念就是被流畅图形的这个概念呢它有一个它的数学的对应物就是地归可媒举集

或者说我们可以想象就爱设的这种画就是这种被流畅的这种画呢如果我们把它搬到数学里那就是数学里的对应物就是地归可美举集然后呢在书中他又说这个形式系统中它存在一种形式系统那这种呢奇怪的形式系统它的副空间不是任何一个形式系统的正空间

也就是说存在非地归的地归可没举集那到这儿大家如果听晕了没关系我们请魏老师给我们解释一下就是什么是地归可没举集什么是地归举他俩之间的关系我说他们集合于补给的关系是什么 OKOK 对我尝试着还是用比较简单的模式来介绍一下这概念其实地归可没举集呢就是一般称为 RERecursive Enumerable Set

然后地归集呢当然就是 recursive set 那我简单说一下这两个的概念啊不用特别精确就是地归可没举集就是跟他的这个名字很类似就是说我是用一种没举的方式一个一个一个一个的把这个集合能够给他列出来

就比如说这个集合的第一个元素是谁谁谁第二个元素是谁第三个元素是谁我就这样一列列列就是我有一个算法手段或者一个方式我不断地把这个集合的第一个第二个第三个第四个元素列出来我所列出来的所有的这些东西它就构成了一个地归可没举集也就是所谓我用没举的方式生成出来的这么一个集合嗯啊

这个呢所以我呢一般把它就称之为叫做生成式集合就是它是用某种规则生成出来的然后那地规级是什么呢地规级呢是说我有没有一个什么办法

看到一个数字之后我就去判断这个数字是不是属于这个集合这个叫做一个我把它称之为判定式也就是说如果我有一个算法能够让我看到任何一个数字都能够知道这个数字是不是属于这个集合那么这个集合就叫地归集

其实也就是说它是一种判定式的集合也就是说它有一个判定方法就这个集合有个判定方法那这里边呢就挺有意思了这个我们就不得不回到这个咱们说的这个第三次数学危机和这个三大流派来讲了

就是咱们看到前面不是说过这个所谓形式系统吗 MIU 啊或者 WJU 啊对吧就是这样一个形式系统它的这个特点是什么呢就是说我给你第一个一个公理比如说什么 MI 啊什么这那的然后给你一套规则然后呢你就去证明所有的定理对吧就是什么 MI MU MIIU 就是这样不断的生成就是能够生成出这个系统当中的所有定理

对吧所以从这个角度来讲呢所谓形式系统的理论或者说形式主义学派呢他就认为说数学其实就是这样一个地归美举的过程也就是说我给你五个公里给你三个公里然后你就一个一个一个一个往下去生成所有系统当中的定理那么这种情况下呢这个系统当中的所有的定理不就是一个地归可美举集吗哎

这其实就是形式系统主义的核心的一个逻辑就是说一个形式系统当中所有定理就是可以低规可没举出来的我就是一个一个一个没举出来但是呢

我们看一下数学整个数学的工作是什么形式呢数学的工作是这样一个形式就是我给你一个公式或者我给你一个语句比如说哥德巴赫猜想对吧或者黎曼猜想或者费马大定理费马大定理正名之前叫费马猜想

说我问你这话是不是对的你有没有什么办法判断一句话是不是正确的这个其实是数学工作者天天做的事就数学工作者不是我拿着五个公里就天天一个一个一个往下排定理排到天荒地老也不知道排出来到底能不能排出费马大定理呢不知道呀对吧数学是反过来它是个判定式的也就是说我给你一个东西你能不能告诉我它属不属于定理

它是这么个逻辑所以其实数学追求的是什么呢数学追求的就是说哎呀如果所有的真命题或者定理它是一个地归集那就好了那我不就能有一个算法看到任何一句话我就用这个算法算出来它是定理还是非定理吗哎

所以其实这整个就体现了这个所谓的形式主义或者数学工作的两个方向对吧表面看上来说如果数学是一个形式系统那其实我们就是通过公理排除所有定理这事就完了反正排不完吧那今生今世排不完还有来生来世对吧于公于善对吧

就是我们永远能排出来所有的定理这事挺简单但实际上数学根本不是追求的这个数学追求的是我得赶快知道你这个是不是定理所以这个里边就会发现说这看起来就是很有意思的这是一个地归可美举级和地归级的一个矛盾或者说它俩是不是重叠的

其实这个问题马上就出来就是说如果这个定理又是地规可没举及又是地规级那其实我们就真正的有一个证明所有数学定理的一个方式对吧因为我可以用地规级的方式来去表达那实际上从数学的角度来讲呢很简单的就可以证明就是地规级呢一定是地规可没举及这个细节我们就不说了但是反过来问题就在了就是那地规可没举及是不是地规级呢

如果它一定是地归集那这形式主义就厉害了说你看我说的果然是对的我能列出来所有定理虽然我这辈子列不完但是它本身就是个地归集它就证明了说我的所有的数学定理一定是可以证明的一定是可以判定的如果地归可没举集全是地归集的话

那么这事就了了就形式主义就胜利了对吧就没有哥德尔不完全性定理了对但是实际上哥德尔不完全性定理就是证明了这一点就是你就算能列出来所有的定理也不代表你能判定所有的语句是不是定理嗯

就这个意思对吧因为戈德尔语句就是这个就是我甚至明明都知道它是真的了但是我无法证明它是定理所以戈德尔不完全定理就是用侯士达绕来绕去半天得出来结论就是戈德尔不完全性定理就相当于证明了说形式系统当中的所有定理是一个地规可美举级但它不是一个地规级

所以就侯士达绕来绕去其实就是为了告诉大家这么个结论也就是说所谓哥德尔不完善定理就是告诉大家存在着这样的一个地归可没举集它不是地归集其实就是这么一个逻辑这从基础的数学的角度来讲就是这么样一个关系对先说这一部分吧对对很清晰我再尝试用一个更简单的方法再理解一下啊

就是说其实我们就在讲一个拼图的正反面嘛就是图形和称底对吧那么用数学的词就是集合和补集其实刚才为老师讲的定理和非定理就是你能证出来的东西和你还没有证出来的东西我们也可以就是用数学的定义就是它的集合和它的补集你集合就是说我的定理然后你没证出来的东西就是你旁边的一切的称底图形和称底就是一个拼图的正反面

那比如说我们再简单一点就假设我有一个盒子盒子里面可以装东西我这个盒子就是集合然后呢我里面装了一大堆蓝色的积木这个积木是蓝色的那我这个盒和这个蓝色积木它的补给呢就是盒子外面所有的不是蓝色的积木就是盒子外面我假设我们还有很多很多的积木各种颜色它就是不是蓝色的因为蓝色都已经在我盒里了所以这个盒就是集合那么它的补给就是我所有这个盒外的所有不是蓝色的积木

那么就是我妈来了然后我妈呢就教我来分颜色我妈说这个蓝色的积木我给你个规矩是吧蓝色的积木放在盒里然后其他的颜色放在外面那这个时候呢我就比较能够非常快速的判断就是说我手里这个积木我该放哪我是该放在它的集盒里就是盒子里呢还是放到外面就是它的反面它的补积

就比如说我要判断一下这个它是蓝色的积木蓝色我就放集合不是蓝色我就放外面如果说有这么一个简单粗暴的规矩就我妈告诉我这规矩我都能把世界上所有的这个积木我就分开了那么这个呢就是地规级因为我可以判断呢就是它是蓝色的就进去它不是蓝色的我就放外边所以它就是魏老师刚才说地规级或者说可判定级

那么这个时候我妈又来了我妈又给我一袋比如说一大袋子糖然后呢她说你慢慢的一个一个的尝你给我找出所有草莓味的糖然后呢我就一颗一颗的尝如果这个糖的味道是草莓味我就把它放到罐子里然后它不是草莓味我就放到罐子里但是这个袋子有个问题就是这个袋子里面的糖它是永远尝不完的它是世界上无穷无尽所有的糖都在这里

那么这个时候呢我只能够确定放进罐子里的都是草莓味因为我尝过了我得一个一个的尝一个一个的美举但是我仍然没有办法判定就我这一大袋子剩下所有的糖里面有没有草莓的味道就是我这个补给我是没有办法判断的因为我要一个一个尝但我又永远尝不完

所以说那这个呢这一大袋糖呢可以把它理解为是地归克梅举集就是我要一个一个尝我才能够决定它是草莓味的还不是草莓味的所以说如果我用这个方法就是小白的方法来理解刚才沃老师讲的这个地归克梅举集和地归集的区别那么就在于这个地归集呢我是有一个方法问

我能够判断进去的就是蓝色不进去就不是蓝色就完了那么但是低规可迷就是说我得一个一个尝但是这东西又远远尝不完所以我就算知道了我尝到的是什么味道我也没有办法判定剩下的是什么味道所以呢它们两个之间是不能够互换的

就是说如果说它是一个低规级就是我可以判定的话那么我肯定能它肯定是个低规可美狙击就是因为我都能判断它哪边是蓝的积木哪边不是蓝积木那我肯定也能一个一个的告诉你就是这个 12345 这是蓝色积木 56789 它不是它是黄色积木它就是一个低规可美狙击就是刚才我有老师讲的那如果它是低规级的话它就是低规可美狙击

但是如果你反过来的话就不能够反过来对吧就是说你这个如果你的低规级的补给它可以是仍然是低规级但是你低规可没级的补给就不一定或者说低规的可没举级的补给就未必是可没举的太绕了对大家用这个糖的这个方法来大概判断一下我觉得可能就是这个大概就是这个意思

不知道这种小白理解方法对不对这个理解挺有意思的对我觉得基本上应该是 OK 的对然后我们可以接着往下说一下就是其实从道理上来讲呢地归可美举集和地归集这个关系啊应该说还是有一点点反直觉就是跟哥德尔不完全性定理有点像为什么呢其实就刚才小泡老师举这个例子啊就是如果我们比如说我们是想区分积木的颜色

或者是想区分任何的东西我们其实确实都有两种办法比如说就像小宝刚才说的比如说如果我想把所有的蓝色积木挑出来对吧那么因为这个蓝色积木因为我能判定嘛对吧就是我能看到它是蓝色这就是一个判定然后我就把它挑出来所以呢我就可以把所有的蓝颜色都挑出来但是反过来呢还有另一种方法就是那我也可以说

我把所有不是蓝颜色的挑出来那剩下的自然就是蓝颜色对吧

那所以呢我可以把红的绿的黄的紫的全都挑出来那剩下的就是蓝的也就是说从人的这种直觉绝大部分情况按理说我用哪一种方法都是一样的对吧也就是我挑蓝的和我挑不是蓝的剩下蓝的它是一样的对吧我们感觉日常的所有的不管是生活当中还是什么其他的工作当中这两种方法都是等价的那所以这个实际上就是所谓的地归级的特点嗯

对吧也就是说如果你是一个地归集因为它补给也是地归集所以你正向的去挑地归集和反向的去挑地归集的补给让它剩下那一部分

就是地规级这两件事其实一样对吧然后在数学当中呢其实有时候我们以为它也是符合这个规律的最典型的就是所谓的就是这个反正法比如说回到刚才我们说哥德尔不完全性定理我们觉得说那我难道不能把一个形式系统当中所有错误的语句都列出来吗我如果能够把它所有错误的语句都

都列出来的话那我自然就知道所谓哥德尔语句在不在这些错误的当中了对吧我反正就一直把它往下列因为哥德尔语句本身它是有一个大小的因为它是个哥德尔数嘛它是有个大小的虽然这个大小可能超级大没有问题

但是无所谓反正我就一个一个往下列我列到足够大的时候还没出现你这句话就是还没有出现哥德尔语句的话那我是不是就能认为说你这个哥德尔语句就不会出现在错误的语句当中那它就是正确的语句

如果我要是这么把列出来这个内容作为一种证明手段的话是不是我就相当于用反证法证明了戈德尔语句其实就是定理呢对吧我就规定说一个语句只要它不出现在错误的这个语句当中那它就是定理啊我说着好像也没错嘛对不对然后侯士达就用这个角度来去说明一件事就是说其实错误的语句是列不出来的嗯

也就是这个有点反直觉就是我们往往会认为说正确与错误它俩就是相对的一个是一另一个是零对吧它俩就是各自占了所有的语句的一半那所以我能形式系统能列出所有正确的语句那按理说我也能列出所有错误的语句那这俩事不就等于对称了吗有点类似于这个意思就像艾舍尔的画那样对吧就是正面我可以画反面我也可以画

对吧那实际上何士达在这里边重点讲的就是错误的语句或者说这个背景其实在数学定理的角度来讲错误的语句是列不出来的也就是说数学的角度错误的语句是不能够画成一幅画的嗯

为什么不能这个他也没有解释这其实就是戈德尔定理证明的本身就是说错误的语句它的复杂程度远远超过正确的语句因为正确的语句或者定理它其实就是根据几个公理然后应用若干规则推导出来的全部但是错的东西其实远远复杂于正确的东西

它没有任何方式能够基于一个前提比如说我列出 500 条错误然后我再给出生成若干错误的规则就能够生成出所有的错误来这件事情其实是做不到的所以从这个角度来讲就是上升到哲学意义的话我就觉得说真理和谬误它真的就是各自独立存在的就它不能反过来

不能说人可以生活在一个错误的世界当中反正只要所有语句都是错的那么这个世界也能自洽也能存在其实是不可能的就这个其实是一个所谓真与假的一个核心特征就是他们在这个理念上不能互换嗯

当然这就是个哲学问题了因为从我们每一个老百姓来讲我们当然知道什么真与假怎么可能互换对不对但其实侯士达所讲的就是通过最数学底层的逻辑实际上等于可以证明就是真与假或者说真理与谬误其实是不能互换的嗯嗯

对也就是说其实不存在那个我找一个足够大的树我就能够反证你因为你这个就像我刚才举那个你尝这个草莓糖一样可是你这个袋子你并不知道它有多大或有多深你都不知道那个最大的树哪个才能叫做最大的树也许它才刚刚开始对吧在某种意义上就是说它没有办法互换也就是像那个艾舍尔的画一样但是艾舍尔的画它是似乎是证明可以互换的但是

但是那种流畅可化出的就是你那种可以看起来能够互换的但是它其实没有明显的界限的其实你是分不出来白鸟的反面就是黑鸟因为你可以说黑鸟的反面是白鸟就是它俩没有正反就没有一个非常清晰的边界就是说这就是对的或者那就是错的所以你没有办法找出这个错误的东西那么说到这儿的话大家有可能有一些听众我觉得可能就马上会想到一件事就是 GBT

就是生成式人工智能那么按照我们刚才聊的内容包括魏老师给我们解释的这个低规可没举集一说到这个低规可没举集我一个一个的列我一个一个的找那它不就是很像这个大力出奇迹的这个生成式人工智能的出来的这个方法吗所以说那如果我们把这个概念延伸到

生成和判定的话就是说我们这个生成式人工智能目前它的方法是不是可以套用在我们现在的这个 GPT 生成式人工智能其实它就是用这个低规可没举的方法来大力出息举出来的这个可不可以延伸过来

对我认为是可以的这就就又回到这个最有意思的话题就是哥德尔不完全经定理其实应该说是人工智能领域这个理论进展的鼻祖对嗯

就是很多人可能现在还是引用哥德尔不完全性定理来论证说其实人工智能是不可能的我觉得这里面是有一个意思有一个有意思的地儿但我最近倒也有一些新的思考可以说出来大家听听就是说首先先说刚才小华老师说的就是其实我确实认为就是说所谓地归可没举其实就是一种生成式的方式也就是典型的

所谓形式主义的方式也就是说我给定一堆公理然后用一堆规则去不断的创造出新的定理来这个就像 ChatGPT 一样它其实就是我们搜集了互联网上到现在为止比如说人类所有的语言或者知识或者这样一个东西然后呢作为一个基础然后呢它有它的一套生成式的规则就是所谓我们说的这种 Transformer 啊

attention 的这套规则然后呢就会不断地产生出这个新的内容来对吧它是生成内容其实就有点像我们说的这种生成形式系统生成定理一样只不过呢这个里面我们就会发现一个非常有意思的事就是大家都知道的就是 chat GPT 它会一本正经地胡说八道呀嗯

就是说他其实是拿着很多的现有的素材然后根据一套规则生成出的这些内容但实际上这些内容到底是真的还是假的其实他也并不关心对吧就有点像是说什么呢就是我们生成出来的这个定理那但是这个定理的意义到底是什么呢其实还得需要人去判断

包括说你声称出来的任何一个语句它的这个内容本身是真假其实还是需要判定那这个判定的过程又来自于哪里呢这个判定的过程 chatGPT 你说它有吗可能也有那它的这个有的来源是什么呢只不过来自于一个更大的 chatGPT

比如说我们前期讨论过一个不管是 GAN 的这个生成式对抗网络还是后来讲的这个就是引导式的学习模型对吧我们以前不聊过这两种模式吗换句话就是说如果你想要判定你这个生成的内容是不是对你如果机器自己来做要怎么做呢你只能依赖一个更大的模型就是比你还强的一个模型

他来判定你这个是对的那你就把它留下来他如果判定你是错的你就去把它改进这不就是我们现在的就是一个训练法其实就是一个训练法所以实际上机器这个东西它就会变成了一个无限循环就是我要判定我怎么办我只有找个更大的机器

那没有更大的机器的时候呢你就凉凉了那 DeepSeek 呢最大的好处就是他找了一个更大的机器就是 ChatGPT 所以 DeepSeek 的东西 DeepSeek 反而挺有效的对吧因为他有 ChatGPT 帮他去判定所以其实你看生成跟判定之间就是这样一个关系也就是说当你有强大的判定能力的时候你才真正创造价值

你光生成你是创造不了价值的那最终哥德尔不完全性定理揭示的一个逻辑就是什么就是最终的数学真理也只能靠人去判定就是人才知道这个数学真理是真的还是假的机器把它生成出来了没有用因为生成出来了但是判定不了它的真假

你如果说有一个更大的人工智能能帮他判定那就是戈德尔第二不完全性定理说你再找一个更大的人工智能来帮这个小人工智能判定是 OK 的但是这个更大的人工智能当中它还是能生成它自己判定不了的真理所以这就是为什么大家其实一直有这样的理论就是说戈德尔不完全性定理其实就是

告诉大家就是形式化的人工智能是不可能存在的就是因为这个原因就是任何一个只要它符合形式系统的生成逻辑那它一定能生成出一个自己判定不了的真理这时候人可以去判定它是真的还是假的但它自己判定不了对吧这是一派学说这是以前我一直是

也是这么认为的但我最近呢有一个新的想法就是我们可以把它反过来讲戈德尔语句也就是那个不可判定的命题它归根结底也是形式系统生成出来的对不对所以换句话说我们不能否认形式系统其实能生成所有真理对吧因为地规可没举级嘛定理就是地规可没举级所以形式系统其实是可以生成所有真理的但是它只是自己判定不了而已

那么我们要这么套用也就是说 ChatGPT 有可能是真正能够达到人的智能的因为它能生成所有东西只不过它可能自己不知道也就是说 ChatGPT 所生成的所有东西确确实实可能能够覆盖人类的所有知识和所有思考

那只是最终用的时候拿给人再来用就可以了所以从这个角度来讲你说你纠结 ChatGPT 到底是不是

能够真正有人的智能其实也不重要了对吧反正你问他问题他就给你一个答案然后答案你自己去研究室真的还是假就行了那他其实能够给你你的所有问题的所有答案所以从这个角度来讲你就把它称为其实已经有了真正的智能

好像也行所以我是觉得说归根结底是一条就像侯士达最早在 MIU 那一章中说的就是反正你需要判定的时候你其实是依赖一个系统之外的东西来判定而不能依赖于系统之内来判定你只要接受这个事实

那其实你说什么是智能对吧也无所谓当然这个基本上就是这么个逻辑当然这个最有意思的事就是像小泡老师刚才说的我也是在最近因为看 deep seek 的时候才对这个东西有了更深的感觉 deep seek 最厉害的地方就是他找了一个更大的系统帮他去判定所以他的效率一下子提高了很多那

对所以我们之前聊的如果大家还记得我们之前在文理两开花也聊过很多就跟人工智能相关的包括前几期这一币我们也有聊过就之前我们一直是就说到底嘛一直就是说人类心智这个东西它是在一定程度上它是能够超越形式系统的就是说人类的心智反正我们是在系统之外的

就是说之前我们的论调就是反正你永远不可能对吧你这个机器不太可能产生真正的智能这不也是侯士达的他的这个理论也是这样他的观点也是这样就是因为人的心智它是在系统之外的维度它跟你不是一个维度你这俩维度的东西没办法推理出来或者说把它放到一个维度里边去认知

包括我们咱俩的原认知都是不一样的就更别提从原认知生发出来的各种认知所以说我们之前确实是说就是怎么说呢如果说我们生成的能力刚才魏老师说就是说生成能力就是对应这个地归可没举的思路它能够造出不断的罗列但是它只是不知道我可以罗列到天荒地老无穷无尽天涯海角但我不知道什么时候停就是说我不知道罗列到哪儿算是个头

但是我可以不停的罗列呀但是你也不知道你不停的罗列你能不能包括就罗列到天涯海角我们也不知道

但是如果你说判定的话呢,就是说就相当于是给了一个 yes 和 no 吧,就 OK 我们停了,这就是 yes,或者这就是 no 了,反正我就判断出来,你就不用再各种枚举了,那这个就是对于到这个地规,但是我们之前确实是理解为,就是在智能的行为中,你这两种能力是在某种意义上是不能够相互替代吧,就比如人,我有一些生成能力,我可以创作艺术表达,那我也有判断能力,对吧,

我也可以给一个 ruleyes or no 但是我们人类面对的还是宇宙世界无穷无尽的复杂性我们没有办法穷尽一切可能就算我同时拥有生成力和判定力那我在面对这个无穷的时候我还是也还是没有个头就是说这个就是宇宙的尽头 yes or no42 这个答案就是 42

但就是没有但是确实像魏老师说的这个有还是没有答案是不是 42 又有什么关系呢就是说如果我们大模型套小模型然后我们用大模型来判定但你也不知道这个大模型它是不是就代表了宇宙因为你不知道啊就是回到我们刚才说的逻辑就是你不知道这个袋子里它糖到底有多少有多少个味道你不知道你怎么能够说它不是呢这个确实也是比较能够自洽的

或者说我们人其实你也不用那么回到这个 19 世纪文艺复兴就那个那么纯粹的一定要找到真理我觉得那个是不是那个时代已经过去了人类早已经进入了不纯粹的时代所以你也不用太纠结纯粹不纯粹的问题对总之这个确实是永恒的话题要不然为什么侯士达

喜欢写一整本这么厚厚一本书想把它所有的方面都讨论到对我们这还有好多方面没讨论到其实还有很多很有意思的事确实对对那我们干脆就来到最后一趴吧就是我们讨论一下这个哲学启示

就这一张本来也因为像质数和数它有相关的关系但我觉得我看我们现在一个半小时了我们那个可以留在下一期讨论我觉得下一张也是相关的也是跟我们上次我们不是有一个八大猜想吗就文力两开花的跟那个量子计算也有相关的但我们如果这一张就是为了让大家这个可听性提高一些我们直接进入哲学启示

就是大家有没有听出来就我们刚才所有的讨论你可以把它当成一个哲学理论在听你不用非得把它想象成数学或者说计算机科学或者人工智能

实际上我们刚才讨论的所有的东西它的归根结底就是一个没有界限就是说我们这个世界到底是二元相对的还是一个混沌的有你有我的阴阳相结合的这样一个世界就是说那全看你是怎么理解的就比如说我们刚才聊的所有的因为人类的直觉还是会往往会用对立或者是二元来刻画世界对吧你这个是白底你是白色的鱼就是白色的鱼

你是黑色的猪就是黑色的猪但是你在这个暗示的话中你可以他俩是相互相成的没有白色的猪就没有黑色的鱼包括我们刚才提到的所有包括图形与称底啊包括真理与谬误啊然后我们其实越仔细研究就会发现实际上这个概念我们概念中的边界

真的是取决于我们的视角和语境对吧就是空间你可以说是正的也可以是负的那包括就算数学中有正数有负数有零但你换个坐标器它就不是正数它正数就变成负数了或者负数就变成正数了所以你换个定义域那零可能就不是零了所以说在这个世界中可能真的没有见这是不是这个猴士达如果我们从哲学角度来考虑的话它也是一个可以隐身的哲学概念

我觉得这个话题挺有意思的好像你刚才这么一说我突然发现这个答案好像既是又不是这就挺有意思的一个事因为先说到刚才说的不管是哥德尔不完全定理还是侯士达所说的这个图形和称底他其实最终得到一个结论应该是说真理与谬误是不能互换的对吧嗯

也就是说这件事挺有意思的比如说刚才小炮老师说的比如说正数与负数对吧或者说是不是零其实这个东西在数学当中我们以为它其实可以互换的比如说正数与负数它是从左到右的一个坐标轴比如说从左到右一个坐标轴那你如果把它调过来变成从右到左那你说是应该是右边是负数还是左边是负数呢对吧就是它好像就可以互换的

所以包括黑和白包括说埃舍尔的画的这个前景与背景他们如果都是画那么你就可以把黑的当前景和黑的当背景其实是没区别的对不对所以这个里边就有点意思了就是说那这个我们真实的世界到底是这个黑白可以互换的没区别的还是说黑就是明确的跟白不一样是不可以互换的

怎么听来听去好像这俩结论怎么从这个里面是都能推出来

这好像有点怪对所以我的想法是这样就是先从数学的角度讲其实也许真的就是地归级和地归可媒体级的关系也就是说黑白可以互换的那一部分就是也有一部分世界可能是黑白可以互换的那一部分世界就是地归级构成的他们两个其实是可以互换的因为地归级和地归级的补级他们都是可以互换的对

但是这世界上还有另一部分有可能是更大的那一部分是不可以互换的就是因为它只有正的那一部分是地规可没举及但它负的那一部分它不是地规可没举及当然也就不是地规级所以如果是这种状况它就是不能互换的那这个东西有时候我们在现实当中或者在数学当中甚至都很难找到例子是因为

就像这个哥德尔的构造这样就是本来你想构造一个地归可美举集但它不是地归集的例子其实就很难对吧哥德尔天纵英才划了那么大的篇幅才证明这么个定理证明这件事其实是不容易发现所以其实可能反而人的日常的生活当中就像刚才小白老师举的不管是彩色的积木还是什么的

我们看到的都是地归级的例子就是好像我们日常接触到的都是那种正反可以互换对吧比如说最典型的像这个老祖宗这个智慧就那个太极的阴阳图就是它一个圆嘛然后一个黑一个白然后黑的里边还有个白点白的里边还有个黑点就

就是那个我们说的那个太极图你看着的好像都是可以互换的那这个不可以互换的东西它有什么意义呢其实我倒是觉得整个世界可能还是不可互换的为主就像我想到一个比较好的例子就是《道德经》所讲的这个有和无的关系其实这件事好像侯士达这个书里也多次涉及到是吧

后边我们再找找就是这个有和无的这个两个关系能不能互换然后有和无之间是什么关系这个《道德经》当中不是有比较重要的一段内容吗就是说讲有无的其中比较重要的一个就是三十符共一鼓当其无有车之用言之以为器当其无有器之用然后坐户以为是当其无有事之用它意思是啥呢就是说有之以为利无之以为用

对啊就是说我一个屋子我搭建一个屋子有四面墙有窗户有房顶但是这是屋子有那一部分但是屋子真正起作用的或者我们需要它的那一部分是啥呢是它里边那个空间对吧就是是它没有墙没有房顶

没有窗户的那一部分是我人能待的那个地方但是那你说如果我人需要待空间那我待在旷野里不是也行吗但是那个不行因为风吹日晒雨淋你可能就活不成了所以呢就还必须要搭个屋子来把这个中间的这块屋给你框出来然后你要生活在中间这块屋当中

但是这块无是由这个屋子的四壁和房顶的这个有给它圈出来的对吧所以实际上就是所谓有之以为利无之以为用还真的就是这么回事屋子的那个有只是它的利它创造出来的这个无才是你的用所以你从这个角度来我再反思一件事就是

我们搞数学搞物理搞真理其实我们为的是啥其实有时候很难说从人的角度来讲也许你证明出所有的定理来或者列出所有的定理来无非是避免你犯那些错误也就是说我把定理都全都列出来无非是想让你不要把那些错误的东西当成是真的对

对不对这可能因为定理这件事情被证明了他就放在那就完了他给你起到一个什么作用只是起到让你不要把错误的东西认知成为定理而已所以从这个角度来讲

定理和非定理确实是不能互换的就像无和有是不能互换的一样因为你要的可能就是那个无你才有用处而有的那个东西只是为了你使用无的一些便利那这个东西就不能反过来了对吧因为如果反过来会变成说无是你所需要的那些便利然后你真正要用的是有

这个实际上在人的视角而言是不成立的所以有和无或者真理与谬误它在这个角度它确实又是不能互换的又不是那个被流畅的地归的那种存在的形态所以反而从现实从哲学的角度讲倒是跟哥德尔不完全性定理揭示的是一致的也就是说它其实也就是揭示了一件事就是有和无真理与谬误其实是不能反过来的

不像我们往往在日常生活当中简单经验认知那样说比如说我把黑和白调过来它俩其实没什么区别比如说二进制的零和一对吧好像就没区别就是我把一当零把零当一其实整个的表达体系其实没变但实际上在所谓的现实世界当中它们两个之间没有绝对界限就是一个共生体

但是不能互换我觉得这是一个最有意思的事就像道德经讲的有无一样有无是共生的是相对的但是又是不能互换的我觉得这是个挺有意思的事情对对我是同意魏老师的但其实我们可以这么理解就是说

可互换的是存在于人类的认知中实际上是我们觉得它能互换或者说我们在人类的认知中的各种可理解的范围内是可互换的但实际上真实世界就是物质真实世界它还是非灵机一的它是不能互换的

比如说刚才真理和谬误能不能互换刚才魏老师在解释过程中你是从物质世界就是说是真就是真是假就是假它在物质现实世界中自然世界中它是不能够互换的那确实是但是如果放在我们的脑袋里放在我们的认知中它真理和谬误不就是认识论的一对范畴吗

它确实不是就是说在某种情况下它确实是可以互换共存比如说最简单的是吧辩证法然后语境语意辩证法就没有谬误就没有真理等等等等但是比如说我们人类的语境和语意比如说你说今天是晴天那今天如果真是晴天它就是真理如果今天是个大下雨天的你说今天是晴天那不就是谬误吗

但是这个是在人类的语义和语境中就算是我们放到系统的角度比如说戈德尔不完备定理他自指的悖论比如说这句话是假的这样的悖论你又不能把它完全归为真也不能把它完全归为假它是一个不可判定的那在这种意义上确实你也可以说真理和谬误的界限是模糊的是可以相互转化的

对吧你甚至是放在我们刚才讲的这个低规可没举集或补集的关系那么真理的集合可以被算法没举但是你没有办法保证这个谬误的集合同样也可没举就像人不能把自己举起来一样但无论如何这些都是在人的认知中

你就算是哥德尔不完美定理它也是人的认知产生出来的用人的认知来解释的东西那从这种意义上我觉得是不是可以这么理解就是从人的认知生成出来的东西它是你可以把它解释为是没有这个严格的界限它是可以相互呼唤的但是你把它换一个角度讲本来我们就比如说量子吧就是我们不是一直好几期都说明这真实世界就是量子世界吗

那我们也可以这么想就是那你说这个量子我们上一期在文电两开化中也讨论它就是说你可以把它理解成为量子理解中量子就是一种最小最小单位特别特别小小的不能再小那种单位的这个存在的方式

那么你也可以说这个世界的诸多复杂现象是叠加在这个量子现象之上的所以说量子的规则才是我们最深层的衬底吧就是这个世界的各种复杂现象人类能够认知到的都是图形然后呢其实它的衬底是量子对吧你可以说这个量子才是最底层的最物质最本源最真实的东西那么在这个角度上是不是就说这个还是要看我们

我觉得这两个比喻都没错但是它还是一个哲学问题就是哪一层才是根本你用你的认知你的认知中哪一层才是根本是微观多样性的这种现实世界物质性才是根本呢还是你觉得人类的就是有一些人类的认知建立在某种察觉不到的这种背景机制上它是物质世界的真理还是人类的认知是真理的归根到底还是你觉得哪一层才是根本

这个话题很有意思小宝老师说的这个东西呢我同意一半就是什么呢因为非常有意思的事就是在这本书当中以及我们说的量子力学这两件事当中呢其实恰恰是

也能说明另一半也就是说刚才小帕老师说的就是比如说我们如果人类认知一个东西它能互换那么它就是能互换但是所谓的现实世界当中有可能它就不能互换比如说图形与称底就不能互换我觉得这个角度可能是对的但是反过来其实

更有意思的话题就是存在着那样两个领域就是在人类的认知当中也不能互换的东西以及在现实世界当中可能互换的东西也存在这就是最有意思的地方对因为什么呢比如说哥德尔不完全进行定理某种意义上来讲因为定理其实认知它的真假

其实就是人的一种认知嘛它就是零和一的关系但是所谓哥德尔不完全性定理其实不就是揭示了说人的这个认知就是会出现说明明你按照一个方式认定它是假的但在另一个方式认定它是真的换句话说你的这个互换将会产生一个不自洽的矛盾导致你这个互换换不成

对吧这件在后边的侯世达写这个书的后边的内容当中也包含了这样的类似的内容比如说就是所谓禅宗公案这样的东西他就非常典型的揭示了这个就是说人类的思维当中如果把真理和谬误想要互换会出现一个什么问题其实就跟刚才说的一样就是说所谓真理与谬误这两个补给之间的结构完全不一样你随便换是会换出问题来的对

然后在现实世界当中因为今天可能来不及了小宝老师刚才提到的量子其实非常有意思的一个事就是量子到底是图形还是称底呢这件事其实对他自己又是图形大家有没有讨论过就是反而在现实世界当中出现了颠覆我们三观的可互换的这种可能性他又是零又是一对所以量子有可能既是图形也是称底

对所以我觉得就是这个就是所谓哲学问题就是永远讨论不到头就是这样所谓本体论和认识论他们的这种复杂性应该说到现在为止也确实没有搞清楚对但是还是非常有意思我觉得我们要不这个量子我们下一期再接着讨论一点今天不敢展开了对对对我就展开咱今天两个小时打不住了又

对我们曾经说过就是一直说干脆不然找时间单独讨论一次量子的事我觉得这还值得的更何况跟 GEB 跟人工智能跟我们讨论的什么纹理所有的一切话题说不定都有关系对毕竟它是世界的本源嘛

那么要不今天我们这第三章就讨论到这里好啊我觉得大家听了我们这期再回去读的话肯定会比我当时生读的时候这个痛苦要减少很多我确实读这张挺痛苦的因为它确实是需要你有非常我觉得这一章考验的是你这个发散思维的能力还不是我觉得更多是发散思维吧你要能够想到那一层要能够足够的散开因为其实它这一章我感觉它自己的思维也是发散性的嗯

嗯没错没错嗯就像是读散文嗯没错没错好那我们今天就这期到这里那我们下一期第四章见好好嗯拜拜好谢谢魏老师谢谢大家好拜拜拜拜