微积分的力量
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你好今天我来为您解读的这本书是一本非常有意思的科普书名字叫做《微积分的力量》

乍一听微积分这三个字,我估计好多人的第一反应是太复杂,又和我们的日常生活没什么关系。其实我自己当年上学的时候也有这个感觉,微积分对我来说充其量就是一门需要连续熬夜好几天才能应付的高数课,但是读完这本书之后,它彻底颠覆了我对微积分甚至是对数学的认识。

书中既没有什么晦涩难懂的数学符号和公式,也不要求我们得有什么高阶的数学基础,作者就是探讨了一个核心问题,微积分到底有什么用?

你肯定无法想象,如果没有微积分,人类就不可能发明手机、计算机、微波炉,也不会拥有电视、超声检查和 GPS 导航系统,更不可能把宇航员送上月球,或者是治疗艾滋病等等。可以说,从宇宙的深奥谜题到科技的发明创造,再到日常的衣食住行,微积分无处不在。

物理学家理查德·费曼曾经就说过这么一句话维基分是上帝的语言那这一切都是如何发生的呢为什么费曼会说维基分是上帝的语言呢今天这本书能够回答这些问题这本书的作者是史蒂夫斯托加茨他是美国康奈尔大学应用数学系的教授他的身份有点特殊不知道你注意到没他是一名应用数学家

所以在这本书当中,斯托加茨抛开了各种理论公式,用一种特别接地气的方式,为我们讲述了在人类文明进程当中,维基分到底扮演了什么样的角色,对我们的日常生活又产生了怎样的影响。斯托加茨把维基分这个数学语言真正还原到了他解决了什么问题的那个真实场景当中。

这就像我们常说的知识的本身只是知识的一半还有一半是他当时解决的那个问题

接下来我就通过三个部分来为您解读这本书。这三个部分分别对应维基芬在人类文明进程当中解决的三个大难题,它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。弄懂了这几个谜题,相信你一定会对维基芬的力量和数学之美有不一样的认识和体会。

首先我们进入第一部分在正式解答曲线之美之前我们先来简单认识一下维基分是什么说实话作者在书中给出的答案和我之前预想的差别有点大

他用一句话就简单说清楚了微积分的核心价值那就是让复杂的难题简单化微积分可以分成两个步骤切分和重组也就是先把一个复杂的问题分解成无穷的小问题然后找到这些微小问题的答案后再把它们重新组合起来

乍一听啊这个策略好像啊也不难理解很多善于解决问题的高手都知道当难题被分解后就会变得更容易解决

麦肯锡咨询公司曾经提出来了一个 MEC 原则说的就是在接听问题时需要把复杂的问题细分成多个可以单独解决的小问题有了抓手之后呢当然也方便开展工作了但是作者啊在这里提醒我们维基分真正关键的地方啊就在于他把这种分而治之的策略发挥到了极致也就是无穷的程度他不是把

不是把一个大问题切分成有限的几小块,而是无休无止的切分下去,直到这个问题被切分成无穷多个最微小但是又可以想象出来的样子。这是一个无限做减法的过程,目的就是为了当人们面前有一座珠穆朗玛峰的时候,你能够鼓足勇气迈出最最简单的第一步。

我们把时间拨回到公元前 250 年左右,当时的古希腊几何学家们正面对一个特别棘手的问题,他们努力的寻找如何才能迈出第一步的方法。

当时的人们基本上已经掌握了和直线形状或者是多边形有关的数学方法比如说如何测量角度如何利用勾股定理计算边长或者是计算各种边长与面积的关系不过啊人们对曲线或者是由曲线形状构成的物体就了解的很少了

比如说圆形,在自然界随处可见,早期的几何学家对圆、球体、圆柱体都非常的感兴趣,但他们发现,曲线形状分析起来太困难了,所有弯曲的东西都难以捉摸,人们无法计算出最基本的圆的面积。

作者提到,微积分的思想就是在这样的背景下诞生了。古希腊数学家阿基米德利用自己强大的想象力,提出了一个办法,他的策略就是先把圆想象成一个披萨,然后把这个披萨等分成四块,这四块披萨拆开以后,再把它们上下一块对着一块,像锯齿一样的拼合在一起。

你就会发现这个时候他们看上去有点像一个平行四边形不过人们对着这个平行四边形好像还是无从下手计算出它的面积但是没关系只要我们切分的披萨块数足够多比如说 8 块 16 块 32 块等等

我们得到的图形就会看上去越来越像一个长方形,那长方形的面积当然就会算了,底长与高,得出来的面积也就是圆的面积。

阿基米德的论证过程虽然比我们刚才说的更加严谨,但是估计你也意识到了,显然,阿基米德通过想象迈出了第一步。不过紧接着,他又开始好奇了,圆的周长 C 是一条曲线,与圆的直径 D,一条直线之间会不会有什么联系呢?这就是我们所学的圆周率,π。

π的公式我们当然都知道了,于是阿基米德又开始琢磨自己怎样才能计算出圆周率呢?还是维基分的思想,阿基米德把圆的周长分成了很多条微小的直线,虽然我们都知道,圆这么绕一圈肯定不是由直线构成的,但是在阿基米德看来,只要这些微小的直线数量足够多,那估算也就越准确了。

于是阿基米德选择了从六边形入手进行一系列的计算之所以选择从六边形入手是因为六边形包含了六个等边三角形三角形每条边的长度都等于圆的半径 R

因此,六边形的周长与圆的直径之比,也就是 6r/2r=3,所以π3。当然了,六边形看上去还不完全不像是一个圆,但对于阿基米德来说,一切才刚开始。

从六边形当中得出的结论后,它继续的缩短了直线的长度,从六边形到 12 边形再到 24 边形,最终借助圆内接 96 边形和圆外接 96 边形,阿基米德通过高谷定理硬生生的算出了π的最终值式,那于 3+10/71,而小于 3+10/70。终于,阿基米德把π

签订在了一个具体的范围里,解开了曲线之谜,这在数学史上可以说是一次壮举。今天的我们当然都知道了,圆周率π等于 3.14159265,小数点后的数字总是背不完的,目前世界上速度最快的计算机已经算出了圆周率的 22 万亿个数字。

只要算力允许,人们可能会一直的算下去,圆周率既没有可见的终点,但又确实存在,它的定义很清晰,就是我们能看见的两个长度,圆的周长和直径之比,但是数本身到底是多少却又遥不可及。

所以在作者看来,圆周率正是维基分思想的产物,维基分的思想就是在用无穷来研究有穷,用直线来研究曲线,这是人类发挥想象力实现的一次伟大跳跃。

作者在书中提到阿基米德建立在维基分思想之上的洞察比如说利用多边形或者是无穷多个部件来进行逼近的方法直到今天依然一意生灰比如说皮克斯公司的动画师在制作动画的过程当中用到的正是无线切分的方法动画师通过反复的分割一些平面去逼真的模拟人物布满肘纹的额头隆起的大鼻子或者是颈部皮肤的褶皱

我在书里还看到了一个非常有趣的细节,说 2009 年阿凡达电影上映时,为了电影能够更加的逼真,潘多拉星球上的每一株植物,动画师都使用了大约 100 万个多边形来进行模拟,整部影片下来,可以说在当时,阿凡达算是第一部使用了数十亿个多边形的电影。

这就是微积分的力量它帮助人类拿到了第一把破解大自然奥秘的钥匙一切有关曲线的谜题开始变得有迹可循了

我们刚刚说完了公元前 250 年左右维基分思想诞生的背景但是长路漫漫其修远兮正如阿基米德在数学的无限性面前也感到了自己生命的有限性他在自己的著作当中最后提出的希望就是在现在和未来的几个世代中某些人会利用这种方法找到我们尚未掌握的其他定理那么下一个谜题是什么呢破解他的魔术师又在哪呢

令人庆幸的是,对自然世界的数学研究在经过了长达 1800 多年的沉寂之后,直到 17 世纪中期,随着代数学、物理学和几何学的发展壮大,微积分也从一种思想进化成了一种真正的数学语言。由此,人们解答了第二个谜题——运动之谜。

故事还得从 17 世纪早期说起,借助两股力量的催化,微积分才真正的诞生。第一股力量其实就是 17 世纪初人们对运动的探索,通过观察和巧妙的实验,数学家在最简单的运动物体当中发现了背后的规律。

伽利略测量了钟摆的来回摆动,记录了球滚下斜坡的加速过程,而开普勒绘制了行星在天空当中运行的轨迹。在他们看来,这些现象都强化了大自然具有数学规律,就像毕达格拉斯学派一直坚称的那样,万物结束。

但是这里面最大的难题就在于运动是不稳定的比如说球在滚下斜坡的过程当中你会发现速度一直在变再比如说行星围绕太阳旋转的过程中靠近太阳时行星的运动速度会变得更快远离太阳时它们的运动速度就会减慢这些现象都很奇怪那是啊人们并不知道该如何的处理这种不断变化的运动状态

虽然早期的数学家已经掌握了匀速运动的数学公式,距离等于速度乘以时间,但是当速度这一个量改变,而且是持续不断的改变时,一切都变得不确定了。事实证明,运动之谜和曲线之谜一样,也是一座概念上的珠穆朗玛峰。

人们无法用精准的数学语言来推导不断变化的运动,于是对于这些现象的看法还只能停留在经验性总结的层面,运动之谜就这样暂时被搁置了。第二股力量来源于 16 世纪代数学的飞速发展。

代数实际上源自亚洲和中东地区,传入欧洲之后,人们开始把代数学作为了一种符号系统进行研究,他们用字母来代表数字,比如说我们今天用 XYZ 来表示位置量,用 ABC 来表示常量,这种用字母表示数字的方法,使方程的变换和求解都变得容易了许多。

到了 17 世纪早期,数学家笛卡尔和费马实现了一个了不起的突破,他们把代数学和几何学联系在了一起,开创了一个新的数学学科,也就是我们今天所说的解析几何。数学方程都可以通过在一个横轴为 X,纵轴为 Y 的平面上,来用不同的曲线表示。

你可千万不要小瞧这个 XY 平面,我们今天所有需要定量的领域基本上都是在用 XY 平面来绘制数据图表和街市变量之间的隐藏的关系,我们可以通过 XY 平面上的曲线直观的看出一个因素到底是怎么影响另一个因素的。

数学家迪卡尔和费马的研究为微积分的诞生奠定了坚实的数学基础不过遗憾的就是他们始终离运动之谜的答案还差那么一步

直到 17 世纪中后期,英国的牛顿和德国的莱布尼茨出现了,彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想联系在了一起,并且又用代数的方式建立了一个通用系统,就像是一个神来之笔,微积分由此正式诞生。

虽然我们今天学习的未积分版本其实和莱布尼茨的版本有更多的关系因为莱布尼茨的版本啊更加的简洁一些但是今天的解读时间啊非常有限我还是想重点的来给您说说牛顿在这里面的贡献牛顿解答了运动之谜

首先牛顿通过数学工具解决了运动问题比如算一个物体的运动速度举个现实生活当中的例子现在我们需要计算 2008 年北京奥运会 100 米短跑决赛场上一位叫做博尔特的短跑运动员他的速度

有人可能就会说了这好算我们拿 100 米除以波尔特的时间 9.69 秒再换算成我们更熟悉的单位大约就是 37 千米每小时但是显然这是波尔特整场比赛的平均速度如果你仔细的观察的话就会发现他在起跑时落后于其他的选手中间速度最快然后快到终点的时候他意识到自己已经领先了速度又放慢下来了

如果我问你,波尔特的最快速度究竟是多少呢?恐怕我们很难拿平均速度来近似波尔特的顺时速度,这就是我们前面说的运动难题,速度一直在变,人们很难有什么办法来计算顺时速度,不过在牛顿看来,虽然速度一直在变,但是我们可以假设这个速度不停变化的运动实际上是由无穷多个无限短暂的匀速运动组成的。

这句话听上去实在是有点抽象,作者提到了,你可以想象,自己正坐在一辆由新手司机驾驶的汽车里,车速忽快忽慢,但是在 0.01 秒内,即便是这个人技术再差,他也没法那么快的去踩油门,速度就不会改变。

那么在比一毫秒短得多的时间隔内我们就可以把这个过程看成是一个匀速运动所以某个时刻的瞬间速度其实我们可以假设就是在这个时刻附近一个无穷小的时间内的平均速度

平均速度我们当然会算了,在这个想法的基础之上,牛顿就开始利用解析几何,用曲线来表示这种瞬间变化。假如在 XY 平面上,这是一条关于博尔特跑步距离的函数曲线。前面说过,我们如果放大视野中的曲线,曲线的弯曲度就会看上去越来越小,有点像是一段微小的斜坡。

现在我们要求波尔特在 7.2 秒这个时刻的顺时速度那么我们可以想象这不就是等同于要求一个 7.2 秒这个时刻附近 0.01 秒内的平均速度吗平均速度等于距离除以时间时间我们刚刚已经规定好了是 0.01 秒这个时候啊在 XY 平面当中你就会发现一个求速度的问题被转化成了几何学当中求斜坡的斜率

在 xy 平面上速度等于一个垂直高度除以水平长度 x 那如果我们把 0.01 秒时间范围再缩小一些当时间 t 慢慢的趋近于 0 的时候 7.2 秒的顺时速度就相当于趋现在 7.2 秒那个时间点的一条切线斜率这个中间的计算过程有点复杂我们在这里就不做过多的讨论了

不过呢话说回来微分求瞬时速度是一种局部操作作者提到这种局部操作就像是在显微镜下观察事物一样我们需要用到的信息也就是波尔特在给定时刻前后的 1%

或者是更少秒内的运动情况相比之下如果我们拿到了一个博尔特在 100 米过程当中所有顺时速度的无限长的表格并且要计算出它在 7.2 秒时的位置是在哪儿那就摊上了麻烦了

因为利用公式速度乘以时间等于距离我们就会发现计算只能是波尔特从起点出发每次以 0.01 秒累计的时间在赛道上前进这种计算方式既费时又费力所以从局部推测出整体的难度之大

也是为什么在我们的学习过程当中常常感觉积分比微分更难的地方微分是一种局部操作而积分则是一种整体操作我们需要计算每一个微小的部分才能得到一个关于遥远未来的期望答案

那有没有什么方法能够提供捷径呢这就要说到牛顿做的第二件事了牛顿把关于距离的问题转换成了求面积的问题曲线面积我们会算那如果我们有一条关于速度的函数曲线

那这条函数曲线下方从 10 克 0 累积到某个 10 克 T 的面积就等于物体在 T 小时后运动的距离了这就是关于微积分的基本定理由微分推导出积分我们就找到了捷径要知道啊牛顿的伟大之处就在于在 17 世纪的欧洲按照几何学的惯例人们实际上是要把面积看作对形状的一种静态度量没有人会想到面积和运动有什么关系

而牛顿把面积看作一个随着时间流动或者是变化的量这是非常了不起的一次思维上的突破由此牛顿破解了运动之谜在他看来任何类型的运动都可以分解成每次移动一个无穷小步

不光是解释速度这一个变量,哪怕是速度、方向好几个变量同时影响物体的运动状态,牛顿仅用几个微分方程也能够解释,包括炮弹的飞行轨迹和行星的运动轨迹在内的各种现象。作者就在书中提到,微积分正式诞生之后,数学的基本语言就有了,数学领域的多样性也就开始进化产生了。

说实话我在读这本书的过程当中真的是感受到了牛顿和莱布尼茨迈出的这一小步实际上是人类文明进程当中的一大步因为有了维基分这个基本的数学语言之后不光是看待运动的事物人们看待所有的变化目光就不一样了我们不仅可以通过建立数学模型描述和解释各种变化的现象

甚至是可以预测某种趋势正如我们常说的一句话用发展的眼光看问题

这也是继牛顿之后人们一直在用维基分试图解答的第三个谜题——变化之谜。在作者看来,永恒不变的,唯有改变。尽管这句话是老生常谈了,但它依然是真理。比如说,今天是雨天,明天是晴天,那么有没有预测天气情况的变化定律呢?再比如,今天股票上涨了,明天股票下跌,有没有预测关于股票行情的变化定律呢?

有没有适用于人口增长或者是流行病传播相关的变化定律呢?微积分是不是可以用来预测公路上的交通流量吗?科学家们正在通过观察和实验,利用微积分求解更多的变化定律,并和其他的科技领域相结合,推动世界的现代化进程。比如,你肯定无法想象,在医学界,人们利用微积分的力量来对抗艾滋病,

从 20 世纪 80 年代起,艾滋病在全世界造成了数十万人的死亡最早人们对艾滋病的态度是非常恐惧的因为这个病很奇怪通常如果一个人感染艾滋病会经历三个阶段首先大概是经历几周的急性期在这个阶段人们会出现类似于流感一样的症状发烧、皮疹、头痛等等然后通过自身的免疫系统工作这种症状会逐渐的消失

就在好多人都觉得自己这个病啊痊愈了医学也检测不出来任何症状的情况下艾滋病进入了第二个阶段长达数十年的无症状期然后无症状期一旦结束紧接着啊就是最后一个阶段很有可能哪天啊突然就发病了来势汹汹这个人会在短时间内死亡而且死亡率是极高的

这是一件非常诡异的事儿,当时的人们无法理解这种意外,甚至还有人预测艾滋病会导致人类灭亡。

不过好在 1995 年左右,由何大一博士和数学免疫学家佩雷尔森合作开展了一项研究,改变了人们对艾滋病的看法,也彻底改变了医生对艾滋病的治疗方式。他们利用微分方程构建了一个病毒浓度变化的模型,通过一系列计算有了一个重大的发现,

原来在这 10 年的无症状期,病毒并不是像人们看到的那样被完全消灭了,而是它产生的速度和人体免疫系统的清除速度一样快。在看似平静的 10 年无症状期,患者体内持续发生着一场大规模的战争,每一天被感染的细胞则会释放出 10 亿个新的病毒颗粒。

而免疫系统也会清除 11 个病毒颗粒免疫系统全力以赴的和病毒展开了激烈的较量战争似乎就进入了胶着状态这才是真相

因此科学家就提出从关键的第一阶段感染期免疫系统就需要尽快的得到它能获得的一切帮助必须联合多种药物才能打垮和抑制艾滋病也正因为这项突出的贡献 1996 年何大一博士被评选为了时代周刊的年度风云人物微积分的存在让艾滋病变成了一种可以控制的慢性疾病也给人们带来了治愈的希望

再比如我们也许无法想象只有借助微积分进行计算人类的飞行安全才能得到保障要知道飞机的几何结构十分复杂就像是我们前面提到的在电影当中动画师构建无数多个多边形来模拟人物一样工程师也需要将机翼近似分解成几十万个微型立方体零柱体和四面体然后再通过

偏微分方程来预测每个构建单元对空气当中的气流会做出怎样的反应最终在超级计算机的帮助下所有这些反应被组合起来才能够用于预测飞机在高空当中高速飞行时机翼的总体震动情况

同样也是借助微积分,人类的视野由地球扩大到了宇宙,并真正实践了太空探索,在浩瀚的宇宙当中,细节决定生死,微积分使宇宙飞船能够按照既定的飞行轨道稳定飞行和安全降落成为了可能。

作者在书中就提到,微积分有点像是人类在不经意间发现了一个奇怪的语言,它是一个由符号和逻辑构成的想象领域,而大自然则是一个由力和现象构成的现实领域。

神奇的地方就在于,如果从现实世界到想象领域的转换足够巧妙,人们就可以把一个经过长期观察总结出来的经验性的规律,用某种数学符号来表示,然后通过一系列计算或者是逻辑推理,得出来另一个经验规律。这个经验规律有可能是人们已经知道的,也有可能完全是新的,是还没有人知道的关于大自然的奥秘。

比如麦克斯韦利用微积分预测电磁波的存在再比如爱因斯坦在广义相对论当中就借助微积分方程预测引力波的存在而直到了 2017 年诺贝尔物理学奖获得者才设计出了一个有史以来最灵敏的探测器证明了引力波的存在这就是微积分的力量它让人类可以放眼未来预测未知

总结这本斯托加茨的《危机分》的力量,我们今天就先聊到这儿,下面来简单的总结一下,在人类文明的进程当中,有三个谜题促进了危机分的发展,它们分别就是曲线之谜,运动之谜,变化之谜,那么未来危机分有没有可能发挥出更大的力量,带着人类走向更远呢?

答案当然是肯定的,微积分的核心价值就是把复杂的难题拆分成无穷多个简单的小部分,迈出最最简单的第一步,这也就意味着我们已经走在了通往珠穆朗玛峰的路上了。

最后还想来和您聊聊我读完这本书之后的一个小启发,我发现其实微积分颠覆了人类理解世界的方式,过去我们看待事物是凭借经验主义,是粗糙的,而微积分架起了自然世界与科学世界之间的一座桥梁,说个可能不太恰当的比方,

微分让我们找到了一种能够精准描绘瞬间的方式,而积分就是把无数个瞬间加合在一起,让人类找到了一个可以精准描绘现实和预测未来的方式。

所以如果你对这本书感兴趣,强烈推荐你去读一读原书,如果你的家里也正好有在上初高中的孩子,也真的推荐你给孩子多讲讲维基分背后的故事,它能够真正的燃起我们对数学的兴趣,让我们拥有一双能够发现数学之美的眼睛。